河南省信阳高级中学2019届高三3月月考数学（理）试题（解析版）

河南省信阳高级中学2019届高三3月月考数学（理）试题（解析版）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：首先求得集合A和集合B，然后结合交集的定义求解交集即可求得最终结果.‎ 详解：求解指数不等式可得：，‎ 求解绝对值不等式可得：，‎ 结合交集的定义可得：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组确定m的范围，然后结合题意即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得：，即且，故，‎ 则：，由复数的性质.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3.下列命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①命题“函数的最小值不为”是假命题；‎ ‎②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题，则， 均为假命题;‎ ‎④若命题： ， ，则： ， ；‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用均值不等式判断①的正误，利用逆否命题同真同假判断②的正误，利用为假命题可知p，q至少有一个假命题判断③的正误，利用特称命题的否定为全称命题判断④的正误.‎ ‎【详解】对于①，设t，t≥3，‎ ‎∴y＝t在[3，+∞）上单调递增，‎ ‎∴y＝t的最小值为，‎ ‎∴函数y（x∈R）的最小值不为2，是真命题，故①错误；‎ 对于②，因为“” 是“” 的必要不充分条件，根据逆否命题同真同假，可知②正确；‎ 对于③，若为假命题，则， 至少有一个为假命题，故③错误；‎ 对于④，若命题： ， ，则： ， 是真命题，‎ 故选：B ‎【点睛】本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑与函数、基本不等式的应用问题，属于中档题．‎ ‎4.设，，若是与的等比中项，则的最小值为：（ ）‎ A. 8 B. 4 C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析： 由是与的等比中项，得：，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎ ，‎ 当且仅当且，即时，上式等号成立，‎ 故选B．‎ 考点：基本不等式．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查了学生应用基本不等式求最值，使用基本不等式一定要注意：一正、二定、三相等，只有当三个条件都满足时，所求最值才是正确的，特别是等号成立的条件，学生往往容易忽略，要引起足够的重视．‎ ‎5.若是的一个内角，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得sinθ＞0，cosθ＜0，通过诱导公式化简，结合 ‎ 求解.‎ ‎【详解】已知是的一个内角，则0＜θ＜π，结合，‎ 可知sinθ＞0，cosθ＜0，‎ ‎=sinθ-cosθ，∵‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，关键是发现已知式和化简后的所求式的联系.‎ ‎6.已知双曲线的一条渐近线与直线的夹角为，若以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，则双曲线的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为双曲线的一条渐近线与直线的夹角为，所以双曲线的渐近线方程为，所以．因为以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，所以，即．由，解得，所以双曲线的标准方程为．故选A．‎ ‎7.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）‎ A. 720 B. 520 C. 600 D. 264‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题分为甲参加乙不参加、甲不参加乙参加、甲乙同时参加三类，分别计算种类数，然后相加，求得所有的发言顺序的种数.‎ ‎【详解】当甲参加乙不参加时，方法数为种.当甲不参加乙参加时，方法数为种.当甲乙同时参加时，先在其余名学生中选人，方法数有种，将选出的两人排好，方法数有种，将甲、乙两人插入个空挡中，方法数有种，故方法数为种.所以总的方法数有种，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查排列组合，考查分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，属于中档题.解题的难点在于“甲乙两人至少有一人参加”，也就是要对情况进行分类讨论.在每种情况中，利用分步乘法计数原理计算出方法数，最后利用分类加法计数原理相加，求得总的方法数.‎ ‎8.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数奇偶性、单调性判别函数图像 ‎【详解】已知函数，定义域为，‎ ‎，函数为偶函数，故排除、，‎ 当时，，此时，故排除，‎ 综上正确答案选 ‎【点睛】本题考查了函数图像的识别，解答此类问题先考虑其定义域，然后判定函数的奇偶性、单调性，或者运用特殊值代入求出函数的图像大致趋势。‎ ‎9.我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为 A. B. 40 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可.‎ 详解：‎ 由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为， ‎ 分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为 ，故选D. ‎ 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎10.已知实数，满足约束条件，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，故表示可行域内的点和点连线的斜率，画出不等式组表示的可行域后结合图形求解即可．‎ ‎【详解】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示，由题意得．