山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题 Word版含解析

山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题 Word版含解析

数学试题 本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式：锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）‎ ‎―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合N，然后进行交集的运算即可.‎ ‎【详解】由，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】考查描述法的定义，以及交集的运算，是基础题.‎ ‎2.函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用零点存在定理计算得到答案.‎ ‎【详解】，易知函数单调递增，‎ ‎，，,故函数在上有唯一零点.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎3.已知命题p，，，则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 全称命题:，否定，是特称命题:，，结合已知中原命题，，可得到答案．‎ ‎【详解】 原命题， ， 命题，的否定是:，．‎ 故选:B．‎ ‎【点睛】本题考查了命题的否定. ，的否定为， ；，的否定是，.求否定的易错点是和否命题进行混淆，属于基础题.‎ ‎4.如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（ ）‎ A. 4π B. 5π C. 6π D. 7π ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形可以得出，代入圆柱的表面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，可得，解得，‎ 所以圆柱的表面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积的求法，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，意在考查空间想象能力，以及运算与求解能力.‎ ‎5.“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即.国内生产总值（GDP）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015－2019年GDP数据：‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 国内生产总值/万亿 ‎68.89‎ ‎74.64‎ ‎83.20‎ ‎91.93‎ ‎99.09‎ 根据表中数据，2015－2019年我国GDP的平均增长量为（ ）‎ A. 5.03万亿 B. 6.04万亿 C. 7.55万亿 D. 10.07万亿 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次将2015-2019年数据代入所给公式即可求解.‎ ‎【详解】由题意得，2015－2019年我国GDP的平均增长量为：‎ ‎==7.55万亿.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查“平均增长量”的计算，考查学生分析，计算的能力，属基础题.‎ ‎6.已知双曲线C的方程为，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 双曲线C的实轴长为8 B. 双曲线C的渐近线方程为 C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D. 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线方程求出，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离.‎ ‎【详解】解：由双曲线C的方程为得：.双曲线C的实轴长为,故选项正确.双曲线C的渐近线方程为，故选项正确.取焦点，则焦点 到渐近线的距离，故选项正确.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故选项错误.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式应用，属于基础题.‎ ‎7.已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为一个数为零，每次加或者减，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果.‎ ‎【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加或者减，经过6次后，结果还是零的问题.‎ 则每次都有加1或者减1两种选择，共有种可能；‎ 要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，‎ 故满足题意的可能有：种可能.‎ 故满足题意的概率.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.‎ ‎8.在中，，.当取最大值时，内切圆的半径为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令，由，平方化简可得当时，有最大值，再由此求出所有边角，再设内切圆半径为，根据等面积法，求出.‎ ‎【详解】令，，，‎ 平方相加得，得，‎ 显然，当时，有最大值，则，又，得，‎ 则，设为的中点，如图所示：‎ 则，，设内切圆的半径为，则 ‎，解得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系式，解三角形，内切圆的特点，考查了学分分析观察能力，属于中档题.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.已知复数（其中i为虚数单位）下列说法正确的是（ ）‎ A. 复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B. z可能为实数 C. ‎ D. 的实部为 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，得，可判断A选项；当虚部时，可判断B选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C选项；由复数的除法运算得的实部是，可判断D选项；‎ ‎【详解】因为，所以，所以，所以，所以A选项错误；‎ 当时，复数z是实数，故B选项正确；‎ ‎，故C选项正确；‎ ‎，的实部是，故D选项正确；‎ 故选：BCD.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三角函数的恒等变换公式的应用，属于中档题.‎ ‎10.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD，，现从角落A沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；然后利用三角形全等即可求解.‎ ‎【详解】第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：‎ 此时，根据反射的性质，，，所以，,为中点，取，则，设，则，所以，可得，，，‎ 第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：‎ 此时，根据反射的性质，，，，所以，,为中点，取，则，设，则，所以，可得，，，‎ 故答案选：AD ‎【点睛】本题考查分类讨论的数学思想，难点在于作图，属于难题.