2020年4月普通高等学校招生全国统一考试（二）数学试题
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2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)
数学
注意事项：
1. 本试卷共160分，考试时间150分钟．
2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若(z＋)(z－)＝8i，则ab的值为________．
2. 已知集合M＝{y|y＝2－x＋1，x∈R}，N＝，则M∩N＝________．
3. 某人打同一款游戏通关的时间分别为x，9，10，11，9(单位：min)，已知这组数据的平均数为10，则方差为________．
4. 某马戏团有大猩猩2只，猴子3只，现从中任选3只去外地参加表演，则大猩猩和猴子都被选中的概率为________．
(第5题)
5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为________．
6. 已知等差数列{an}满足a5＝2，a11＝11，则a－a＝________．
7. 函数f(x)＝的定义域为________．
8. 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝________．
9. 已知F1，F2是双曲线－＝1(0
∠BAD≥90°－C，AC>AB，则∠BAC的取值范围为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)已知向量a＝(sin x，cos x)，x∈[－π，π].
(1) 已知b＝(1，－)，若a，b所成的角为，求x的值；
(2) 已知c＝(，－1)，记f(x)＝(a＋c)·(a－2c)，求f(x)的值域．
16. (本小题满分14分)如图，在平行四边形ABCD中，已知直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
(1) 求证：直线AE∥平面BDF；
(2) 若∠AEB＝90°，求证：平面BDF⊥平面BCE.
(第16题)
17. (本小题满分14分)如图，正方体ABCDA1B1C1D1是一个棱长为2的空心蔬菜大棚， 由8个钢结构(地面没有)组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖．已知E为柱AA1上一点(不在点A，A1处)，EA＝t.菜农需要在地面正方形ABCD内画出一条曲线l将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点P为地面正方形ABCD内的曲线l上任意一点，设α，β分别为在P点观测E和D1的仰角．
(1) 若α＝β，请说明曲线l是何种曲线，为什么？
(2) 若E为柱AA1的中点，且α<β时，请求出点P所在区域的面积．
(第17题)
18. (本小题满分16分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴端点分别为A1，A2，椭圆C的离心率为e＝，两条准线之间的距离为9.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设P是曲线C上的一点，∠PA1A2＝α∈，过A2作A2R⊥A1P于点R，设A2R与曲线C交于点Q，连接PQ，求直线PQ的斜率的取值范围．
19. (本小题满分16分)设f(x)＝aex－a，g(x)＝ax－x2(a为与自变量x无关的正实数).
(1) 证明：函数f(x)与g(x)的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；
(2) 是否存在实数k，使得－ln x－1>对任意的x∈恒成立？若存在，求出k的取值范围，否则请说明理由．
20. (本小题满分16分)若对任意的n∈N*，存在一个常数M，使得an≤M成立，则称M为an的一个上界；若对任意的n∈N*，an＋1≤成立，则称数列{an}为“凹数列”．
(1) ①求证：任意一个正项等比数列{bn}为“凹数列”；
②构造一个正项“凹数列”{cn}，但数列{cn}不是等比数列，并给出证明；
(2) 设无穷正项数列{an}的前n项和为Sn，若1为Sn的一个上界(n∈N*)，且数列{an}为“凹数列”，
求证：0≤an－an＋1≤(n∈N*).
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数学Ⅱ(附加题)注意事项：
1. 附加题供选修物理的考生使用．
2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．
3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．
21. 【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4－2：矩阵与变换(本小题满分10分)
已知T变换将曲线C1：＋y2＝1变换为单位圆x2＋y2＝1，S变换将曲线C2：－＝1变换为双曲线x2－y2＝1，求ST对应的矩阵．
B. 选修4－4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在极坐标系中，已知直线ρ＝与圆O：ρ＝8sin θ相交于A，B两点，求△OAB的面积．
C. 选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)
已知实数x，y，z 为正实数，求证：>.
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)设P，Q为抛物线C：y2＝4x上的两点，点P，Q的纵坐标之和为4.
