贵州省遵义市2020届高三9月第一次统一考试数学（理）试题

贵州省遵义市2020届高三9月第一次统一考试数学（理）试题

遵义市2020届高三年级第一次统一考试 理科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合内的不等式进行计算，然后根据交集运算得到答案.‎ ‎【详解】集合中，解不等式，得，‎ 所以集合 而集合 所以，‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查对数不等式的计算，集合交集的运算，属于简单题.‎ ‎2.在复平面内，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对条件中的式子进行计算化简，得到复数，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案.‎ ‎【详解】由，得 所以在复平面对应的点为，所以对应的点在第一象限.‎ 故选A项.‎ ‎【点睛】本题考查复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.‎ ‎3.已知两个单位向量和的夹角为，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对平方，然后将单位向量和的模长和夹角带入，得到关于的函数，然后得到其最小值，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为和是单位向量，且夹角为 所以 ‎，‎ 所以，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查向量模长的表示，求模长的最小值，属于简单题,‎ ‎4.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选A ‎5.已知：，，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别将与特殊值进行比较，然后判断出其大小关系，得到答案.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ 故选D项.‎ ‎【点睛】本题考查比较指数值和对数值的大小，属于简单题.‎ ‎6.执行如图所示程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图的要求，得到每次循环对应的的值，再根据判断语句，结束循环，输出的值，得到答案.‎ ‎【详解】根据程序框图的循环语句可知 第一次循环，，此时，，；‎ 第二次循环，，此时，，；‎ 第三次循环，，此时，，；‎ 第四次循环，，此时，，；‎ 第五次循环，，此时，，；‎ 第六次循环，，不满足，循环停止，‎ 输出 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查根据输入值求程序框图的输出值，裂项相消求数列的和，属于简单题.‎ ‎7.已知函数，则不等式的解集是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，‎ 又由，即函数定义域上的奇函数，‎ 又由不等式可转化为 ‎ 即，即，解得，‎ 即不等式的解集为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎8.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.‎ ‎【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.‎ ‎9.已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的是 A. 函数的值域与的值域相同 B. 若是函数的极值点，则是函数的零点 C. 把函数的图像向右平移个单位，就可以得到函数的图像 D. 函数和在区间上都是增函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的导数，结合解析式的特点来判断.‎ ‎【详解】，所以选项A正确；由极值点定义可知选项B正确；把的图像向右平移个单位，得到与不相等；故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质.三角函数的图像变换主要平移方向和系数的影响.‎ ‎10.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列，若数列的前n项和为，则（ ）‎ A. 265 B. 521 C. 1034 D. 2059‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出杨辉三角中第47个数在第几行，然后根据每行规律得到这一行的和，然后再求其前47项的和.‎ ‎【详解】根据题意杨辉三角前9行共有 故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，‎ 所以前47项的和 故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查杨辉三角的特点，等比数列求和，属于中档题.‎ ‎11.已知边长为4等边三角形，D为的中点，以为折痕，将三角形折成直二面角，则经过A，B，C，D球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对平面图形进行转换，将三棱锥补齐成长方体，进一步求出长方体外接球体的半径，最后求出所求球的表面积．‎ ‎【详解】如图所示，边长为4的等边三角形，‎ D为的中点，以为折痕，将三角形折成直二面角.‎ 则,,‎ 将三棱锥可补成一个长方体，‎ 则经过A，B，C，D球为长方体的外接球，‎ 设球的半径为 故：‎ 所以 所以其表面积.‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查通过补齐图形求三棱锥的外接球半径及表面积，属于中档题.‎ ‎12.已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出到渐近线距离，利用关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，可得直角三角形，由勾股定理得关于的方程，即可求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】由题意， ，一条渐近线方程为,‎ 则到渐近线的距离为，‎ 设关于渐近线的对称点为与渐近线交于，‎ 为的中点，‎ 又是的中点，为直角,‎ 为直角三角形，‎ 由勾股定理得，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．‎ 二、填空题:把答案填在题中横线上．‎ ‎13.直线与圆（其中）无公共点，则实数a的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，将圆的圆心和半径表示出来，然后利用公式，得到关于的不等式，解出答案.‎ ‎【详解】圆（其中）,圆心为，半径为，且 因为直线与圆无公共点 则圆心直线的距离大于半径，‎ 即，且 解得的范围为.‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于简单题.‎ ‎14.甲几何体（上）与乙几何体（下）组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为，则等于_______．‎ ‎ ‎ ‎【答案】1∶3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．‎ ‎【详解】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三视图还原几何体，求球和圆锥的体积，属于简单题.‎ ‎15.已知数列、均为等差数列，且前n项和分别为和，若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公式，转化为，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为数列、均为等差数列 所以 ‎【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.‎ ‎16.已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数得到定点坐标，再把代入直线，得到的关系，再由基本不等式得到答案.