2017-2018学年黑龙江省双鸭山一中高二下学期开学考试数学理试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省双鸭山一中高二下学期开学考试数学理试题（解析版）

双鸭山市第一中学2017-2018学年高二数学下学期3月考试试题 理 第Ⅰ卷 一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 下列说法中正确的是 (　　)‎ A. “x>5”是“x>3”的必要条件 B. 命题“∀x∈R，x2＋1>0”的否定是“∃x0∈R，x02＋1≤0”‎ C. ∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 D. 设p、q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题 ‎【答案】B ‎【解析】x>5是x>3的充分不必要条件，A错；函数f(x)＝x2＋mx不可能是奇函数，C错；p∨q为真时，p∧q不一定为真，D错，选B项．‎ ‎2. 将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数都是偶数”，则概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎3. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意设该双曲线方程为，且，，的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；故选D.‎ 点睛：在涉及圆锥曲线的中点弦时，往往利用“点差法“”进行求解，可减少运算量.‎ ‎4. 从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(　　)‎ A. 5，10，15，20，25‎ B. 3，13，23，33，43‎ C. 1，2，3，4，5‎ D. 2，4，8，16，32‎ ‎【答案】B ‎【解析】由系统抽样的方法，所以可能的编号为3，13，23，33，43。故选B。‎ ‎5. 设集合 ，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 若，则，解得，‎ 所以是的充分不必要条件，故选A。‎ ‎6. 当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)‎ A. 7 B. 42 C. 210 D. 840‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当m输入的m＝7，n＝3时，判断框内的判断条件为k<5，故能进入循环的k依次为7,6,5.顺次执行S＝S·k，则有S＝7·6·5＝210，选C 考点：程序框图 视频 ‎7. 椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，，所以离心率。故选A。‎ ‎8. 下列说法中正确的是 ‎①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，相关性越弱；‎ ‎②回归直线一定经过样本点的中心；‎ ‎③随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度；‎ ‎④相关指数用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越好．( )‎ A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，则相关性越强，所以错误；‎ ‎②回归直线一定经过样本点的中心，正确；‎ ‎③随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度，正确；‎ ‎④相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好，所以错误．‎ 所以正确的有②③。故选D。‎ ‎9. 已知椭圆的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：的周长是，所以，，所以，那么，所以方程是，故选．‎ 考点：椭圆的标准方程 ‎【思路点睛】本题考查椭圆标准方程和基本性质的计算，属于基础题型，主要考察椭圆中的关系问题，唯一的一个难点是的周长是这个条件如何使用的问题，只要将图像画出，就会发现，周长就是，那么这个题就迎刃而解了，要解决这类问题，那我们就要对圆锥曲线的基本知识熟练掌握，比如方程的形式，方程与圆锥曲线的基本性质的联系，或是关于的计算问题．‎ ‎10. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为 (　　)‎ A. － B. C. － D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】取中点，则就是直线与平面所成角的线面角，‎ 所以，故选B。‎ 点睛：本题考查立体几何的线面夹角。一般的，立体几何问题利用其几何性质求解，如本题中的线面角，可以结合图形的特殊性，可以较容易地找到其线面角。当线面角不容易找的时候，可以采用空间直角坐标系来辅助解题。‎ ‎11. 设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：阴影部分的面积为：，正方形的面积为:,故选D.‎ 考点：1、几何概型的计算，面积比 ‎【方法点晴】本题主要考查的是几何概型，属于中等题，由题作出所对应的图像，可得平面区域为如图所示的正方形区域，而区域内的任意点到原点的距离大于的区域为图中的阴影部分，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案.‎ 视频 ‎12. 已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，，所以，即，又，‎ 化简得离心率，故选B。‎ 点睛：本题考查双曲线的离心率问题。离心率问题的本质就是根据条件得到的关系式。本题中，由条件可知，得到，又，整理化简，求出离心率。‎ 第Ⅱ卷 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）‎ ‎13. 把化为二进制数为______________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以二进制为 点睛：本题考查十进制与二进制的转化。二进制到十进制的计算方法是各位的数字乘以2的次方，再求和，其中个位是乘以，其它各位再逐个递增。同样，十进制转二进制的算法只要利用其逆运算即可，从高次到低次运算。‎ ‎14. 在随机数模拟试验中，若,,,,表示生成之间的均匀随机数,共产生了个点，其中有个点满足，则椭圆的面积可估计为 ________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以点的区域面积为24，‎ 所以，得。