(1) 求直线PQ的倾斜角；
(2) 已知M是抛物线C上的动点，过M作垂直于x轴的直线，与直线y＝x交于点A，点B满足＝2，连接OB(其中O为原点)交抛物线C于点N，试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
23. (本小题满分10分)设a，b∈R，a≠0，a＋b≥0，数列{cr}的通项公式为cr＝(an－rbr)(1≤r≤n＋1)，n∈N*.令{cr}的各项之和为Sn＋1，fn(a，b)＝.
(1) 计算：f1(a，b)，f2(a，b)，f3(a，b)，验证不等式fn(a，b)≥n对n＝1，2，3成立；
(2) 证明不等式：fn(a，b)≥n，并给出等号成立的充要条件．
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数学Ⅰ参考答案及评分标准
1. 2 【解析】 由z＝a＋bi，得＝a－bi，因为(z＋)(z－)＝8i，所以(a＋bi＋a－bi)[a＋bi－(a－bi)]＝4abi＝8i，所以ab＝2.
2. {y|y>1} 【解析】 因为M＝{y|y>1}，N＝{x|x≥1}＝{x|x≥1}，所以M∩N＝{y|y>1}．
3. 0.8 【解析】 因为这组数据的平均数为10，所以＝10，解得x＝11，所以这5个数据的方差为[(11－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝0.8.
4. 【解析】 记2只大猩猩分别为A，B，3只猴子分别为C，D，E，运用枚举法得从中任意选3只构成的基本事件有10个，其中大猩猩和猴子都被选中的有9个，所以大猩猩和猴子都被选中的概率为.
5. 55 【解析】 i＝1时，运行结果为S＝0＋12＝1，i＝2；i＝2时，运行结果为S＝1＋22＝5，i＝3；i＝3时，运行结果为S＝5＋32＝14，i＝4；i＝4时，运行结果为S＝14＋42＝30，i＝5；i＝5时，运行结果为S＝30＋52＝55，i＝6，退出循环，所以输出的S的值为55.
6. 36 【解析】 设公差为d，因为a5＝2，a11＝11，所以6d＝a11－a5＝9，所以a－a＝(a8＋a2)(a8－a2)＝2a5·6d＝ 36.
7. 【解析】 要使函数f(x)＝有意义，则≥0
－1≤ln x<1≤x0，当AB，所以B>C，所以0°<β<α.因为90°>∠BAD，所以0°<β<α<90°，所以sin α≥sin (90°－C)＝cos C，sin β≤sin (90°－B)＝cos B.因为D为BC边上的一点，且AD平分△ABC的面积，即S△ABD＝S△ACD，所以c·AD sin α＝b·AD sin β，所以c sin α＝b sin β，所以c cos C≤b cos B.在△ABC中，由正弦定理得sin C cos C≤sin B cos B，所以sin 2C≤sin 2B.因为β≤90°－B，所以B≤90°－β<90°.因为CC，所以2C＋2B－180°≤0，所以B＋C≤90°，所以∠BAC的取值范围是[90°，180°).
15. 【解答】 (1) 因为向量a＝(sin x，cos x)，b＝(1，－)，a，b所成的角为，
所以a·b＝sin x－cos x＝··cos ，(2分)
所以2sin ＝1，所以sin ＝.(4分)
因为x∈[－π，π]，所以x－∈，
所以x－＝－或x－＝，(6分)
所以x＝－或x＝.(7分)
(2) f(x)＝(a＋c)·(a－2c)＝a2－a·c－2c2＝(sin x)2＋(cos x)2－(sin x－cos x)－2[()2＋(－1)2]＝－7－(sin x－cos x)＝－7－2sin ，(9分)
因为x∈[－π，π]，所以x－∈，(11分)
所以－1≤sin ≤1，(13分)
所以f(x)的值域为[－9，－5].(14分)
16. 【解答】(1) 如图，连接AC，设AC∩BD＝G，连接FG.
由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．
又因为F是CE的中点，所以在△ACE中，FG∥AE.
因为AE平面BDF，FG平面BDF，所以AE∥平面BDF.(7分)
(第16题)
(2) 因为∠AEB＝90°，所以AE⊥BE.
又因为直线BC⊥平面ABE，AE平面ABE，所以AE⊥BC.
又BC∩BE＝B，BC，BE平面BCE，
所以直线AE⊥平面BCE.
由(1) 知，FG∥AE，所以直线FG⊥平面BCE.
