江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高一上学期阶段性测试数学试题

江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高一上学期阶段性测试数学试题

www.ks5u.com 江苏省西亭高级中学2019-2020（上）第二次阶段性测试高一数学答案及评分标准 一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求. ‎ ‎1.的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式将中的角度转换成即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式,属于基础题型.‎ ‎2.已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在(　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用点所在象限，推出三角函数的符号，然后判断角所在象限．‎ ‎【详解】由题意可得,则,所以角α的终边在第二象限，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查角所在象限以及点所在象限的判断，基本知识的考查．‎ ‎3.若一扇形的圆心角为，半径为10cm，则扇形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算扇形所在的圆的面积再乘以占的比例即可.‎ ‎【详解】扇形的面积为 ‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式,属于基础题型.‎ ‎4.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的单调性得到和，根据指数函数的单调性可得，从而比较出大小得到结果.‎ ‎【详解】由对数函数底数，故对数函数在上单调递增，故有；由指数函数底数，故指数函数在上单调递增，故；由对数函数底数，故对数函数在上单调递减，故.综上所述，.‎ 故本题正确答案为D.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，对数函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属基础题.‎ ‎5.函数的图像的大致形状是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分x＞0与x＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．‎ ‎【详解】且，根据指数函数的图象和性质， ‎ 时，函数为减函数，时，函数为增函数，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．‎ ‎6.已知函数，若，则实数（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数中的三个区间分别讨论对进行求解即可.‎ ‎【详解】当时, 显然无解.‎ 当时,‎ 有不满足.‎ 当时, ‎ 有满足.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的运用与指对数的运算,属于基础题型.‎ ‎7.先将函数图象向右平移个单位，再将得到的函数图象上的每一个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则所得图形对应的函数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数图像平移伸缩的的方法求解即可.‎ ‎【详解】函数图象向右平移个单位得到再将得到的函数图象上的每一个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图像变换,属于基础题型.‎ ‎8.若函数在上为减函数，则函数的单调递增区间( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，令，求得的定义域为，函数是减函数，本题即求函数t在上的减区间，再利用二次函数的性质可得结果.‎ ‎【详解】由函数在上为减函数，可得，‎ 令，求得的定义域为，‎ 且函数是减函数，‎ 所以本题即求函数t在上的减区间，‎ 利用二次函数的性质可得函数在上的减区间是，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关对数型函数的单调区间，在解题的过程中，注意首先根据题意确定出参数的取值范围，之后根据复合函数的单调性法则以及结合函数的定义域求得结果.‎ ‎9.已知函数，若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 依题意,在定义域内,不是单调函数,结合二次函数图像的性质与分段函数的单调性即可.‎ ‎【详解】依题意,在定义域内,不是单调函数,由为增函数,且当时,得,当时,二次函数对称轴小于1或者.‎ 即或,解得或 ‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用,分类讨论的思想等,属于中等题型.‎ ‎10.设，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是偶函数且在上单调递增求解即可.‎ ‎【详解】由,故是偶函数.‎ 又当时,为增函数,为减函数,故为增函数.‎ 故则,‎ 故.‎ 解得 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性与单调性求解不等式的问题,偶函数的不等式一般用绝对值去求解,属于中等题型.‎ 三、填空题：本题共6题，每小题5分，共30分.‎ ‎11.______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指对数的运算法则求解即可.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题型.‎ ‎12.函数y＝＋的定义域为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【详解】∵函数， ∴，解得，‎ 即或；‎ ‎∴函数的定义域为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是根据函数解析式列出不等式组，解不等式组为该题的难点，属于中档题．‎ ‎13.方程的解，则_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程即,利用的单调性与零点存在定理求解即可.‎ ‎【详解】方程即,设则函数为增函数,‎ 且,,又解.则.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查了零点存在定理的应用,属于基础题型.‎ ‎14.已知，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将整体除以再分子分母除以求解即可.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数同角关系的应用,属于基础题型.‎ ‎15.将函数的图象向左平移个单位后，所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正余弦关于轴对称则当时,正余弦函数取得对称轴的表达式求解即可.‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位后 ‎.又所得函数的图象关于轴对称,‎ 则当时,. 即.又,故当时, 取最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换以及图像性质问题,属于中等题型.‎ ‎16.已知函数有如下性质：常数，那么函数在上是单调递减函数， 上是单调增函数．如果函数在区间[1，4]上的最小值为7，则实数m的值是______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设且t∈[4，5],则可化为y=|t-m|+m在区间[4，5]上的最小值为7,分别讨论,,时的解析式,进而求得的值 ‎【详解】设在[1，2]上单调递减,在[2，4]上单调递增,所以t∈[4，5],‎ 问题化为在区间[4，5]上的最小值为7,‎ 当m＞5时,,则,m=6；‎ 当m∈[4，5]时,由绝对值的非负性,则（舍去）；‎ 当m＜4时,,,不成立 故答案为6‎ ‎【点睛】本题考查最值问题,通过换元将问题化为绝对值函数在闭区间上的最小值问题,接下来根据对称轴在闭区间的右侧、中间、左侧分三类讨论即可 四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知角终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为，且终边上有一点P到原点的距离为.‎ ‎（1）求的值和P点的坐标；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由单位圆可利用到原点的距离为1计算.由算得的三角函数值计算的坐标即可.‎ ‎(2)先用诱导公式化简式子,再代入角的三角函数值进行计算即可.‎ ‎【详解】(1)由单位圆有,因为角终边在第四象限,故.‎ 故,故 ‎(2) ‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的基本定义以及诱导公式的运用等,属于基础题型.‎ ‎18.已知集合，．‎ ‎（1）分别求；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别求出再求出即可.‎ ‎(2)分与两种情况进行讨论即可.‎ ‎【详解】（1）因为,‎ ‎=；‎ 所以.‎ ‎（2）因为,当时,,即,‎ 当时,则,即；‎ 综上,实数a的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与集合之间的关系,同时也考查了对数函数与三角函数的表达式求解.属于中等题型.‎ ‎19.已知某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数,日销售量(单位:件)近似地满足: ,日销售价格(单位:元)近似地满 足: ‎ ‎ (I)写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系;‎ ‎(Ⅱ)当t等于多少时,日销售额S最大?并求出最大值 ‎【答案】（I）见解析；（II）当t＝5时，日销售额S最大，最大值为1250元．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过S＝f (t)·g(t)求出函数的解析式．‎ ‎（2）利用函数的解析式，通过求1≤t≤10和11≤t≤20两段上函数的最大值．从而得函数的最大值.‎ 试题解析：（I）由题意知，S＝f (t)·g(t)＝ ‎ ‎（II）当1≤t≤10，tÎN*时，S＝(2t＋40)(－t＋30)＝－2 t2＋20t＋1200＝－2 (t－5)2＋1250．‎ 因此，当t＝5时，S最大值1250； ‎ 当11≤t≤20，tÎN*时，S＝15(－t＋30)＝－15t＋450为减函数，‎ 因此，当t＝11时，S最大值为285． ‎ 综上，当t＝5时，日销售额S最大，最大值为1250元．‎ ‎20.函数（其中），若函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，且函数的图象过点．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求的单调增区间：‎ ‎（3）求在的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据题意可得函数周期为，利用周期公式算出，又函数过定点，即可求出，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数的单调区间；（3）利用换元法，设，结合在上的图象即可求出函数在的值域 ‎【详解】（1）因为函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期为，由，得，又函数的图象过点，‎ 所以，即，而，所以，‎ 故的解析式为．‎ ‎（2）由的单调增区间是可得 ‎，解得 ‎ 故故函数的单调递增区间是．‎ ‎（3）设 ，，则 ，由在上的图象知，当 时， 当趋于时，函数值趋于1，‎ 故在的值域为 ．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力．‎ ‎21.已知函数，且为常数.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）当，恒有，求实数的取值范围.‎ ‎（3）若在上有解，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令代入原式化简成二次函数的形式再进行求解即可.‎ ‎(2)参变分离有,故求在区间上的最小值即可.‎ ‎(3)参变分离后有故求在区间上的最大值即可.‎ ‎【详解】(1) 令,则当时,有或.‎ 因为,所以.‎ ‎(2)当时令.恒有即恒有在上恒成立.因为在上单调递增,故.‎ 故.‎ ‎(3)同(2)有在上有解.因为在上单调递减,‎ 故.故 ‎【点睛】本题主要考查了有关二次函数的复合函数问题,需要换元进行求解,同时也考查了在区间上恒成立与能成立问题,参变分离求最值即可.属于中等题型.‎ ‎22.已知函数，且满足.‎ ‎（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（2）设函数，若在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若存在实数，使得关于的方程恰有4个不同 的正根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上为增函数；证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由与可得,再判断函数在上的单调性即可.‎ ‎(2)根据(1)中的单调性,再求解在上的单调性,再根据函数性质进行范围分析即可.‎ ‎(3)将方程化简为,利用复合函数零点的方法,先分析关于的二次函数的根的问题,再根据零点存在性定理列式求不等式即可.‎ ‎【详解】（1）由，得或0. ‎ 因为，所以，所以.‎ 当时，，任取，且，‎ 则 ‎，‎ 因为，则，，‎ 所以在上为增函数；‎ ‎（2）由（1）可知，在上为增函数,当时，‎ 同理可得在上减函数，当时，.‎ 所以； ‎ ‎（3）方程可化为， ‎ 即 设,方程可化为. ‎ 要使原方程有4个不同的正根，‎ 则方程在有两个不等的根， ‎ 则有，解得，‎ 所以实数m的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题以及函数值范围的问题,同时也考查了复合函数零点问题以及零点存在性定理,属于难题.‎ ‎ ‎