2017-2018学年山东省济南市历城第二中学高二下学期4月月考数学试题（解析版）

2017-2018学年山东省济南市历城第二中学高二下学期4月月考数学试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省济南市历城第二中学高二下学期4月月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，,故选A.‎ ‎2．设复数满足，则=（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则，求出z，求z模即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算法则及复数模的概念，属于容易题.‎ ‎3．对于独立性检验，下列说法正确的是（ ）‎ A． 时，有95%的把握说事件与无关 B． 时，有99%的把握说事件与有关 C． 时，有95%的把握说事件与有关 D． 时，有99%的把握说事件与无关 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立性检验中卡方的概念知，选B.‎ ‎【详解】‎ 根据独立性检验中卡方的概念知,时，有99%的把握说事件与有关选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验中卡方的概念，属于中档题.‎ ‎4．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列中,可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为等差数列中，所以，，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质，等差数列前n项和，属于中档题.‎ ‎5．设函数是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若数列是等差数列，且，则的值（ ） ‎ A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负 ‎【答案】A ‎【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 且当x≥0时，f（x）单调递减，‎ 数列{an}是等差数列，且a3＜0，‎ ‎∴a2+a4=‎2a3＜0，‎ a1+a5=‎2a3＜0，‎ x≥0，f（x）单调递减，‎ 所以在R上，f（x）都单调递减，‎ 因为f（0）=0，‎ 所以x≥0时，‎ f（x）＜0，x＜0时，f（x）＞0，‎ ‎∴f（a3）＞0‎ ‎∴f（a1）+f（a5）＞0，‎ ‎∴f（a2）+f（a4）＞0．‎ 故选A．‎ ‎6．使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.‎ ‎7．已知变量满足约束条件，若使取得最小值的最优解有无穷多个，则实数的取值集合是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，根据最优解有无穷多个，知直线与边界重合，分类讨论即可求解.‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，‎ 由得，若，则直线，此时取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若，则直线在轴上的截距取得最小值时，取得最小值，此时当直线与直线平行时满足题意，此时，解得；若，则直线在轴上的截距取得最小值时，取得最小值，此时当直线与直线平行时满足题意，此时，解得.综上可知，或 ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性规划中可行域及最优解问题，以及分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎8．已知，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，求导当，当，所以函数在上增函数在上减函数，所以，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 因为，当，当，所以函数在上增函数在上减函数，所以，，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了观察推理能力，函数的极值，函数的导数在单调性极值方面的应用，属于中档题.‎ ‎9．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ）‎ A． 丁 B． 乙 C． 丙 D． 甲 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；‎ 假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话， ‎ 这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾， 故假设不成立，故乙说的是谎话；‎ 假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话； 综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为：甲 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时正确使用反证法是解决问题的关键.‎ ‎10．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的增减性和奇偶性，转化，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由函数，可得，所以函数为奇函数，‎ 又，因为，所以，所以函数为单调递增函数，因为，即，所以，‎ 解得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点.‎ ‎11．已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易知抛物线方程为，利用抛物线定义确定出A点坐标，求出A关于准线的对称点B，则，利用三点共线即可求出最值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，椭圆，即，则椭圆的焦点为，不妨取焦点抛物线，抛物线的焦点坐标为，椭圆与抛物线有相同的焦点，，即，则抛物线方程为，准线方程为，，由抛物线的定义得：到准线的距离为，即点的纵坐标，‎ 又点在抛物线上，，不妨取点坐标，关于准线的对称点的坐标为，则，‎ 即三点共线时，有最小值，最小值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的定义及利用三点共线求两线段和的最小值，属于难题.‎ ‎12．已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的反函数，则方程 在上有解，即可求出k的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题设问题可化为函数的反函数的图像与在区间上有解的问题.即方程在区间上有解，由此可得，即，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互为反函数的概念，以及方程有解求参数的取值范围，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．在等比数列中，已知，则=________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式，可求出公比，利用与的关系求解.‎ ‎【详解】‎ 由，即，∴，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，属于中档题.‎ ‎14．设正实数，满足，则的最小值是 ． ‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】试题分析：，所以，当且仅当时，取最小值9.‎ ‎【考点】基本不等式求最值 ‎【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎15．对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则=_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，所以对称中心为，利用中心对称可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题可得：，所以对称中心为，设上任意一点，‎ 因为关于对称，所以关于其对称的对称点为在上，且，所以，故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的对称中心及其对称中心的性质，属于中档题.