因为直线FG平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE.(14分)
17. 【解答】 (1) 如图(1)，连接PA，PD，则∠EPA＝α，∠D1PD＝β.
(第17题(1))
因为α＝β，所以tan α＝tan β，(2分)
所以＝，所以＝，所以PD＝·PA，(3分)
令＝λ>1，则PD＝λPA.(4分)
如图(2)，建立平面直角坐标系，
(第17题(2))
则A(0，0)，D(0，2)，设P(x，y)，则＝λ，(5分)
化简得x2＋＝，
所以P点的轨迹，即曲线l是在正方形ABCD内的一段圆弧．(7分)
(2) 由(1)知当E为柱AA1的中点时，t＝1，所以λ＝2，
(1)中圆的方程为x2＋＝，(8分)
因为α<β，所以tan α0)，则b＝k，
代入＝9，得k＝1，
所以a＝3，b＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)
(2) 设直线A1P的斜率是k，则k∈[1，]，(6分)
设P，Q的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，
则直线A1P的方程是y＝k(x＋3)，
由消去y，得
(9k2＋5)x2＋54k2x＋9(9k2－5)＝0，(8分)
解得(10分)
同理，得(12分)
所以kPQ＝＝＝(k－)，(15分)
因为g(k)＝k－在[1，]上单调递增，
所以kPQ∈.(16分)
19. 【解答】 (1) 因为f(0)＝ae0－a＝0，g(0)＝0，所以f(x)＝aex－a，g(x)＝ax－x2的图象存在一个公共的定点O(0，0).(2分)
因为f′(x)＝aex，g′(x)＝a－2x，所以f′(0)＝a，g′(0)＝a，所以在定点O(0，0)处有一条公切线，为直线y＝ax.(4分)
(2) 假设存在实数k，使得－ln x－1>对任意的x∈恒成立，
即存在实数k，使得k0在x∈(，＋∞)上恒成立，
所以y＝xex－1在x∈上单调递增．(10分)
因为e－1＝<0，1·e1－1>0，
所以存在唯一实数x0∈，使得x0ex0－1＝0，即m′(x0)＝0，且x0＝e－x0，
所以h′(x)在x0处取得最小值h′(x0)＝ex0－ln x0－2＝ex0－ln e－x0－2＝ex0＋x0－2>e＋－2＝－＝－>0，(12分)
所以h(x)在x∈上单调递增，
所以h(x)>h＝＋.(14分)
因为k对任意的x∈恒成立．(16分)
20. 【解答】 (1) ①设正项等比数列{bn}的公比为q，则bn＋1－＝bnq－＝－bn·≤0，
所以正项等比数列{bn}为“凹数列”．(2分)
②设cn＝dn＋en，其中{dn}，{en}分别为两个正项等比数列，公比分别为q1，q2，且q1≠q2，
显然cn>0(n∈N*)，
cn＋1－＝(dn＋1＋en＋1)－＝＋(en＋1－)＝＋＝－[dn·＋en·]≤0，
所以正项数列{cn}为“凹数列”．(4分)
下面证明：正项数列{cn}不是等比数列．
若{cn}是等比数列，则(dn＋1＋en＋1)2＝(dn＋en)·(dn＋2＋en＋2)(n∈N*)，
所以d＋e＋2dn＋1en＋1＝dndn＋2＋enen＋2＋dnen＋2＋dn＋2en(n∈N*)，
因为数列{dn}，{en}分别为两个正项等比数列，
所以d＝dndn＋2，e＝enen＋2，
所以2dn＋1en＋1＝dnen＋2＋dn＋2en，
所以2dnenq1q2＝dnenq＋dnenq，
因为dnen≠0，所以2q1q2＝q＋q，
所以(q2－q1)2＝0，所以q2＝q1，与q1≠q2矛盾，
所以数列{cn}不是等比数列．(6分)
(2) 若存在一个常数k∈N*，使得a1≥a2≥a3≥…≥ak，但aknak.(10分)
因为正常数k是固定的，且ak>0，
所以当n足够大时，必有a1＋a2＋…＋an>1(n>k)，
与题设a1＋a2＋…＋an≤1矛盾，
所以{an}不可能从某一项开始递增，
所以an－an＋1≥0(n∈N*).(12分)
令bk＝ak－ak＋1(k∈N*)，ak＝bk＋ak＋1(k∈N*)，
由ak＋1－ak≤ak＋2－ak＋1，得bk≥bk＋1，bk≥0(k∈N*)，
