专题14 函数与方程思想备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题14 函数与方程思想备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题14 函数与方程思想 专题点拨 函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．‎ 函数的思想是对函数概念的本质认识，就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．‎ 方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想动中求静，研究运动中的等量关系．‎ 函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0.函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．‎ ‎(1)函数的零点与方程根的关系 根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断相应的方程f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根．‎ ‎(2)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要．‎ ‎(3)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论．‎ ‎(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．‎ 例题剖析 一、函数与方程思想在求函数零点中的应用 ‎【例1】已知函数f(x)＝ 则函数g(x)＝2f(x)－2的零点个数为________个．‎ ‎【答案】　2　‎ ‎【解析】　g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数，即是方程f(x)＝的根的个数，也就是y＝f(x)‎ 与y＝的图像的交点个数，分别作出y＝f(x)与y＝的图像，如图所示，由图像知y＝f(x)与y＝的图像有两个交点，所以函数g(x)有2个零点．‎ ‎【变式训练1】 若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为 .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，∴f(x)的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g(x)的图像，可见y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝2x(x≤1)有5个交点，y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝log3(x－1)(x>1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．‎ 二、函数与方程思想在求最值或求参数范围中的应用 ‎【例2】已知a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范围．‎ ‎【解析】　把所要求的问题转化成一元二次方程求解．‎ 因为b＋c＝－a，bc＝1－a，∴b、c是方程x2＋ax＋1－a＝0的两根，∴Δ＝a2－4(1－a)≥0，即Δ＝a2＋4a－4≥0，解得a≥－2＋2或a≤－2－2.‎ ‎【变式训练2】已知a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．‎ ‎【解析】　方法一：(看成函数的值域)∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1，∴b＝，而b>0，∴>0，即a>1或a<－3，又a>0，∴a>1，故a－1>0.∴ab＝a·＝＝(a－1)＋＋5≥9.当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号．又a>3时，(a－1)＋＋5是关于a的单调增函数．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．‎ ‎【例3】已知二次函数（R，0）．‎ ‎(1)当０＜＜时，（Ｒ）的最大值为，求的最小值；‎ ‎(2)如果[0，1]时，总有||．试求的取值范围．‎ ‎【解析】(1)可算得.，.‎ 又，.‎ ‎(2),‎ 解得.‎ ‎【变式训练3】已知函数f(x)＝2cos2x＋cosx－1，g(x)＝cos2x＋a(cosx＋1)－cosx－3.若y＝f(x)与y＝g(x)的图像在(0，π)内至少有一个公共点．试求a的取值范围．‎ ‎【解析】　y＝f(x)与y＝g(x)的图像在(0，π)内至少有一个公共点，即有解，即令g(x)＝f(x)，cos2x＋a(cosx＋1)－cosx－3＝2cos2x＋cosx－1，a(1＋cosx)＝(cosx＋1)2＋1.∵x∈(0，π)，∴0<1＋cosx<2.∴a＝1＋cosx＋≥2.当且仅当1＋cosx＝，即cosx＝0时等号成立．∴当a≥2时，y＝f(x)与y＝g(x)在(0，π)内有解，即y＝f(x)与y＝g(x)的图像在(0，π)内至少有一个公共点．‎ 三、函数与方程思想在数列、解析几何、立体几何中的应用 ‎【例4】设首项为正数的等差数列的前项和为公差为，若.‎ ‎(1)求公差的取值范围；‎ ‎(2)若，求满足的正整数的最大值.‎ ‎【解析】(1),‎ ‎ 解得公差满足：.‎ ‎(2), ,‎ 可算得.所求的最大值为4035.‎ ‎【变式训练4】若等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________．‎ ‎【答案】64　‎ ‎【解析】　设等比数列的公比为q(q≠0)，由得，解得.