‎ ‎【详解】函数（且）的图象恒过定点，‎ 所以,‎ 将代入到直线中，得到，‎ 即 所以 当且仅当时，等号成立.‎ 所以答案为：‎ ‎【点睛】本题考查对数函数过定点，基本不等式求最小值，属于中档题.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对进行化简，得到正弦型函数，然后根据的范围，求出的范围，得到的值域. （Ⅱ）由得到的值，根据和正弦定理得到的值，再由求出，根据和正弦定理，得到，由面积公式求出 的面积.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴函数的值域为 ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，即．‎ 由，由正弦定理，∵∴，∴．‎ ‎∵∴ ‎ ‎∴，∵，∴‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简，求正弦型函数的值域，正弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.‎ ‎18.未来创造业对零件的精度要求越来越高.打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间.某制造企业向高校打印实验团队租用一台 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取个零件，度量其内径的茎叶图如图（单位：）.‎ ‎（1）计算平均值与标准差；‎ ‎（2）假设这台打印设备打印出品的零件内径服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了个零件，度量其内径分别为（单位：）：、、、、，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？‎ 参考数据：，，，，.‎ ‎【答案】(1) (2) 机器异常，需要进一步调试 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由均值与方差的定义公式计算；‎ ‎（2）由正态分布求得概率后知零件内径在外的概率只有0.0026，而在外，因此机器异常．‎ ‎【详解】（1） ，‎ ‎ ，‎ 所以.‎ ‎（2）结论：需要进一步调试.‎ 理由如下：如果机器正常工作，则服从正态分布，‎ ‎ ，‎ 零件内径在之外的概率只有，‎ 而，根据原则，知机器异常，需要进一步调试.‎ ‎【点睛】本题考查均值与方差公式，考查正态分布，解题时由相应公式计算即可．属于基础题．‎ ‎19.如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，，为的中点.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别计算∠BCA和∠CAE得出两角相等，得出AE∥BC，故而AE∥平面PBC；（2）建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．‎ ‎【详解】（1）证明：‎ 在中，‎ 是直角三角形 又为的中点，‎ 是等边三角形，‎ 又平面平面 平面 ‎（2）‎ 由（1）可知，以点为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎ ‎ ‎ 设为平面的法向量，则即 设，则 设为平面的法向量，则即 设，则 二面角的余弦值为 ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行。‎ ‎20.顺次连接椭圆的四个项点，怡好构成了一个边长为且面积为的菱形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，过椭圆C右焦点F的直线交椭圆C于A、B两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意列出的方程组，解出，得到椭圆方程；（Ⅱ）按斜率不存在和存在分别表示出直线，直线与椭圆联立，得到，将坐标表示出来，代入，得到关于斜率的不等式，从而求出其最大值，得到的范围.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由已知得：，‎ 解得，， ‎ 所以，椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，‎ ‎，‎ 当直线垂直于x轴时，，，且 此时，，∴，‎ 当直线不垂直于x轴时，设直线，‎ 由 得 ‎∴，， ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 要使不等式恒成立，‎ 只需，即的最小值为 ‎【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的交点，椭圆中的范围问题，属于中档题.‎ ‎21.已知， ．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）记表示m，n中的最大值，若，且函数恰有三个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ），当时，的单减区间为；当时，的单减区间为和，单增区间为．（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对求导，得到，然后分和，分别要求的正负，从而得到的单调区间；（Ⅱ）分和进行讨论，当时，可知证明至多有两个零点，不合题意，当时，先得出关于对称，所以 要有3个零点，则必须在上取到2个零点，得到关于的不等式组，解出的范围，得到答案.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）的定义域为R，‎ ‎．‎ ‎①当时，，所以的单减区间为；‎ ‎②当时，令，得，‎ 令，得， ‎ 综上得，当时，的单减区间为；‎ 当时，的单减区间为和，单增区间为． ‎ ‎（Ⅱ），‎ 的唯一一个零点是，∴， ‎ 由（1）可得：（ⅰ）当时，的单减区间为，‎ 此时至多有两个零点，不符合题意 ‎（ⅱ）当时，令，‎ 则的图象关于点对称，‎ 即的图象关于中心对称，‎ 注意到在上恒正，‎ 要有3个零点，则必须上取到2个零点，‎ 如图，‎ ‎∴极大值，且 ‎ 则有 ‎， ‎ 综上，．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，极大值和零点问题，属于难题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为原点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点，分别在曲线，上运动，若，两点间距离的最小值为，求实数的值.‎ ‎【答案】（I），；（II）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）消去参数后可得的普通方程，利用可得的直角方程.‎ ‎（II）利用的最小值得到圆心到直线的距离，从而可求出.‎ ‎【详解】（I）曲线；曲线的极坐标方程为 ‎，即，‎ 将，代入，得 ‎（II）因为曲线的半径，若点，分别在曲线，上运动，，两点间距离的最小值为，即圆的圆心到直线的距离，‎ ‎，解得或.‎ ‎【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．在极坐标系中，当动点在不同的几何对象上运动变化时，我们可把它们转化到直角方程，在平面直角坐标系中讨论它们的位置关系．‎ ‎23.已知 ‎（1）当时，求不等式解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，对分类讨论去绝对值再求解集。‎ ‎（2）不等式的解集为实数集等价于恒成立。‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时，由得，得，或，‎ 所以.‎ 当时 ,由 得 ,‎ 解得，或. ‎ 所以 ‎ 当时，由得，‎ 解得，或.‎ 所以 ‎ 综上 当时，的解集为.‎ ‎（2）的解集为实数集，‎ 当时， ，‎ 当时， ，‎ 的最大值为.‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】解含有两个以上绝对值的不等式经常用零点分段法去绝对值，‎ 解不等式可转化为函数的恒成立问题。‎ ‎ ‎