‎ 由得，‎ 所以可看作点和连线的斜率，记为，‎ 由图形可得，‎ 又，‎ 所以，‎ 因此或，‎ 所以的取值范围为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查非线性目标函数的最值的求法，解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．解答本题容易出现的错误是缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．‎ ‎11.已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，连接，若直线，，与坐标轴都不垂直，且它们的斜率满足，，点，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，因为点在抛物线上，所以，故直线的方程为，与抛物线方程联立消去x，得，其解为和，则，同理可得，则由题意，得，化简得, ∴，∴直线的斜率为，故选D．‎ ‎12.已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）‎ A. 至少存在两个点使得 B. 对于任意点都有 C. 对于任意点都有 D. 存在点使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排除法，对给出的四个选项分别进行分析可得出正确的结论．‎ ‎【详解】设点的坐标为，则．‎ 对于D，当时，一方面，另一方面容易证成立，‎ 所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以恒成立，所以，因此D不成立．‎ 对于B，当时，，所以，所以B不成立．‎ 对于A，至少存在两个点使得，也就是至少存在两解，‎ 即至少存在两解，恒成立，‎ 所以至多存在一解，所以A不成立．‎ 综合以上分析可得选项C正确．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题难度较大，考查内容较多，解题时要抓住的几何特征，通过对曲线上点的坐标的分析，得到的大小关系，进而得到的取值范围．同时在解题中还应注意不等式放缩、导数与单调性的运用，逐步达到解题的目的．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.非零向量满足：，,则与夹角的大小为_______‎ ‎【答案】135°或者 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设，，则，结合题意分析可得△OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，设，，则，‎ 若||＝||，，即||＝||，且⊥，‎ 则△OAB为等腰直角三角形，‎ 则与的夹角为180°﹣45°＝135°，‎ 故答案为：135°．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．‎ ‎14.曲线与其在点处的切线及直线所围成的封闭图形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义求出切线方程，利用积分的几何意义，即可求出封闭图形的面积。‎ ‎【详解】的导数为，在点(0，1)处的切线斜率，则切线方程为，‎ 则封闭图形的面积为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义及积分的几何意义，属于基础题。‎ ‎15.设为数列的前n项和，若 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列是首项为，公差为（）的等差数列，且数列是“和等比数列”，则与的关系式为_________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前n项和公式，先求Sn和S2n，然后根据“和等比数列”的定义，得到为非零常数，从而得到d与c1的关系．‎ ‎【详解】数列是首项为，公差为（）的等差数列，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，‎ 又数列是“和等比数列”，‎ ‎ （其中为常数），‎ 整理得：，恒成立，‎ 又 是非零常数得：‎ 则，即，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考主要查和等比关系的确定和性质，解答的关键是正确理解“和等比数列”的定义，并能根据定义构造出满足条件的方程．考查学生的运算推导能力．‎ ‎16.若是函数的极值点，则的极小值为 _________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．‎ ‎【详解】函数， 可得， 是函数的极值点， 可得，即． 解得． ‎ 可得，‎ 函数的极值点为：， 当，函数是增函数，时，函数是减函数，时，函数取得极小值： ．‎ 即答案为-1.‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.在中，角所对的边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若边长，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由及正弦定理并结合三角变换可得，故得；（2）由余弦定理得，故得，所以，故得最大值．‎ ‎【详解】（1）由及正弦定理得，‎ ‎，‎ 即，‎ 整理得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎（2）在△ABC中，由余弦定理得，‎ 即，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴△ABC面积的最大值为．‎ ‎【点睛】三角形的面积公式和余弦定理经常结合在一起考查，解题时注意公式的变形及整体代换的作用，如．应用基本不等式时要注意等号成立的条件是否满足．‎ ‎18.如图，四边形为梯形， 点在线段上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线与面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）先证明，即证.( Ⅱ)利用空间向量法求直线与面所成角的正弦值．‎ 详解：（Ⅰ）连，所以 所以BD=‎ 因为 ‎∴ ‎ 又 ∴ ‎ 从而 所以 ‎ ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ） ‎ 由，如图建系，‎ 则 设平面的法向量为，‎ 由，可取 ， ‎ ‎． ‎ ‎19.为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对2014～2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额（亿元）与该地区粮食产量（万亿吨）之间存在着线性相关关系.