数学文卷·2018届福建省莆田一中高三上学期期中考试（2017

数学文卷·2018届福建省莆田一中高三上学期期中考试（2017

莆田一中 2017-2018 学年度上学期期中考试试卷 高三 数学文科 命题人：林雅彬 审核人：陈友清 张洪声[ 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将 正确答案的选项填涂在答题卡上） 1．已知复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．如图，设全集为 U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表 示的集合为（　　） A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1} 3．曲线 在点 处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4．已知平面向量 =（0，﹣1）， =（1，1），|λ + |= ，则λ的值为（　　） A．3 B．2 C．3 或﹣1 D．2 或﹣1 5．若 tan（θ+ ）=﹣3，则 =（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 6．已知等比数列 中， ，则 的值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面, ,则“ ”是 “ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》给出计算弧田面积所用的 经验公式为：弧田面积= （弦×矢+矢 2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式 中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ， 半径等于 4 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ） A. 6 平方米 B. 9 平方米 C. 12 平方米 D. 15 平方米 5 2 1 iz i = − i z ( ) ln 2 3f x x x= − + ( )1,1 2 0x y+ − = 2 0x y− + = 2 0x y+ + = 2 0x y− − = ,a b ,α β ,a bα β⊂ ⊥ / /α β a b⊥ 1 2 2 3 π 9．已知函数 f（x）= ，当 x1≠x2 时， ＜0，则 a 的取 值范围是（　　） A．（0， ] B．[ ， ] C．（0， ] D．[ ， ] 10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是 （ ） A．3024 B．1007 C．2015 D．2016 11．已知四棱锥 中，平面 平面 ，其中 为正方形， 为等腰直角三角形， ，则四棱锥 外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 12．已知函数 ，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13.若函数 为奇函数，则 ________． 14．在等差数列 中，若 ，则 _________________. 15．如图，格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体 积为　　 16．已知定义在 上的函数 满足：①函数 的 图 像 关 于 点 对 称 ； ② 对 任 意 的 ， 都 有 成 立 ； ③ 当 时 ， ．则 ______. ( ) ( ) 3 2ln , 5af x x x g x x xx = + = − − 1 2 1, ,22x x  ∈   ( ) ( )1 2 2f x g x− ≥ a [ )1,+∞ ( )0,+∞ ( ),0−∞ ( ], 1−∞ − { }na 1 5 9 4a a a π+ + = 4 6tan( )a a+ = R ( )f x ( )1y f x= + ( )1,0− Rx∈ ( ) ( )1 1f x f x+ = − [ ]4, 3x∈ − − ( ) ( )2log 3 13f x x= + ( ) ( )2017 2018f f+ = 三、解答题(本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数 . （1）当 时，求函数 的取值范围； （2）将 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求 的单调递增区间. 18．在数列{a n}中，设 f（n）=a n，且 f（n）满足 f（n+1）﹣2f（n）=2 n（n∈N），且 a1=1． （1）设 ，证明数列{bn}为等差数列； （2）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 19.如图，在 中， ， ， 是边 上一点． （Ⅰ）求 的面积的最大值； （Ⅱ）若 的面积为 4， 为锐角， 求 的长． 20．如图，在直三棱柱 中， ， ，点 分别 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求三棱锥 的体积 23 1( ) sin 2 cos2 2f x x x= − + [0, ]2x π∈ ( )f x ( )f x 6 π ( )g x ( )g x 1 1 1ABC A B C− 090BAC∠ = 2AB AC= = ,M N 1 1 1,AC AB / /MN 1 1BB C C CM MN⊥ M NAC− 21.已知函数 （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若 时，关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值． 选做题:二选一（本题满分 10 分）请用 2B 铅笔在所选答题号框涂黑 22 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： ，以平面直角坐标系 的原点 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 取 相 同 的 单 位 长 度 建 立 极 坐 标 系 . 