浙江省诸暨市牌头中学2018年浙江省数学竞赛考点分析五解析几何

浙江省诸暨市牌头中学2018年浙江省数学竞赛考点分析五解析几何

竞赛考点分析五：解析几何 1、（2017 浙江）已知椭圆 126 22  yx 的右焦点为 F ，过 F 的直线  2 xky （ 0k ）交椭圆于 QP, 两点，若 PQ 的中点为 N ，直线ON 交直线 3x 于 M 。 （1）求 MFQ 的大小； （2）求 MF PQ 的最大值。 2、（2016 浙江）已知椭圆 C：  012 2 2 2  bab y a x 经过点      5 16,3P ，离心率为 5 3 ，过椭圆 C 的右 焦点作斜率为 k 的直线l ，交椭圆 C 于 A、B 两点，记 PA、PB 的斜率为 1k 、 2k 。 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 1k + 2k =0，求实数 k 的值。 3、（2016 全国联赛）双曲线 13 2 2  yx 的左、右焦点为 F1、F2，过 F2 的一条直线与右支 交于点 P、Q，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ 的内切圆半径为_______。 （2016 全国联赛）已知点 F 是 x 轴正半轴上的一个动点，以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C，设 P 是第一象限内 C 上的一点， Q 是 x 轴负半轴上的一点，使得 PQ 为 C 的切线，且|PQ|=2。 圆 C1、C2 均与直线 OP 相切于点 P，且均与 x 轴相切。 求点 F 的坐标，使圆 C1 与 C2 的面积之和取到最小值。 x O y C1 C2 P 考查方向： 1、圆锥曲线的方程与性质； 2、在圆锥曲线的弦中求最值与定值等问题。 练习： 1、直线 032  yx 与 C： xy 82  交于 A、B 两点，过 A、B 的圆与抛物线 C 交于另外两点 C、D， 则 CDk ________。 2、点 P 是双曲线  0,012 2 2 2  bab y a x 右支上任一点，  21FPF ，  12FPF ，满足 2tan2tan4   ，则双曲线的离心率为_______。 3、已知 F1、F2 为  012 2 2 2  bab y a x 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，I 为 21PFF 的内心，存在  满足     PIPFPF 311 21   ，则 e _____。 4、已知直线l 过椭圆C ： 2 2 12 x y  的左焦点 F 且交椭圆C 于 A 、 B 两点。O 为坐标原 点，若OA OB ，则点O 到直线 AB 的距离为________。 5、如图， 1F 、 2F 为双曲线C ： 2 2 14 x y  的左、右焦点，动点 0 0( )P x y， （ 0 1y  ）在双 曲线C 上的右支上。设 1 2F PF 的角平分线交 x 轴于点 ( 0)M m， ，交 y 轴于点 N 。 （1）求m 的取值范围； （2）设过 1F ， N 的直线l 交双曲线C 于点 D ， E 两点，求 2F DE△ 面积的最大值。 [来源:学*科*网] 简要分析： 1、（2017 浙江）已知椭圆 126 22  yx 的右焦点为 F ，过 F 的直线  2 xky （ 0k ）交椭圆于 QP, 两点，若 PQ 的中点为 N ，直线ON 交直线 3x 于 M 。 （1）求 MFQ 的大小；[来源:学科网 ZXXK] （2）求 MF PQ 的最大值。 用韦达定理求即可。（1）直角；（2） 3 。 2、（2016 浙江）已知椭圆 C：  012 2 2 2  bab y a x 经过点      5 16,3P ，离心率为 5 3 ，过椭圆 C 的右 焦点作斜率为 k 的直线l ，交椭圆 C 于 A、B 两点，记 PA、PB 的斜率为 1k 、 2k 。 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 1k + 2k =0，求实数 k 的值。 （1） 5 3e ，可设椭圆方程为 tyx  1625 22 ，点      5 16,3P 代入即可得 1t 。 （2）用韦达定理代入即可得 5 3k 。