所以1≥a1＋a2＋a3＋…＋an＝(b1＋a2)＋a2＋a3＋…＋an＝b1＋2a2＋a3＋…＋an
＝b1＋2(b2＋a3)＋a3＋…＋an
＝b1＋2b2＋3a3＋…＋an
＝…
＝b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1＋nan
＝b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1＋n(bn＋an＋1)
＝b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1＋nbn＋nan＋1
≥b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1＋nbn
≥bn＋2bn＋…＋(n－1)bn＋nbn
＝[1＋2＋…＋(n－1)＋n]bn＝bn，
所以bn≤对一切n∈N*成立．
综上，对一切n∈N*，0≤an－an＋1≤成立．(16分)
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数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准
21. A. 【解答】 因为T变换将曲线C1：＋y2＝1变换为单位圆x2＋y2＝1，
所以所以T变换对应的矩阵为M＝.(3分)
因为S变换将曲线C2：－＝1变换为等轴双曲线x2－y2＝1，
所以所以T变换对应的矩阵为N＝，(6分)
所以变换ST对应的矩阵为NM＝＝.(10分)
B. 【解答】 以极点为坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系，
将直线ρ＝化为普通方程得ρcos θcos ＋ρsin θsin ＝，
即x＋y－2＝0，(3分)
将圆O：ρ＝8sin θ化为普通方程得x2＋y2－8y＝0，
即x2＋(y－4)2＝16.(6分)
因为圆心O(0，4)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝，
所以AB＝2＝2＝2，(9分)
所以△OAB的面积为AB·d＝×2×＝2.(10分)
C. 【解答】 因为实数x，y，z 为正实数，所以＋＋≥3＝3·①，(3分)
＋＋≥3·＝3·②，(6分)
所以≥3··3·，(9分)
因为①②中的等号不同时成立，
所以>.(10分)
22. 【解答】 (1) 设P，Q(s≠t)，
因为P与Q的纵坐标之和为4，所以s＋t＝4.
又直线PQ的倾斜角不等于，所以直线PQ的斜率为＝＝1，(3分)
所以直线PQ的倾斜角为.(4分)
(2) 设M(x1，y1)(y1≠0，4)，则A(x1，x1)，
因为＝2，所以点A是BM的中点，即B(x1，2x1－y1)，所以直线OB：y＝x.
因为x1＝，所以直线OB：y＝x.(6分)
设N(x2，y2)，由可得y＝，所以y2＝，(8分)
所以kMN＝＝＝＝＝，
所以直线MN：y＝(x－x1)＋y1＝＋y1＝x＋2，
所以直线MN恒过定点(0，2).(10分)
23. 【解答】 (1) 因为fn(a，b)＝＝＝，
所以f1(a，b)＝≥，(1分)
因为f2(a，b)－2＝－2＝≥0，所以f2(a，b)≥2，(2分)
因为f3(a，b)－3＝－3＝，a＋b≥0，
所以f3(a，b)－3＝≥0，即f3(a，b)≥3.(3分)
(2) 当a＝b时，fn(a，b)＝＝an＝n，所以fn(a，b)≥n成立．(4分)
当a≠b时，由等比数列的求和公式得，fn(a，b)＝，
因为an＋1＝n＋1＝Cn＋1－i·i，
bn＋1＝n＋1＝(－1)iC·n＋1－ii，(5分)
fn(a，b)＝＝[C·n＋Cn－23＋C·n－45＋…]
＝[Cn＋Cn－2·2＋Cn－44＋…]
＝[Cn＋Cn－22＋Cn－44＋…](*)，(7分)
因为a＋b≥0，
所以(*)≥＝n，
当且仅当n＝1或a＋b＝0时取等号．(9分)
综上，a，b∈R，a≠0，a＋b≥0，n∈N*，fn(a，b)≥n成立，
当且仅当n＝1或a＝b或a＋b＝0时取等号．(10分)
