【数学】2018届一轮复习北师大版集合及其运算学案
知识点 考纲下载
集 合 1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具
体问题．
2．集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交
集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
简单不等
式的解法
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程
的联系．
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序
框图．
命题及其
关系、充
分条件与
必要条件
1.理解命题的概念．
2．了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分
析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
简单的逻 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
辑联结词、
全称量词
与存在量
词
2．理解全称量词和存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
第 1 讲 集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或 N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号
语言
Venn 图
子集
集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若
x∈A，x∈B)
A⊆B(或 B⊇A)
真子集
集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至
少有一个元素不在集合 A 中
A B(或 B A)
集合相等 集合 A，B 中元素相同
A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形
语言
符号
语言
A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}
1．辨明三个易误点
(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情
形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，
否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
(3)防范空集．在解决有关 A∩B＝∅，A⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定
先考虑∅是否成立，以防漏解．
2．活用几组结论
(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆ B．
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(4)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
(6)若集合 A 中含有 n 个元素，则它的子集个数为 2n，真子集个数为 2n－1，非空真子
集个数为 2n－2.
1.教材习题改编 已知集合 A＝{x|x 是平行四边形}，B＝{x|x 是矩形}，C＝{x|x 是正方
形}，D＝{x|x 是菱形}，则( )
A．A⊆B B．C⊆B
C．D⊆$来&源：ziyuanku.comC D．A⊆D
B
2.教材习题改编 设集合 A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则 A∩B＝( )
A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}
C．{3，4} D．{3，4，5}
C 因为 A＝{x|2≤x<5}，
B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，
所以 A∩B＝{3，4}．
3．已知集合 A＝{(x，y)|x，y∈R，且 x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且 y＝x}，
则 A∩B 的元素个数为( )
A．0 B．1 中·华.资*源%库 ziyuanku.com
C．2 D．3
C 集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合 B 表示的是直线 y＝x，据此画出图象，
可得图象有两个交点，即 A∩B 的元素个数为 2.中·华.资*源%库 ziyuanku.com
4.教材习题改编 已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集
合 B＝{1，3，4，6，7}，则集合 A∩∁UB＝________．
由题意得∁UB＝{2，5，8}，所以 A∩∁UB＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．
{2，5}
5.教材习题改编 已知集合 A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2
2}．
{x|x≤1 或 x>2}
集合的含义
(1)已知集合 A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈AZiyuanku.com}中元素的
个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
(2)设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，
b
a，b}，则 b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 (1)当 x＝0 时，y＝0；当 x＝1 时，y＝0 或 y＝1；当 x＝2 时，y＝0，
1，2.
故集合 B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有 6 个
元素．
(2)因为{1，a＋b，a}＝{0，
b
a，b}，a≠0，所以 a＋b＝0，则
b
a＝－1，所以 a＝－1，b＝
1.所以 b－a＝2.
【答案】 (1)C (2)C
1．设集合 A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则 M 中的元素
个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B 因为 a∈A，b∈B，所以 x＝a＋b 为 1＋4＝5，1＋5＝2＋4＝6，2＋5＝3＋
4＝7，3＋5＝8.共 4 个元素．
2．已知集合 A＝{m＋2，2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值为________．
因为 3∈A，所以 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3.
当 m＋2＝3，即 m＝1 时，2m2＋m＝3，中/华-资*源%库
此时集合 A 中有重复元素 3，Ziyuanku.com
所以 m＝1 不符合题意，舍去；
当 2m2＋m＝3 时，解得 m＝－
3
2或 m＝1(舍去)，
此时当 m＝－
3
2时，m＋2＝
1
2≠3 符合题意．
所以 m＝－
3
2.
－
3
2
集合间的基本关系
(1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|05}，如何求解？
因为 B⊆A，
所以①当 B＝∅时，即 2m－1 5
或{m＋1 ≤ 2m－1，
2m－1 < －2，
解得{m ≥ 2，
m > 4 或{m ≥ 2，
m < －
1
2.即 m>4.
综上可知，实数 m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
1．设 P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP
C 因为 P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所
以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，选 C.
2 ． 已 知 集 合 A＝ {x|x2 － 2x－ 3<0} ，B＝ {x| －m0 时，因为 A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－10}＝{x|x>－2}，因此
(∁UA)∩B＝{x|－2 < x <
7
6}，选 A.
3．(2017·宜春中学、新余一中联考)WWW.ziyuanku.com
已知全集为 R，集合 A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合
是( )
A．{x|20，解得 x<0 或 x>
1
2，因为 N＝(－∞，0)∪(1
2，＋∞)，又
M＝{1，－1}，所以可知 B 正确，A，C，D 错误，故选 B．
7．已知全集 U＝Z，P＝{－2，－1，1，2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图中阴影部分表
示的集合为( )
A．{－1，－2} B．{1，2}
C．{－2，1} D．{－1，2}
A 因为 Q＝{1，2}，
所以 P∩(∁UQ)＝{－1，－2}，故选 A.
8．已知集合 M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若 M∩N＝{x|33}，
则 A∩(∁RB)＝( )
A．{－1，2} B．{－2，－1，1，2，4}
C．{1，4} D．∅
A 当 k＝－1 时，n＝－4；当 k＝0 时，n＝－1；当 k＝1 时，n＝2；当 k＝2 时，n＝
5.由|x－1|>3，得 x－1>3 或 x－1<－3，即 x>4 或 x<－2，所以 B＝{x|x<－2 或 x>4}，∁RB＝
{x|－2≤x≤4}，A∩(∁RB)＝{－1，2}．
12．(2017·临沂质检)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，
若∁UB⊆A，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2]
C． 因为 x2－3x＋2>0，所以 x>2 或 x<1.
所以 A＝{x|x>2 或 x<1}，因为 B＝{x|x≤a}，
所以∁UB＝{x|x>a}．
因为∁UB⊆A，借助数轴可知 a≥2，故选 D．
13．集合 A＝{0，2， a}，B＝{1， a2}，若 A∪B＝{0，1，2，4，16}，则 a 的值为
________．
根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是 a＝4.
4
14．(2017·山西省高三考前质量检测)设全集 U＝{x∈Z|－2≤x≤4}，A＝{－1，0，1，
2，3}．若 B⊆∁UA，则集合 B 的个数是________．
由题意得，U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，所以∁UA＝{－2，4}，所以集合 B 的个数
是 22＝4.
4
15．设全集 U＝{x∈N*|x≤9}，∁ U(A∪B)＝{1，3}， A∩(∁ UB)＝{2，4}，则 B＝
________．
因为全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
由∁U(A∪B)＝{1，3}，
得 A∪B＝{2，4，5，6，7，8，9}，
由 A∩(∁UB)＝{2，4}知，{2，4}⊆A，{2，4}⊆∁UB．
所以 B＝{5，6，7，8，9}．
{5，6，7，8，9}
16．已知集合 A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a0}＝{x|－1 2m，
2m ≤ 1，
1－m ≥ 3，
得 m≤－2，即实数 m 的取值范围为(－∞，－2]．
(3)由 A∩B＝∅，得
①若 2m≥1－m，即 m≥
1
3时，B＝∅，符合题意；
②若 2m<1－m，即 m<
1
3时，需{m <
1
3，
1－m ≤ 1
或{m <
1
3，
2m ≥ 3，
得 0≤m<
1
3或∅，即 0≤m<
1
3.
综上知 m≥0，即实数 m 的取值范围为[0，＋∞)．