[来源:学+科+网] 亦可推广为一般的定理：若 1k + 2k =0，则直线 AB 的斜率为定值 5 3k 。 3、（2016 全国联赛）双曲线 13 2 2  yx 的左、右焦点为 F1、F2，过 F2 的一条直线与右支 交于点 P、Q，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ 的内切圆半径为__ 272  ____。 直角三角形的内切圆半径： 2 cbar  ；再结合定义与焦点三角形的处理可得。 （2016 全国联赛）已知点 F 是 x 轴正半轴上的一个动点，以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C，设 P 是第一象限内C 上的一点， Q 是 x 轴负半轴上的一点，使得 PQ 为 C 的切线，且|PQ|=2。 圆 C1、C2 均与直线 OP 相切于点 P，且均与 x 轴相切。 求点 F 的坐标，使圆 C1 与 C2 的面积之和取到最小值。 抛物线 pxy 22  的切线方程： 设切点  paaP 2, ，则切线  axpypa 2 所以 424 22  paaPQ 。 两圆与 OP 相切于点 P 的处理： 过  paaP 2, 作 OP 的垂线：  ax pa apay  2 2 C1  1|,| rOP ，C2  2|,| rOP 在直线上： pa paapaa pa ar 2 22 2 2 2 1  pa paapaa pa ar 2 22 2 2 2 2  所以两圆面积之和为：      pa apaaparr 22 2 2 2 1 2222   练习： 1、直线 032  yx 与 C： xy 82  交于 A、B 两点，过 A、B 的圆与抛物线 C 交于另外两点 C、D， 则 CDk ________。 x O y C1 C2 P      2,2 1A ，      6,2 9B ，过 A、B 的圆：      032622 9 2 1            yxyyxx  。 将 xy 82  代入得：    034622 9 82 1 8 222                    yyyyyy  因为 C、D 在抛物线上，所以 21 8 yykCD  ， 所以看上述方程的韦达定理： 04321  yyyy ，得 28 21  yykCD 。 2、点 P 是双曲线  0,012 2 2 2  bab y a x 右支上任一点，  21FPF ，  12FPF ，满足 2tan2tan4   ，则双曲线的离心率为_______。 3 5 [来源:学科网] 注意到半角，即角平分线，所以由角平分线得内心的性质可知：   acac  42tan2tan4  ， 3、已知 F1、F2 为  012 2 2 2  bab y a x 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，I 为 21PFF 的内心，存在  满足     PIPFPF 311 21   ，则 e _____。 2 1 内心的向量表达式： 0 OCcOBbOAa 4、已知直线l 过椭圆C ： 2 2 12 x y  的左焦点 F 且交椭圆C 于 A 、 B 两点。O 为坐标原 点，若OA OB ，则点O 到直线 AB 的距离为________。 3 6 5、如图， 1F 、 2F 为双曲线C ： 2 2 14 x y  的左、右焦点，动点 0 0( )P x y， （ 0 1y  ）在双 曲线C 上的右支上。设 1 2F PF 的角平分线交 x 轴于点 ( 0)M m， ，交 y 轴于点 N 。[来源:学|科|网] （1）求m 的取值范围； （2）设过 1F ， N 的直线l 交双曲线C 于点 D ， E 两点，求 2F DE△ 面积的最大值。 联想圆锥曲线的光学性质得： PM 是双曲线的切线。 可简单证明：切线 PM 的方程为 14 0 0  yyxx 。 50 0 1   x ykPF ， 50 0 2   x ykPF 。 角平分线应满足： 2 2 1 1 11 kk kk kk kk    。 或用向量的夹角公式处理：  PMPF PMPF 1 1 PMPF PMPF 2 2  。 所以由切线 PM 的方程为 14 0 0  yyxx 。得       0,4 0xM ，        0 1,0 yN 。