【数学】2019届一轮复习北师大版点、直线、平面之间的位置关系学案

【数学】2019届一轮复习北师大版点、直线、平面之间的位置关系学案

专题四 立体几何 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系 高考导航 ‎1. 利用平面的基本性质及线线、线面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假进行判断．‎ ‎2．以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体考查线线、线面与面面平行和垂直关系.‎ ‎1．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析] 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎[答案] A ‎2．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎[解析] 对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C.‎ ‎[答案] C ‎3．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)‎ ‎[解析] 过点C作直线a1∥a，b1∥b，则直线AC、a1、b1两两垂直．不妨分别以a1、b1、AC所在直线为x、y、 轴建立空间直角坐标系，取n1＝(1,0,0)为a1的方向向量，n2＝(0,1,0)为b1的方向向量，令A(0,0,1)．可设B(cosθ，sinθ，0)，则＝(cosθ，sinθ，－1)．当直线AB与a成60°角时，＝，∴＝，|sinθ|＝，∴|cos〈n2，〉|＝，即AB与b所成角也是60°.‎ ‎∵|cos〈n1，〉|＝＝≤，‎ ‎∴直线AB与a所成角的最小值为45°.综上，②和③是正确的，①和④是错误的．故填②③.‎ ‎[答案] ②③‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．‎ ‎(1)证明：直线CE∥平面PAB；‎ ‎(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值．‎ ‎[解] (1)取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.‎ 由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝AD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.‎ ‎(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A－xy ，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)．‎ 设M(x，y， )(00)，则BD＝.‎ 依题意△ABD∽△DCB，所以＝，即＝.‎ 又x>0，解得x＝，故AB＝，BD＝，BC＝＝3.‎ 如图a所示，建立空间直角坐标系D－xy ，则D(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，E，A，所以＝，＝.‎ 由(1)知平面BAD的一个法向量为n＝(0,1,0)．‎ 设平面ADE的法向量为m＝(x，y， )，‎ 由得 令x＝，得y＝－， ＝－，‎ 所以m＝(，－，－)．‎ 所以cos〈n，m〉＝＝－.‎ 由图可知二面角B－AD－E的平面角为锐角，‎ 所以二面角B－AD－E的余弦值为.‎