解题时，自变量和为对称中心横坐标的2倍等于1时，则对应函数值和为对称中心纵坐标和的2倍等于2，这是此类问题的解题关键.‎ ‎16．给出下列命题：‎ ‎①设表示不超过的最大整数，则；‎ ‎②定义：若任意，总有，就称集合为的“闭集”，已知且为6的“闭集”，则这样的集合共有7个；‎ ‎③已知函数为奇函数， 在区间上有最大值5，那么在上有最小值.其中正确的命题序号是__________．‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】对于①，如果，则，也就是，所以，进一步计算可以得到该和为，故①正确；对于②，我们把分成四组： ，由题设可知 不是“闭集”中的元素，其余三组元素中的每组元素必定在“闭集”中同时出现或同时不出现，故所求的“闭集”的个数为，故②正确；对于③，因为在上的最大值为，故在上的最大值为，所以在上的最小值为， 在上的最小值为，故③错．综上，填①②．‎ 点睛：（1）根据可以得到，因此 ，这样的共有，它们的和为，依据这个规律可以写出和并计算该和．‎ ‎（2）根据闭集的要求， 中每组元素都是同时出现在闭集中或者同时不出现在闭集中，故可以根据子集的个数公式来计算．‎ ‎（3）注意把非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数来讨论．‎ 三、解答题 ‎17．在中，内角所对的边分别为，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若的面积，且，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）。（Ⅱ）。‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得，从而得角；‎ ‎（Ⅱ）由三角形面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得，再由正弦定理得，计算可得结论.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，所以由，‎ 即，由正弦定理得，‎ 即，∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴，∴，∵，∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴ .‎ ‎18．已知数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用累加法得；（2），利用裂项相消法，得.‎ ‎【详解】‎ 因为，又，所以.因为也满足，所以.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查累加法求通项，裂项相消求和.‎ 在常规数列求通项的题型中，累加法、累乘法是常见的求通项方法，熟悉其基本形式.数列求和的题型中，裂项相消法、错位相减法是常见的求和方法，熟悉其基本结构.‎ ‎19．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据:‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)请根据上表提供的数据， 关于的线性回归方程；‎ ‎(2)已知该厂技改前100吨甲产品生产能耗为95吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考公式： ）‎ ‎【答案】(1) 线性回归方程;(2) 预测产生100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低24.65吨标准煤.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由系数公式可知， ， ‎ ‎，所以线性回归方程 ‎（2）时， ，所以预测产生100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤 ‎【考点】本题考查了线性回归方程的求解及应用 点评：求回归直线方程的步骤是：①作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；②如果散点在一条直线附近，由公式求出a、b的值，并写出线性回归方程 ‎20．已知椭圆的短轴长为，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点 ‎，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）把分解为和，所以其面积为，设出直线的方程为，整理方程组表示出，代入上式即可求得，可换元，则，则，研究求单调性即可求得其最大值.‎ 试题解析：（1）由题意可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎ 故椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 ‎（2）设， ………………6分 由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，‎ 由得，所以，．．．．．．．．．8分 又因直线与椭圆交于不同的两点，‎ 故，即．则 ‎．．．．．．．．．．．．．．10分 令，则，则 ‎，‎ 令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，‎ 即当时，在上单调递增，‎ 因此有，所以，‎ 即当，即时，最大，最大值为3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分 ‎【考点】椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了待定系数法和函数、不等式的思想，属于中档题.求解椭圆的标准方程时应注意；本题第（2）问解答的关键是根据把的特征，把它分解为和，这样其面积，大大简化了运算过程，提高了解题的准确率，最后通过换元，利用的导数研究其单调性，求得其最大值.‎ ‎21．已知函数（是自然对数的底数，）.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）当时，的增区间为；当时，的增区间为；（2）2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求单调增区间，只要解不等式，它的解集区间就是所求增区间；（2）不等式恒成立，不等式具体化为，由于，因此又可转化为，这样小于的最小值，因此下面只要求 的最小值.，接着要讨论的零点，由于在上单调递增，且，因此在上有唯一零点，即在上存在唯一的零点，设其为，则，可证得为最小值，，从而整数的最大值为2.‎ 试题解析：（1）.‎ 若，则恒成立，所以，在区间上单调递增.........2分 若，当时，，在上单调递增.‎ 综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为..... 4分 ‎（2）由于，所以，‎ 当时，，故————① 6分 令，则 函数在上单调递增，而 所以在上存在唯一的零点，‎ 故在上存在唯一的零点. 8分 设此零点为，则.‎ 当时，；当时，；‎ 所以，在上的最小值为.由可得10分 所以，由于①式等价于.‎ 故整数的最大值为2. 12分 ‎【考点】导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程代为极坐标方程.‎ ‎（2）将代入得，设两点的极坐标方程分别为，则是方程的两根，利用求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将方程消去参数得，‎ ‎∴曲线的普通方程为，‎ 将代入上式可得，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为：.‎ ‎（2）设两点的极坐标方程分别为，‎ 由消去得，‎ 根据题意可得是方程的两根，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标方程与普通方程的互化，极坐标的几何意义，属于中档题.‎ ‎23．设函数的定义域为.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）设，证明.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）将不等式平方因式分解即可证得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：，‎ 当时，，解得，‎ 当时，恒成立，‎ 当时，，解得，‎ 综上定义域.‎ ‎（2）证明，原不等式 由得，原不等式得证.‎ ‎【点睛】‎ 含绝对值不等式的解法由两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.‎