已 知 直 线 ： . (Ⅰ)试写出直线 的直角坐标方程和曲线 的参数方程； (Ⅱ)在曲线 上求一点 ，使点 到直线 的距离最大，并求出此最大值 23．[选修 4-5]不等式选讲 已知 . (Ⅰ)当 ，解不等式 ； (Ⅱ)对任意 ， 恒成立，求 的取值范围. .12)1()(),0(ln)( 222 −+−==/+−= mxxmxgaaxxxaxf )(xf 1=a x )()( xgxf ≤ m xOy 1C 2 2 13 4 x y+ = xOy O x l ( )2cos sin 6ρ θ θ− = l 1C 1C P P l ( ) ( ), 3f x x a g x x x= + = + − 1a = ( ) ( )f x g x< [ ]1,1x∈ − ( ) ( )f x g x< a 高三 数学文科 参考答案 1-5. DBACD 6-10. BABAA 11-12. DA 13. -1 14. 15. 16. 2 17（1）∵ 3 分 ∵ 时， ，4 分 ∴ . 5 分 ∴函数 的取值范围为： . 6 分 （2）∵ ，8 分 ∴令 ， ， 即可解得 的单调递增区间为： ， . 12 分 18．（1）证明：由已知得 ， 得 ， ∴bn+1﹣bn=1， 又 a1=1，∴b1=1， ∴{bn}是首项为 1，公差为 1 的等差数列． （2）解：由（1）知， ，∴ ． ∴ ， 两边乘以 2，得 ， 两式相减得 =2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）2n﹣1， ∴ 19。因为在 中， 是边 上一点，所以由余弦定理得： 3 3 3 16 23 1 3 1( ) sin 2 cos sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 2 6f x x x x x x π= − + = − = − [0, ]2x π∈ 52 [ , ]6 6 6x π π π− ∈ − 1sin(2 ) [ ,1]6 2x π− ∈ − ( )f x 1[ ,1]2 − ( ) ( ) sin[2( ) ] sin(2 )6 6 6 6g x f x x x π π π π= + = + − = + 2 2 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈ ( )g x [ , ]3 6k k π ππ π− + k Z∈ 所以 所以 所以 的面积的最大值为 （2）设 ，在 中， 因为 的面积为 ， 为锐角， 所以 所以 ， 由余弦定理得， 所以 ， 由正弦定理，得 ，所以 ，所以 ， 此时 ，所以 ,所以 的长为 20 试 题 解 析 ： 解 ： （ Ⅰ ） 证 明 ： 连 接 ， ， 点 ， 分 别 为 ， 的中点，所以 为△ 的一条中位线， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （ Ⅱ ） 设 点 ， 分 别 为 ， 的 中 点 ， ， 则 ， 1A B M 1 1AC MN 1 1A BC 1//MN BC MN ⊄ 1 1BB C C 1BC ⊂ 1 1BB C C //MN 1 1BB C C D AB ， ， 由 ， 得 ，解得 ，又 平面 ， ， ． 所以三棱锥 的体积为 . 21（Ⅰ） ……（1 分） 当 时，由 ，得 ，由 ，得 所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； ……（3 分） 当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，所以 的 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ……（5 分） （Ⅱ）令 ……（6 分） 当 时， ，所以函数 在 上单调递增， 而 ， 所 以 关 于 的 不 等 式 不恒成立； ……（8 分） 当 时，若 ， ；若 ， 所 以 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 ， 所 以 …（10 分） CM MN⊥ M NACV − = M NAC− =−−−=+−=′ x aaxxaxx axf 222 22)( ).0())(2( >−+− xx axax 0>a 0)( >′ xf ax <<0 0)( <′ xf ,ax > )(xf ),0( a ,(a )∞+ 0′ xf 20 ax −<< 0)( <′ xf x 2 a−> )(xf    − 2,0 a .,2    +∞− a ),0(1)21(ln)()()( 2 >+−+−=−= xxmmxxxgxfxF .)1)(12(1)21(22121)( 2 x xmx x xmmxmmxxxF +−−=+−+−=−+−=′ 0≤m 0)( >′ xF )(xF ),0( +∞ 0231)21(11ln)1( 2 >+−=+−+×−= mmmF x )()( xgxf ≤ 0>m mx 2 10 << 0)( >′ xF mx 2 1> ,0)( <′ xF )(xF )2 1,0( m    +∞,2 1 m ).2ln(4 112 1)21(2 1 2 1ln2 1)( 2 max mmmmmmmmFxF −=+×−+  −=  = 令 ，因为 ， 又 在 上是减函数，所以当 时， ，故整数 的最小值为 1． ……（12 分） 22 由题意知，直线 的直角坐标方程为： ，∴曲线 的参数方程为 （ 为参数） （2）设点 的坐标 ，则点 到直线 的距离为 ， ∴当 时，点 ，此时 23（1）依题意，得 则不等式 ，即为 或 或 解得 . 故原不等式的解集为 . （2）由题得， ， 当且仅当 ， 即 时取等号， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ， )2ln(4 1)( mmmh −= 2 1)2 1( =h .02ln4 1)1( <−=h )(mh ),0( +∞ 1≥m 0)( ( )( )3 1 0t t− + ≥ ∴ .2 2 3t t− ≥