2021高考数学大一轮复习考点规范练52直线与圆锥曲线理新人教A版

2021高考数学大一轮复习考点规范练52直线与圆锥曲线理新人教A版

考点规范练52　直线与圆锥曲线 ‎　考点规范练B册第37页　 ‎ 基础巩固 ‎1.双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(　　)‎ A‎.‎‎5‎‎4‎ B.5 C‎.‎‎5‎‎4‎ D‎.‎‎5‎ 答案:D 解析:不妨设x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的渐近线y=bax与y=x2+1只有一个交点,由y=bax,‎y=x‎2‎+1,‎ 得ax2-bx+a=0,‎ 所以Δ=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c‎2‎a‎2‎=5,e=ca‎=‎5‎.‎故选D.‎ ‎2.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为‎1‎‎2‎时,直线l在y轴上的截距的取值范围是(　　)‎ A‎.‎‎3‎‎4‎‎,+∞‎ B‎.‎‎3‎‎4‎‎,+∞‎ C.(2,+∞) D.(-∞,-1)‎ 答案:A 解析:设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=‎1‎‎2‎x+b,过点A,B的直线可设为y=-2x+m,联立方程y=2x‎2‎,‎y=-2x+m得2x2+2x-m=0,从而有x1+x2=-1,Δ=4+8m>0,m>-‎‎1‎‎2‎‎.‎ 又AB的中点‎-‎1‎‎2‎,m+1‎在直线l上,即m+1=-‎1‎‎4‎+b,得m=b-‎5‎‎4‎,将m=b-‎5‎‎4‎代入4+8m>0,得b>‎3‎‎4‎,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是‎3‎‎4‎‎,+∞‎‎.‎ ‎3.过双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为‎8‎‎3‎,则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A.y=±‎3‎‎2‎x B.y=±2‎2‎x C.y=±2‎3‎x D.y=±2x 答案:B 8‎ 解析:由题意得|AB|=‎2‎b‎2‎a,‎ ‎∵S△AOB=‎8‎‎3‎,‎∴‎1‎‎2‎×‎2‎b‎2‎a×‎1=‎8‎‎3‎,‎ ‎∴b‎2‎a=‎8‎‎3‎.‎‎①‎ ‎∵a2+b2=1,②‎ 解①②得a=‎1‎‎3‎,b=‎2‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2‎2‎x.故选B.‎ ‎4.斜率为1的直线l与椭圆x‎2‎‎4‎+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　　)‎ A.2 B‎.‎‎4‎‎5‎‎5‎ C‎.‎‎4‎‎10‎‎5‎ D‎.‎‎8‎‎10‎‎5‎ 答案:C 解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由x‎2‎‎+4y‎2‎=4,‎y=x+t消去y,‎ 得5x2+8tx+4(t2-1)=0.‎ 则x1+x2=-‎8‎‎5‎t,x1x2=‎‎4(t‎2‎-1)‎‎5‎‎.‎ 所以|AB|=‎1+‎k‎2‎|x1-x2|‎ ‎=‎‎1+‎k‎2‎‎·‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=‎‎2‎‎·‎‎-‎8‎‎5‎t‎2‎‎-4×‎‎4(t‎2‎-1)‎‎5‎ ‎=‎4‎‎2‎‎5‎‎·‎‎5-‎t‎2‎,‎ 当t=0时,|AB|max=‎‎4‎‎10‎‎5‎‎.‎ ‎5.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)‎ A.16 B.14 C.12 D.10‎ 答案:A 解析:方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.‎ 8‎ 设直线l1方程为y=k1(x-1),‎ 联立抛物线方程,得y‎2‎‎=4x,‎y=k‎1‎(x-1),‎ 消去y,得k‎1‎‎2‎x2-2k‎1‎‎2‎x-4x+k‎1‎‎2‎=0,‎ 所以x1+x2=‎‎2k‎1‎‎2‎+4‎k‎1‎‎2‎‎.‎ 同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=‎‎2k‎2‎‎2‎+4‎k‎2‎‎2‎‎.‎ 由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=‎2k‎1‎‎2‎+4‎k‎1‎‎2‎‎+‎‎2k‎2‎‎2‎+4‎k‎2‎‎2‎+4=‎4‎k‎1‎‎2‎‎+‎‎4‎k‎2‎‎2‎+8≥2‎16‎k‎1‎‎2‎k‎2‎‎2‎+8=16,‎ 当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.‎ 方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为θ不妨令θ∈‎‎0,‎π‎2‎.