【数学】2020届一轮复习北师大版计数原理课时作业

【数学】2020届一轮复习北师大版计数原理课时作业

一、选择题 ‎1．(x2－)5展开式中的常数项为(　　)‎ A．80 B．－80‎ C．40 D．－40‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　Tr＋1＝C(x2)5－r(－)r＝Cx10－2r·(－2)r·x－3r ‎＝C(－2)r·x10－5r.‎ 令10－5r＝0，∴r＝2，常数项为C×4＝40.‎ ‎2．(2015·全国新课标Ⅰ理，10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余2个因式取y，故x5y2的系数为CCC＝30，故选C.‎ ‎3．(＋)8的展开式中常数项为(　　)‎ A. B． ‎ C. D．105‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　本题考查了二项式定理展开通项公式，Tr＋1 ＝C()8－r()r＝C·×x，当r＝4时，‎ Tr＋1为常数，此时C×＝，故选B.‎ 要熟练地掌握二项展开式的通项公式．‎ ‎4．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　(1＋x)8＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cx8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，即ai＝C(i＝0,1,2，…，8)．由于C＝1，C＝8，C＝28，C＝56，C＝70，C＝56，C＝28，C＝8，C＝1，可得仅有C和C两个为奇数，所以a0，a1，…，a8中奇数的个数为2.‎ ‎5．在(－)24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)‎ A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 ‎[答案]　C ‎[解析]　Cx(－)r＝(－1)rCx，当r＝0,6,12,18,24时，x的幂指数分别是12,7,2，－3，－8，故选C.‎ 二、填空题 ‎6．(2018·湖北理改编)若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝________‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　二项式(2x＋)7的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C‎22a5＝84，解得a＝1.‎ ‎7．(2018·新课标Ⅰ理，13)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ ‎[答案]　－20‎ ‎[解析]　本题考查二项式定理和二项展开式的通项公式，满足x2y7的二项式系数是C－C＝－20.解答本题可以直接将(x＋y)8的展开后相乘得到x2y7的二项式系数，要注意相乘时的符号．‎ ‎8．设二项式(x－)6(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B，若B＝‎4A，则a的值是________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　A＝C(－a)2，B＝C(－a)4，由B＝‎4A知，‎4C(－a)2＝C(－ax)4，解得a＝±2.‎ ‎∵a>0，∴a＝2.‎ 三、解答题 ‎9．有二项式10.‎ ‎(1)求展开式第4项的二项式系数；‎ ‎(2)求展开式第4项的系数；‎ ‎(3)求第4项．‎ ‎[解析]　10的展开式的通项是Tr＋1＝C(3)10－r·(－)r(r＝0,1，…，10)．‎ ‎(1)展开式第4项的二项式系数为C＝120.‎ ‎(2)展开式第4项的系数为C·37·3‎ ‎＝－77 760.‎ ‎(3)展开式的第4项为：－77 760()7·＝－77 760.‎ ‎10.已知9的展开式中x3的系数为，求常数a的值．‎ ‎[解析]　Tr＋1＝C9－rr ‎＝C(－1)r·2－·a9－r·xr－9‎ 令r－9＝3，即r＝8.‎ 依题意，得C(－1)8·2－4·a9－8＝.‎ 解得a＝4.‎ ‎[反思总结]　解决此类问题往往是先写出其通项公式，然后根据已知条件列出等式进行求解.‎ 一、选择题 ‎1．(2018·浙江理，5)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)‎ A．45 B．60‎ C．120 D．210‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C＋CC＋CC＋C＝20＋60＋36＋4＝120，选C.‎ 注意m＋n＝3.即求3次项系数和．‎ ‎2.若(1－2x)2015＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)‎ A．2 B．0‎ C．－1 D．－2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　对于(1－2x)2015＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015(x∈R)，‎ 令x＝0，可得a0＝1，‎ 令x＝，可得a0＋＋＋…＋＝0，‎ 所以＋＋…＋＝－1.故选C.‎ ‎3．(2015·湖南理，6)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)‎ A. B．－ C．6 D．－6‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　Tr＋1＝C(－1)rarx－r，令r＝1，可得－‎5a＝30⇒a＝－6，故选D.‎ ‎4．若a为正实数，且(ax－)2018的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2018项为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]由条件知，(a－1)2018＝1，∴a－1＝±1，‎ ‎∵a为正实数，∴a＝2.‎ ‎∴展开式的第2018项为：‎ T2018＝C·(2x)·(－)2013‎ ‎＝－‎2C·x－2012‎ ‎＝－4028x－2012，故选D.‎ 二、填空题 ‎5．若(x＋)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为______．‎ ‎[答案]　56‎ ‎[解析]　本小题主要考查了二项式定理中通项公式的运用．依题意：C＝C，得：n＝8.∵(x＋)8展开式中通项公式为Tr＋1＝Cx8－2r，∴令8－2r＝－2，即r＝5，∴C＝56，即为所求．本题是常规题型，关键考查通项公式求特定项．‎ ‎6．(2018·山东理，14)若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　Tr＋1＝Ca6－rbrx12－3r 令12－3r＝3，∴r＝3，‎ ‎∴Ca3b3＝20，‎ 即ab＝1‎ ‎∴a2＋b2≥2ab＝2‎ 三、解答题 ‎7.(1)在(x－)10的展开式中，求x6的系数．‎ ‎(2)求(1＋x)2·(1－x)5的展开式中x3的系数．‎ ‎[解析]　(1)(x－)10的展开式的通项是 Tk＋1＝Cx10－k(－)k.‎ 令10－k＝6，∴k＝4.‎ 由通项可知含x6项为第5项，即 T4＋1＝Cx10－4(－)4＝‎9Cx6.‎ ‎∴x6的系数为‎9C＝1 890.‎ ‎(2)解法一：(1＋x)2·(1－x)5＝(1－x2)2(1－x)3＝(1－2x2＋x4)·(1－3x＋3x2－x3)，‎ ‎∴x3的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5.‎ 解法二：∵(1＋x)2的通项是Tr＋1＝C·xr，‎ ‎(1－x)5的通项是Tk＋1＝(－1)k·C·xk，‎ ‎∴(1＋x)2·(1－x)5的通项：(－1)k·C·C·xk＋r ‎(其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5})．令k＋r＝3，‎ 则有或或 故x3的系数为－C＋C·C－C＝5.‎ ‎8.设(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018(x∈R)．‎ ‎(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2018的值．‎ ‎(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2013的值．‎ ‎(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2018|的值．‎ ‎[解析]　(1)令x＝1，得：‎ a0＋a1＋a2＋…＋a2018＝(－1)2018＝1①‎ ‎(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2018＝32018②‎ 与①式联立，①－②得：‎ ‎2(a1＋a3＋…＋a2013)＝1－32018，‎ ‎∴a1＋a3＋a5＋…＋a2013＝.‎ ‎(3)∵Tr＋1＝C·12018－r·(－2x)r ‎＝(－1)r·C·(2x)r，‎ ‎∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2018|‎ ‎＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2018，‎ 所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2018＝32018.‎