‎ 所以a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝8n×()＝2－n2＋n，于是当n＝3或n＝4时，a1a2…an取得最大值26＝64. ‎ 四、函数与方程思想在不等式、方程中的应用 ‎【例6】已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．‎ ‎【解析】　t∈[，8]，∴≤log2t≤3，∴≤m≤3.‎ 方法一：不等式可化为：(2－x)m3，即x<－1；‎ 若x>2，则m>2－x，∴2－x<，即x>，又x>2，∴x>2.‎ 综上，x的取值范围为x<－1或x>2.‎ 方法二：原不等式可化为(x－2)m＋(x－2)2>0.令f(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，‎ 当m∈[，3]时，有f(m)的最小值大于0，∵x＝2时，不成立．∴，‎ 即，解得x<－1或x>2.‎ 巩固训练 一、填空题 ‎1．已知定义域为R的函数y＝f(x)的图像关于点(－1，0)对称，y＝g(x)是y＝f(x)的反函数，若x1＋x2＝0，则g(x1)＋g(x2)＝__________．‎ ‎【答案】 －2　‎ ‎【解析】　∵定义域为R的函数y＝f(x)的图像关于点(－1，0)对称，且y＝g(x)是y＝f(x)的反函数，‎ ‎∴函数y＝g(x)的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线x－y＝0对称，‎ 故函数y＝g(x)的图像关于(0，－1)点中心对称，‎ ‎∴点(x1，g(x1))和点(x2，g(x2))是关于点(0，－1)中心对称，‎ ‎∴＝0，＝－1，‎ ‎∵x1＋x2＝0，∴g(x1)＋g(x2)＝－2.‎ 2． 已知x1，x2是函数y＝x2－(k－2)x＋(k2＋3k＋5)(k为实数)的两个零点，则x＋x的最大值为________．‎ ‎【答案】18　‎ ‎【解析】　因为方程x2－(k－2)x＋(k2＋3k＋5)＝0有两个实根，所以Δ≥0，即－4≤k≤－.‎ x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－k2－10k－6＝－(k＋5)2＋19.当k＝－4时，取最大值18.‎ 3． 函数f(x)＝mx2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数m的取值范围为___________．‎ ‎【答案】(2，＋∞)‎ ‎【解析】　当m＝0时，x＝－1∉(0，1)；当m≠0时，要使f(x)在(0，1)内恰有一个零点，则只要f(0)·f(1)<0或，解得m>2.∴ m的取值范围是(2，＋∞)．‎ 4． 若对于任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，1)∪(3，＋∞)　‎ ‎5．若方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，则a的取值范围是________．‎ ‎ 【答案】－3≤a≤1　‎ ‎【解析】　构造函数f(x)＝sin2x＋2sinx，则函数f(x)的值域是[－1，3]，因为方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，所以－1≤－a≤3，∴－3≤a≤1.‎ 二、选择题 ‎6．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－1，1) B．(－2，2)‎ C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎【答案】.C　‎ ‎【解析】　由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2，故选C.‎ ‎7．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【答案】A　‎ ‎8．已知函数f＝，g(x)＝ 则方程＝1实根的个数为(　　)‎ ‎ A．1　　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　 D．4‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】　根据题意f(x)＝，g(x)＝ ‎　|f(x)＋g(x)|＝ 分情况讨论： 当01，∴此时有一个根．‎ 当x>2时，|f(x)＋g(x)|先减后增，且 ‎|f(2)＋g(2)|＝2－ln2>1，|f(2.3)＋g(2.3)|<1，‎ ‎∴此时|f(x)＋g(x)|与y＝1有两个交点，即 ‎|f(x)＋g(x)|＝1有两个根．‎ 综上，方程|f(x)＋g(x)|＝1的实根共有4个，故选D.‎ 三、解答题 ‎9．设P(x，y)是椭圆＋＝1上的动点，定点M，求动点P到定点M距离的最大值与最小值．‎ ‎【解析】　由＋＝1得y2＝2－x2，PM2＝＋y2＝x2－x＋＋2－x2＝(x2－2x)＋＝(x－1)2＋，y2＝2－x2≥0，‎ ‎∴－2≤x≤2.‎ 当x＝1时，PM2取得最小值，即PM的最小值为；当x＝－2时，PM2取得最大值，即PM的最大值为.‎ ‎10．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3，2)时，其值为正，而当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，其值为负，求a，b的值及f(x)的表达式．‎ ‎【解析】依题意知：‎ ，①－②得：‎ ‎5a－5b＋40＝0即a＝b－8③，把③代入②得：‎ b2－13b＋40＝0，解得b＝8或b＝5，分别代入③得：a＝0，b＝8或a＝－3，b＝5.检验知：a＝0，b＝8不适合题意，故f(x)＝－3x2－3x＋18.‎ ‎11．若数列是等差数列，且，数列满足，为数列的前项和，试问多大时，取得最大值？并证明你的结论.‎ ‎【解析】根据条件，可得公差.于是，.‎ 故，，，.‎ 又，因此，的最大值是.‎ ‎12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有等根．是否存在实数m，n(m

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