统计数据如下表：‎ 年份 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 补贴额亿元 ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎8‎ 粮食产量万亿吨 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎21‎ ‎（1）请根据如表所给的数据，求出关于的线性回归直线方程；‎ ‎（2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元，请根据（1）中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】（1）（2）粮食产量大约为18.7万亿吨.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由最小二乘法求出a,b的估计值，进而可得回归直线方程；‎ ‎（2）将代入（1）所求的回归方程即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）由已知数据，可得，‎ ‎.‎ 代入公式，经计算，得，‎ ‎∴.‎ ‎∴所求关于的线性回归直线方程为.‎ ‎（2）由题意，知，代入（1）中所得线性回归直线方程，计算得.‎ ‎∴2019年该地区的粮食产量大约为18.7万亿吨.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程以及利用线性回归方程求预测值的问题，由最小二乘法先求出a,b的估计值，进而即可求解，属于基础题型.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.‎ ‎（1）求椭圆的方程和点的坐标；‎ ‎（2）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为， 点P的坐标为.(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 分析：（I）由题意计算可得， ， 则椭圆的方程为， 结合几何性质可得点P的坐标为. ‎ ‎（II）由题意可知直线l2的斜率存在，设l2的方程为，与椭圆方程联立可得， 由弦长公式可得； 结合几何关系和勾股定理可得， 则面积函数， 换元求解函数的值域可得△ABC的面积的取值范围是．‎ 详解：（I）设，，‎ 可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，‎ 由题意知，得， ‎ 由，得， ‎ 所以椭圆的方程为， ‎ 点P的坐标为. ‎ ‎（II）由过点P的直线l2与椭圆相交于两点，知直线l2的斜率存在，‎ 设l2的方程为，由题意可知，‎ 联立椭圆方程，得， ‎ 设，则，得，‎ 所以； ‎ 由直线l1与l2垂直，可设l1的方程为，即 圆心到l1的距离，又圆的半径，‎ 所以，‎ ‎， ‎ 由即，得，‎ ‎ ， ‎ 设，则，，‎ 当且仅当即时，取“＝”，‎ 所以△ABC的面积的取值范围是． ‎ 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，证明.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，根据导数可得函数的最小值为，从而可得结论成立；（2）由条件得，令，则．然后分为和两种情况进行讨论，可得所求范围．（3）由（2）得当，时，．故要证不等式成立，只需证，只需证明，只需证 ，然后构造函数并利用函数的单调性可得结论成立．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎∴，‎ 当时，；当时，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴. ‎ ‎（2）由条件得，‎ 令，则.‎ ‎①当时，在上，，单调递增，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴在上为增函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴时满足条件. ‎ ‎②当时，令，解得，在上，，单调递减，‎ ‎∴当时，有，即 ，‎ ‎∴在上为减函数，‎ ‎∴，不合题意. ‎ 综上实数的取值范围为．‎ ‎（3）由（2）得，当，时，，即，‎ 要证不等式，‎ 只需证明，‎ 只需证明，‎ 只需证 ，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴当时，恒成立，故在上单调递增，‎ 又，‎ ‎∴恒成立．‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎【点睛】（1）解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，通过分离参数转化为求函数的最值的问题求解；若参数无法分离，则采用参数讨论的方法求解，通过逐步排除的方法达到求解的目的．‎ ‎（2）证明不等式的常用方法是构造函数法，然后转化为求函数的最值的问题求解．有时也可通过放缩的方法进行证明，即若证，则可通过证明，且，以达到证明的目的．‎ ‎22.在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,‎ ‎).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线与曲线C的平面直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线与曲线C交于不同的两点A、B,若,求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）或 ‎【解析】‎ 试题分析：解:(Ⅰ)直线普通方程为 曲线的极坐标方程为,则 ‎ 6分 ‎(Ⅱ),将代入曲线 ‎ ‎ 或12分 考点：参数方程与极坐标 点评：主要是考查了参数方程的运用，以及直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对x分类讨论，将不等式转化为代数不等式，求解即可；‎ ‎（2）分别求出函数的最值，利用最值建立不等式，即可得到实数的取值范围．．‎ ‎【详解】解：（1）不等式等价于或或 解得或或，所以不等式的解集为．‎ ‎（2）由知，当时，；‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以， 解得． 故实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．‎