‎ ‎15. 方程表示曲线C，给出以下命题：‎ ‎①曲线C不可能为圆；②若14；‎ ‎④若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则10)，故x与y之间是正相关．‎ ‎(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及其应用，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数 ‎；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎18. 某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.‎ 区间 ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ ‎[40,45)‎ ‎[45,50]‎ 人数 ‎25‎ a b ‎(1)求正整数a，b，N的值；‎ ‎(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？‎ ‎(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．‎ ‎【答案】（1）a＝25,N=250,b=100；（2）第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图即可求出；（2）抓住分层抽样的抽样比为即可解决问题；‎ ‎（3）列出从6个人抽取2人的所以情况，然后从中找到满足条件的情况是多少个，最后利用古典概型公式即可.‎ 试题解析：(1)由频率分布直方图可知，与两组的人数相同，‎ 所以人． 1分 且人． 2分 总人数人． 3分 ‎（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取人，每组抽取的人数分别为：‎ 第1组的人数为， 4分 第2组的人数为， 5分 第3组的人数为， 6分 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．7分 ‎（3）由（2）可设第1组的1人为，第2组的1人为，第3组的4人分别为，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，‎ 共有种． 9分 其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：‎ ‎，，，，，，，，‎ 共有8种． 2分 所以恰有1人年龄在第3组的概率为．12分 考点：(1)频率分布直方图；（2）分层抽样；（3）古典概型.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面， ，点为棱的中点.， （1）证明： ；（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，可得面所以, ,所以面，所以，所以；（2）建立空间直角坐标系，，，求得二面角。‎ 试题解析：‎ ‎⑴证明：取中点，连接 ‎ 分别是的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ ‎ ‎ 面 , ‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ 面 ‎ ‎ ‎⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 设面的法向量为 由，令，即 ‎ 面的一个法向量 设二面角的大小为，则 ‎ 二面角的大小 ‎20. ‎ ‎4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:min)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60 min的学生称为“书虫”,低于60 min的学生称为“懒虫”,‎ ‎(1)求x的值并估计全校3 000名学生中“书虫”大概有多少名学生?(将频率视为概率)‎ ‎(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“书虫”与性别有关:‎ ‎【答案】（1）x=0.025，1200人；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直方图，易知x=0.025，“书虫”大概有1200人；（2）完成表格，K2=≈8.249.由8.249>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1,可得x=0.025 ‎ 因为(0.025+0.015)×10=0. 4,将频率视为概率,由此可以估算出全校3000名学生中“书虫”大概有1200人. ‎ ‎(2)完成下面的2×2列联表如下:‎ K2=≈8.249.‎ 由8.249>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关.‎ ‎21. 已知抛物线 ，过点作直线，交抛物线于两点，为坐标原点，‎ ‎（1）求证： 为定值；‎ ‎（2）求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设直线：，联立抛物线得到韦达定理，易证 为定值；（2），，代入韦达定理，求得三角形的面积最小值是。‎ 试题解析：‎ 证明：（Ⅰ）设过点的直线：，‎ 由得，‎ 令，∴ ‎ ‎∴ 为定值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎，原点到直线的距离 ‎ ‎∴‎ 当时，三角形的面积最小，最小值是 ‎22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：,且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3,0）的直线交椭圆C于点A、B．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，，当时，有最大值为，又，得椭圆方程是；（2）设方程为，点P在椭圆上，得，又由，所以或。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵ ∴‎ 则椭圆方程为即 设则 当时，有最大值为 解得∴，椭圆方程是 ‎（Ⅱ）设方程为 由 整理得． ‎ 由，得．‎ ‎∴‎ 则,‎ 由点P在椭圆上，得 化简得①‎ 又由 即将，代入得 化简，得 则,‎ ‎∴②‎ 由①，得 联立②，解得∴或 点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系。解析几何问题的关键就是正确分析题目的解题思路，有正确的解题逻辑。本题中，可以有A，B表示出P的坐标，满足椭圆方程，然后求出t的取值范围，所以只需设直线AB即可。‎