‎ 作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得‎|AF|·cosθ+|GF|=|AK‎1‎|,‎‎|AK‎1‎|=|AF|,‎‎|GF|=2,‎ 所以|AF|·cosθ+2=|AF|,即|AF|=‎‎2‎‎1-cosθ‎.‎ 同理可得|BF|=‎2‎‎1+cosθ,所以|AB|=‎‎4‎‎1-cos‎2‎θ‎=‎4‎sin‎2‎θ.‎ 又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为π‎2‎+θ,则|DE|=‎4‎sin‎2‎π‎2‎‎+θ‎=‎‎4‎cos‎2‎θ,‎ 所以|AB|+|DE|=‎4‎sin‎2‎θ‎+‎4‎cos‎2‎θ=‎4‎sin‎2‎θcos‎2‎θ=‎4‎‎1‎‎4‎sin‎2‎2θ=‎16‎sin‎2‎2θ≥‎16,当θ=π‎4‎时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　　. ‎ 答案:‎‎2‎‎2‎ 8‎ 解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为‎2‎‎2‎‎.‎ 由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于‎2‎‎2‎,要使距离d大于c恒成立,只需c‎≤‎‎2‎‎2‎即可,故c的最大值为‎2‎‎2‎‎.‎ ‎7.已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.‎ 解:(1)由题意可得,c=2,b=2,‎ 由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=2‎‎2‎‎.‎ 故椭圆C的方程为x‎2‎‎8‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),‎ 由y=x+m,‎x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,‎ 则Δ=96-8m2>0,所以-2‎3‎0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求‎|OH|‎‎|ON|‎;‎ ‎(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.‎ 8‎ 解:(1)由已知得M(0,t),Pt‎2‎‎2p‎,t‎.‎ 又N为M关于点P的对称点,‎ 故Nt‎2‎p‎,t,ON的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=‎‎2‎t‎2‎p‎.‎ 因此H‎2‎t‎2‎p‎,2t‎.‎所以N为OH的中点,即‎|OH|‎‎|ON|‎=2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.‎ 理由如下:‎ 直线MH的方程为y-t=p‎2tx,即x=‎2tp(y-t).‎ 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,‎ 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.‎ 能力提升 ‎9.(2019广东六校第一次联考)抛物线y=2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为(　　)‎ A‎.‎‎11‎‎8‎ B‎.‎‎5‎‎4‎ C‎.‎‎3‎‎2‎ D.1‎ 答案:A 解析:由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线AB的方程为y=kx+b.‎ 由题意知y0≥b>0.联立得y=kx+b,‎y=2x‎2‎,‎整理得2x2-kx-b=0,Δ=k2+8b>0,x1+x2=k‎2‎,x1x2=-b‎2‎,则|AB|=‎1+‎k‎2‎‎·‎k‎2‎‎4‎‎+2b,点M的纵坐标y0=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎‎=x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎=‎k‎2‎‎4‎+b.因为弦AB的长为3,所以‎1+‎k‎2‎k‎2‎‎4‎‎+2b=3,‎ 即(1+k2)k‎2‎‎4‎‎+2b=9,故(1+4y0-4b)(y0+b)=9,‎ 即(1+4y0-4b)(4y0+4b)=36.由基本不等式得,(1+4y0-4b)+(4y0+4b)≥2‎(1+4y‎0‎-4b)(4y‎0‎+4b)‎=12,当且仅当b=‎1‎‎8‎,‎y‎0‎‎=‎‎11‎‎8‎时取等号,即1+8y0≥12,y0‎≥‎‎11‎‎8‎,所以点M的纵坐标的最小值为‎11‎‎8‎‎.‎故选A.‎ 8‎ ‎10.已知双曲线C:x‎2‎‎3‎-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(　　)‎ A‎.‎‎3‎‎2‎ B.3 C.2‎3‎ D.4‎ 答案:B 解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±‎3‎‎3‎x,‎ 所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.