【数学】2020届一轮复习北师大版坐标系作业

【数学】2020届一轮复习北师大版坐标系作业

‎ (时间:120分钟　满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1．点M的直角坐标是(－1, )，则点M的极坐标为(　　)‎ A.　　　　　　　　B. C. D.，(k∈Z)‎ 解析：选D　ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.‎ 又∴ ‎∴θ＝＋2kπ，k∈Z.‎ 即点M的极坐标为，k∈Z.‎ ‎2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为(　　)‎ A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1‎ C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1‎ 解析：选C　ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x＝1.‎ ‎3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为(　　)‎ A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 解析：选C　ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.‎ ‎4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)‎ A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1‎ D．θ＝0(ρ∈R) 和ρcos θ＝1‎ 解析：选B　由ρ＝2cos θ，可得圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.‎ ‎5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是(　　)‎ A.‎1,‎π‎2‎ B.‎‎1,-‎π‎2‎ C.(1,0) D.(1,π)‎ 解析:由题意得,圆的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,圆心直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标为‎1,-‎π‎2‎.‎ 答案:B ‎6.圆心在点(3,0)上,且过极点的圆的极坐标方程为(　　)‎ A.ρ=6cos θ B.ρ=6sin θ C.ρ=3cos θ D.ρ=3sin θ 解析:圆的直角坐标方程为(x-3)2+y2=9,从而极坐标方程为ρ=6cos θ.‎ 答案:A ‎7.在极坐标系中,直线ρcos θ=1与圆ρ=cos θ的位置关系是(　　)‎ A.相切 B.相交但直线不经过圆心 C.相离 D.相交且直线经过圆心 解析:直线方程化为直角坐标方程为x=1,圆的方程可化为x-‎‎1‎‎2‎‎2‎+y2=‎1‎‎4‎,所以直线与圆相切.‎ 答案:A ‎8.极坐标方程ρ=cosπ‎4‎‎-θ表示的曲线是(　　)‎ A.双曲线 B.椭圆 ‎ C.抛物线 D.圆 解析:由于ρ不恒等于0,方程两边同乘ρ,‎ 得ρ2=ρcosπ‎4‎‎-θ=ρ‎2‎‎2‎cosθ+‎2‎‎2‎sinθ‎=‎‎2‎‎2‎(ρcos θ+ρsin θ),‎ 在以极点为原点,以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中,ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,因此有x2+y2=‎2‎‎2‎(x+y),即方程ρ=cosπ‎4‎‎-θ表示圆.‎ 此题还有另一种思路:极坐标方程ρ=2acos θ表示圆,而π‎4‎‎-θ与极轴的旋转有关,它只影响圆心的位置,而不改变曲线的形状,故方程ρ=cosπ‎4‎‎-θ表示圆.‎ 答案:D ‎9.极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是(　　)‎ A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线 解析:由已知得sin θ=±‎3‎‎2‎,所以θ=kπ±π‎3‎,k∈Z,表示相交于原点的两条直线.‎ 答案:B ‎10.点M‎1,‎‎7π‎6‎关于直线θ=π‎4‎(ρ∈R)的对称点的极坐标为(　　)‎ A.‎1,‎‎4π‎3‎ B.‎‎1,‎‎2π‎3‎ C.‎1,‎π‎3‎ D.‎‎1,-‎‎7π‎6‎ 解析:点M‎1,‎‎7π‎6‎的直角坐标为cos‎7π‎6‎,sin‎7π‎6‎‎=‎‎-‎3‎‎2‎,-‎‎1‎‎2‎,直线θ=π‎4‎(ρ∈R),即直线y=x,点‎-‎3‎‎2‎,-‎‎1‎‎2‎关于直线y=x的对称点为‎-‎1‎‎2‎,-‎‎3‎‎2‎,再化为极坐标,即‎1,‎‎4π‎3‎.‎ 答案:A ‎11.