‎ ‎11.如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）‎ A. 对任意点P，平面 B. 三棱锥的体积为 C. 线段DP长度的最小值为 D. 存在点P，使得DP与平面所成角的大小为 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项逐一分析，‎ 对于A：平面平面，可得平面；‎ 对于B：三棱锥的高均为1，底面的面积为，根据锥体体积公式计算即可作出判断；‎ 对于C：当点P为的中点时，DP最小，此时，在中利用勾股定理进行计算可得出DP的最小值；‎ 对于D：设点P在平面上的投影为点Q，为DP与平面所成的角，，，而，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，从而作出判断.‎ ‎【详解】由题可知，正方体的面对角线长度为，‎ 对于A：分别连接、、、、，易得平面平面，平面，故对任意点P，平面，故正确；‎ 对于B：分别连接、，无论点P在哪个位置，三棱锥的高均为1，底面的面积为，所以三棱锥的体积为，故正确；‎ 对于C：线段DP在中，当点P为的中点时，DP最小，此时，在中，，‎ 故DP的最小值为，故正确；‎ 对于D：点P在平面上的投影在线段上，设点P的投影为点Q，则 为DP与平面所成的角，，，‎ 而，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，‎ 所以不存在点P，使得DP与平面所成角的大小为，故错误.‎ 故选：ABC.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行，考查棱锥体积，考查线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.‎ ‎12.设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知，则是间隔递增数列 C. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2‎ D. 已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据间隔递增数列的定义求解.‎ ‎【详解】A. ，因为，所以当时，‎ ‎，故错误；‎ B. ，令，t在单调递增，则，解得，故正确； ‎ C. ，当为奇数时，，存在成立，当为偶数时，，存在成立，综上：是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；‎ D. 若是间隔递增数列且最小间隔数是3，‎ 则，成立，‎ 则，对于成立，且，对于成立 即，对于成立，且，对于成立 所以，且 解得，故正确.‎ 故选：BCD ‎【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，若，则k的值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的坐标运算，求得，再结合向量的数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，向量，，则，‎ 因为，所以，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及平面向量的数量积的坐标运算，其中解答熟记平面向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.‎ ‎14.若，则的值为__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将二项式等价变形为，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得的值.‎ ‎【详解】，其通项公式为，故，所以.‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎15.已知，分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上关于轴对称的两点，的中点P恰好落在轴上，若，则椭圆C的离心率的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件先判断出过左焦点且，然后求出两点坐标，再表示出点坐标，根据，利用向量数量积坐标形式得到关于的方程，结合及即可求出.‎ ‎【详解】解：由于的中点P恰好落在轴上，又A，B是椭圆上关于 轴对称的两点，所以过左焦点且，‎ 则.因为是的中点，则.又，‎ 则.因为，则，即.又，‎ 则，即，解得：或（舍去）.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质离心率，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则a的值为__________；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，根据导数几何意义确定切点坐标，代入得，与联立，利用判别式为零解得a的值.‎ 先求导数，设切点坐标，根据导数几何意义确定切线斜率，利用点斜式得切线方程，再与联立，利用判别式为零得方程，利用分离法转化为求对应函数值域，结合导数求函数值域即得a的取值范围.‎ ‎【详解】,设切点为，则切点为，直线代入得 ‎，‎ 由上面可知切线方程为：，代入得，‎ 令，则 当时单调递增，当时单调递减，‎ 因此 所以 故答案为：，‎ 点睛】本题考查导数几何意义、两函数公切线、利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知直角梯形ABCD中，，，，将直角梯形ABCD（及其内部）以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求异面直线BM与EF所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）60°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平面//平面，得到//，再结合垂径定理即可证明；‎ ‎（2）连接DN，先证明四边形ENDF为平行四边形，再求即可.‎ 详解】（1）证明：连接CE，与BM交于点N，‎ 根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD与EF相交，‎ 故C，D，F，E四点共面，因为平面平面BCE，‎ 所以，因为M为CE的中点，‎ 所以，所以N为CE中点，又，‎ 所以，即，所以.‎ ‎（2）连接DB，DN，‎ 由（1）知，且，‎ 所以四边形ENDF为平行四边形，所以，‎ 所以为异面直线BM与EF所成的角，‎ 因为，所以为等边三角形，‎ 所以，所以异面直线BM与EF所成角的大小是60°.‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直以及异面直线夹角的求解，涉及由面面平行推证线线平行，；本题亦可用向量法处理，属综合基础题.‎ ‎18.已知数列的前n项和为，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设求数列的前2n项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用与之间的关系，即可求得，注意判断时的情况是否与结果吻合；‎ ‎（2）利用分组求和，结合（1）中所求，即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，所以当时，，‎ 当时，，‎ 又时符合上式，所以.‎ ‎（2）因为所以对任意的，‎ ‎，‎ 则是以1为首项，2为公差的等差数列；‎ ‎，则是以4为首项，4为公比的等比数列.‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用与的关系求数列的通项公式，以及用分组求和法求数列的前项和，涉及等差和等比数列的求和公式，属综合基础题.‎ ‎19.已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎（1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式；‎ ‎（2）求方程在区间上所有解的和.‎ ‎【答案】（1）满足的条件为①③；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式；‎ ‎（2）将代入方程，求得，从而确定出或，结合题中所给的范围，得到结果.‎ ‎【详解】（1）函数满足的条件为①③；‎ 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，‎ 故③为函数满足的条件之一，‎ 由③可知，，所以，故②不合题意，‎ 所以函数满足的条件为①③；‎ 由①可知，所以；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以或，‎ 所以或，‎ 又因为，所以x的取值为，，，，‎ 所以方程在区间上所有的解的和为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的性质，结合性质确定函数解析式，届三角方程，属于简单题目.‎ ‎20.法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.‎ ‎（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000的个数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：）‎ ‎981‎ ‎972‎ ‎966‎ ‎992‎ ‎1010‎ ‎1008‎ ‎954‎ ‎952‎ ‎969‎ ‎978‎ ‎989‎ ‎1001‎ ‎1006‎ ‎957‎ ‎952‎ ‎969‎ ‎981‎ ‎984‎ ‎952‎ ‎959‎ ‎987‎ ‎1006‎ ‎1000‎ ‎977‎ ‎966‎ 尽管上述数据都落在上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由 附：‎ ‎①若，从X取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知：随机变量 ‎②若，则，，；‎ ‎③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；期望为1（个）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.可求得；；.从而可求得的分布列和其数学期望.‎ ‎（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎，则.由附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则.可求得这25个数据的平均值为，而由由附②数据知，，由附③知，事件“”为小概率事件，可得结论.‎ ‎【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.‎ ‎；；‎ ‎.所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以（个）.‎ ‎（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.‎ 假设面包师没有撒谎，则.‎ 根据附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，‎ 则.‎ 庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了25个数据，‎ 这25个数据的平均值为，‎ 由附②数据知，，‎ 由附③知，事件“”为小概率事件，‎ 所以“假设面包师没有撒谎”有误，‎ 所以庞加莱认为面包师撒谎.‎ ‎【点睛】本题考查概率统计知识的应用，关键在于理解概率统计中的量的含义，与实际生活中的数据建立联系，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，，求的最大值；‎ ‎（2）当时，讨论极值点的个数.‎ ‎【答案】（1）（2）时，极值点个数为0个；‎ 时，极值点的个数为2个 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求出单调性，从而求得的最大值；‎ ‎（2）先求导数，，导数的符号由分子确定，先分和讨论，时，易得，当时，将看成关于的二次函数，由确定的符号，从而判断极值点的个数.‎ ‎【详解】（1）当，时，，‎ 此时，函数定义域为，，‎ 由得：；由得：，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 所以.‎ ‎（2）当时，函数定义域为，‎ ‎，‎ ‎①当时，对任意的恒成立，‎ 在上单调递减，所以此时极值点的个数为0个；‎ ‎②当时，设，‎ ‎（i）当，即时，‎ 对任意的恒成立，即在上单调递减，‎ 所以此时极值点的个数为0个；‎ ‎（ii）当，即时，记方程的两根分别为，，‎ 则，，所以，都大于0，‎ 即在上有2个左右异号的零点，‎ 所以此时极值点的个数为2.‎ 综上所述时，极值点的个数为0个；‎ 时，极值点的个数为2个.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，确定函数的最大值和极值点的个数，考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.‎ ‎22.已知平面上一动点A的坐标为.‎ ‎（1）求点A的轨迹E的方程；‎ ‎（2）点B在轨迹E上，且纵坐标为.‎ ‎（i）证明直线AB过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ii）分别以A，B为圆心作与直线相切的圆，两圆公共弦的中点为H，在平面内是否存在定点P，使得为定值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（i）证明见解析；定点（ii）存在；点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设动点A的坐标为，根据A的坐标为，坐标对应相等，消去参数t即可. ‎ ‎（2）（i）根据点B在轨迹E上，且纵坐标为，得到点B的坐标为，再分和两种情况与点A用点斜式方程求解.（ii）根据圆A，B与直线相切，分别表示圆A，圆B的方程，然后两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，将，坐标代入并整理，根据H是该直线与（i）中直线AB的交点，两个方程相乘即可.‎ ‎【详解】（1）设动点A的坐标为，‎ 因为A的坐标为，‎ 所以，‎ 消去参数t得：；‎ ‎（2）（i）因为点B在轨迹E上，且纵坐标为，‎ 所以点B的坐标为，‎ 当时，直线AB的方程为；‎ 当时，直线AB的斜率为，‎ 所以直线AB的方程为，‎ 整理得，所以直线AB过定点；‎ ‎（ii）因为A的坐标为，且圆A与直线相切，‎ 所以圆A的方程为，‎ 同理圆B的方程为，‎ 两圆方程相减得，‎ 将，带入并整理得①，‎ 由（i）可知直线AB的方程为②，‎ 因为H是两条直线的交点，‎ 所以两个方程相乘得，‎ 整理得，即点H的轨迹是以为圆心，‎ 为半径的圆，所以存在点，满足.‎ ‎【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程，直线过定点以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