‎ 不妨设∠OMN=90°,‎ 则|MN|=‎3‎|OM|.‎ 又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=‎3‎,‎ 所以|MN|=3.‎ ‎11.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为　　　　　. ‎ 答案:‎‎3‎‎2‎ 解析:如图,双曲线的渐近线为y=±bax.‎ 由y=bax,‎x‎2‎‎=2py,‎得A‎2bpa‎,‎‎2b‎2‎pa‎2‎‎.‎ 由y=-bax,‎x‎2‎‎=2py,‎得B‎-‎2bpa,‎‎2b‎2‎pa‎2‎‎.‎ 8‎ ‎∵F‎0,‎p‎2‎为△OAB的垂心,∴kAF·kOB=-1.‎ 即‎2b‎2‎pa‎2‎‎-‎p‎2‎‎2bpa‎-0‎‎·‎‎-‎ba=-1,解得b‎2‎a‎2‎‎=‎‎5‎‎4‎,‎ ‎∴c‎2‎a‎2‎=‎‎9‎‎4‎‎,即可得e=‎‎3‎‎2‎‎.‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y=x‎2‎‎4‎与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.‎ ‎(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;‎ ‎(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.‎ 解:(1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).‎ 又y'=x‎2‎,故y=x‎2‎‎4‎在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.‎ y=x‎2‎‎4‎在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.‎ 故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.‎ ‎(2)存在符合题意的点,证明如下:‎ 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.‎ 将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.‎ 故x1+x2=4k,x1x2=-4a.‎ 从而k1+k2=‎y‎1‎‎-bx‎1‎‎+y‎2‎‎-bx‎2‎=‎2kx‎1‎x‎2‎+(a-b)(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎x‎2‎=k(a+b)‎a.‎ 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,‎ 故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.‎ 高考预测 ‎13.已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点F的坐标为(‎3‎,0),点P坐标为(-2,2),且直线PA1⊥x轴,过点P作直线与椭圆E交于A,B两点(A,B在第一象限且点A在点B的上方),直线OP与AA2交于点Q,连接QA1.‎ 8‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设直线QA1的斜率为k1,直线A1B的斜率为k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.‎ 解:(1)由题意可知a=2,‎c=‎3‎,‎ 所以b=1.‎ 所以椭圆的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)是定值,定值为-‎‎1‎‎4‎‎.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过点P(-2,2),‎ 设直线AB的方程为x=my-2m-2,‎ 联立x‎2‎‎+4y‎2‎=4,‎x=my-2m-2‎‎⇒‎(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,‎ 所以y1+y2=‎4m‎2‎+4mm‎2‎‎+4‎,y1y2=‎‎4m‎2‎+8mm‎2‎‎+4‎‎.‎ 因为点Q在直线OP上,所以可设Q(-t,t).‎ 又Q在直线AA2上,所以t‎-t-2‎‎=y‎1‎x‎1‎‎-2‎⇒‎t=-‎2‎y‎1‎x‎1‎‎+y‎1‎-2‎,‎ 所以k1k2=‎‎-‎‎2‎y‎1‎x‎1‎‎+y‎1‎-2‎‎2‎y‎1‎x‎1‎‎+y‎1‎-2‎‎+2‎‎·‎y‎2‎x‎2‎‎+2‎ ‎=-‎y‎1‎y‎2‎‎(x‎2‎+2)(x‎1‎+2y‎1‎-2)‎ ‎=-‎y‎1‎y‎2‎‎(my‎2‎-2m)(m+2)(y‎1‎-2)‎ ‎=-‎y‎1‎y‎2‎‎(m‎2‎+2m)[y‎1‎y‎2‎-2(y‎1‎+y‎2‎)+4]‎ ‎=-‎‎1‎‎4‎‎.‎ 8‎