直线l为y+kx+2=0,曲线C为ρ=2cos θ有交点,若直线l与曲线C有交点,则k的取值范围是(　　)‎ A.k≤-‎3‎‎4‎ B.k≥-‎‎3‎‎4‎ C.k∈R D.k∈R,且k≠0‎ 解析:曲线C的方程可化为x2+y2=2x,把直线方程代入得x2+(-kx-2)2-2x=0.整理可得(1+k2)x2+(4k-2)x+4=0,由题意此方程有实根,即Δ=(4k-2)2-16(1+k2)≥0,解不等式得k≤-‎3‎‎4‎.‎ 答案:A ‎12.导学号73144018在极坐标系中有如下三个结论:①点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;②tan θ=1(ρ≥0)与θ=π‎4‎(ρ≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是(　　)‎ A.①③ B.①‎ C.②③ D.③‎ 解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故①是错误的;tan θ=1不仅表示θ=π‎4‎这条射线,还表示θ=‎5π‎4‎这条射线,故②亦不对;ρ=3与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示一个半径为3的圆,故③正确.‎ 答案:D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.极坐标方程分别为ρ=2cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距为　　　　　. ‎ 解析:由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.‎ 由ρ=sin θ,得ρ2=ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎.‎ 所以两个圆的圆心分别为(1,0)和‎0,‎‎1‎‎2‎,‎ 故d=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎‎2‎‎=‎‎5‎‎2‎.‎ 答案:‎‎5‎‎2‎ ‎14.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cos θρ≥0,0≤θ<‎π‎2‎,则曲线C1与C2交点的极坐标为　　　　　　　. ‎ 解析:由ρcosθ=3,‎ρ=4cosθ,‎得4cos2θ=3.‎ 即2(1+cos 2θ)=3,cos 2θ=‎1‎‎2‎.‎ 又∵0≤2θ<π,∴θ=π‎6‎.‎ 故ρ=2‎3‎.‎ 故曲线C1与C2的交点的极坐标为‎2‎3‎,‎π‎6‎.‎ 答案:‎‎2‎3‎,‎π‎6‎ ‎15.在极坐标系中,已知定点A‎1,‎π‎2‎,点B在直线ρcos θ+ρsin θ=0上运动,则当线段AB最短时,点B的极坐标是　　　　　　　　. ‎ 解析:在直角坐标系中,点A坐标为(0,1),点B在直线x+y=0上,当AB最短时,点B为‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎,化为极坐标为‎2‎‎2‎‎,‎‎3π‎4‎.‎ 答案:‎‎2‎‎2‎‎,‎‎3π‎4‎ ‎16.在极坐标系中,曲线C1为ρ=2cos θ,曲线C2为θ=π‎4‎,若曲线C1与C2交于A,B两点,则线段AB=　　　　　. ‎ 解析:曲线C1与C2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由ρ=2cosθ,‎θ=π‎4‎,‎得ρ=‎2‎,‎θ=π‎4‎,‎即曲线C1与C2的另一个交点与极点间的距离为‎2‎,故AB=‎2‎.‎ 答案:‎‎2‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)如图,设极点O到直线l的距离为d,由点O向直线l作垂线,从极轴到垂线OA的角度为α.求直线l的极坐标方程.‎ 解在直线l上任取一点M(ρ,θ).‎ 在Rt△OMA中,ρcos(α-θ)=d,‎ 即ρ=dcos(α-θ)‎.‎ 这就是直线l的极坐标方程.‎ ‎18.(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换x'=2x,‎y'=2y后,曲线C变为曲线(x'-5)2+(y'+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.‎ 解将x'=2x,‎y'=2y代入(x'-5)2+(y'+6)2=1,‎ 得(2x-5)2+(2y+6)2=1,‎ 即x-‎‎5‎‎2‎‎2‎+(y+3)2=‎1‎‎4‎,‎ 故曲线C是以‎5‎‎2‎‎,-3‎为圆心,半径为‎1‎‎2‎的圆.‎ ‎19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知某圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+2=0.‎ ‎(1)将极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.‎ 解(1)ρ2-4ρcos θ+2=0,化为直角坐标方程为x2+y2-4x+2=0.‎ ‎(2)由x2+y2-4x+2=0,‎ 得(x-2)2+y2=2,‎ 令x-2=‎2‎cos α,y=‎2‎sin α,α∈[0,2π).‎ 则x+y=‎2‎cos α+2+‎2‎sin α=2sinα+‎π‎4‎+2,‎ ‎∵sinα+‎π‎4‎∈[-1,1],‎ ‎∴(x+y)∈[0,4],故x+y的最大值和最小值分别为4,0.‎ ‎20.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1为ρ=2cos θ-4sin θ,C2为ρsin θ-2ρcos θ+1=0.‎ ‎(1)将C1的方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求曲线C1和C2两交点之间的距离.‎ 解(1)由ρ=2cos θ-4sin θ,‎ 得ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ,‎ 即x2+y2=2x-4y.‎ 故C1的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=5.‎ ‎(2)ρsin θ-2ρcos θ+1=0可化为y-2x+1=0,‎ ‎∵圆心(1,-2)到直线的距离d=‎|-2-2+1|‎‎5‎‎=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎∴|AB|=2‎(‎5‎‎)‎‎2‎-‎‎3‎‎5‎‎2‎‎=‎8‎‎5‎=‎‎8‎‎5‎‎5‎.‎ ‎21.导学号73144019(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C‎3,‎π‎6‎,半径为1,Q点在圆周上运动,点O为极点.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)若点P在射线OQ上运动,且满足‎|OQ|‎‎|QP|‎‎=‎‎2‎‎3‎,求动点P的轨迹方程.‎ 解如图,(1)设点M(ρ,θ)为圆C上任意一点,在△OCM中,|OC|=3,|OM|=ρ,|CM|=1,∠COM=θ-‎π‎6‎,根据余弦定理,得1=ρ2+9-2·ρ·3·cosθ-‎π‎6‎,化简整理,得ρ2-6ρcosθ-‎π‎6‎+8=0为圆C的极坐标方程.‎ ‎(2)设Q(ρ1,θ1),‎ 则有ρ‎1‎‎2‎-6ρ1·cosθ‎1‎‎-‎π‎6‎+8=0.①‎ 设P(ρ2,θ2),‎ 则|OQ|∶|QP|=ρ1∶(ρ2-ρ1)=2∶3⇒ρ1=‎2‎‎5‎ρ2,‎ 又θ1=θ2,即ρ‎1‎‎=‎2‎‎5‎ρ‎2‎,‎θ‎1‎‎=θ‎2‎,‎ 代入①得‎4‎‎25‎ρ‎2‎‎2‎-6·‎2‎‎5‎ρ2·cosθ‎2‎‎-‎π‎6‎+8=0,‎ 整理得ρ‎2‎‎2‎-15ρ2cosθ‎2‎‎-‎π‎6‎+50=0,‎ 故点P的轨迹方程为ρ2-15ρcosθ-‎π‎6‎+50=0.‎ ‎22.导学号73144020(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1为ρ=2,曲线C2为ρsinθ-‎π‎4‎‎=‎‎2‎,曲线C1与C2交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)求|AB|的值;‎ ‎(2)求过点C(1,0),且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.‎ 解(1)∵ρ=2,∴x2+y2=4.‎ 又∵ρsinθ-‎π‎4‎‎=‎‎2‎,‎ ‎∴y=x+2.‎ ‎∴|AB|=2r‎2‎‎-‎d‎2‎=2‎4-‎‎2‎‎2‎‎2‎=2‎2‎.‎ ‎(2)(方法一)∵直线AB的斜率为1,‎ ‎∴过点(1,0)且与直线AB平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1,‎ ‎∴直线l的极坐标为ρsin θ=ρcos θ-1,‎ 即ρcosθ+‎π‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎(方法二)设点P(ρ,θ)为直线l上任一点,因为直线AB与极轴成π‎4‎的角,‎ 则∠PCO=‎3π‎4‎或∠PCO=π‎4‎.‎ 当∠PCO=‎3π‎4‎时,‎ 在△POC中,|OP|=ρ,|OC|=1,∠POC=θ,∠PCO=‎3π‎4‎,∠OPC=π‎4‎-θ,‎ 由正弦定理可知‎1‎sinπ‎4‎‎-θ‎=‎ρsin‎3π‎4‎,‎ 即ρsinπ‎4‎‎-θ‎=‎‎2‎‎2‎,‎ 即直线l的极坐标方程为ρsinπ‎4‎‎-θ‎=‎‎2‎‎2‎.‎ 同理,当∠PCO=π‎4‎时,极坐标方程也为ρsinπ‎4‎‎-θ‎=‎‎2‎‎2‎.‎ 当点P与点C重合时显然满足ρsinπ‎4‎‎-θ‎=‎‎2‎‎2‎.‎ 综上所述,所求直线l的极坐标方程为ρsinπ‎4‎‎-θ‎=‎‎2‎‎2‎.‎