2018-2019学年湖北省荆州中学、宜昌一中等三校高一3月联考数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省荆州中学、宜昌一中等三校高一3月联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省荆州中学、宜昌一中等三校高一3月联考数学试题 一、单选题 ‎1．的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用诱导公式把问题化为锐角的正切值问题即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．‎ ‎2．已知集合，，则的元素的个数为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出集合后可求它们交集中元素的个数．‎ ‎【详解】‎ ‎，，故，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交运算，属于基础题，注意集合中元素的意义．‎ ‎3．设，，向量，，且，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据向量平行与垂直坐标表示得，值，再根据向量模的定义求结果.‎ 详解：∵，，且，‎ ‎∴，解得，‎ 又∵，，且，‎ ‎∴，解得 ‎∴，，，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ 点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减： ‎ ‎4．若＝，则为(　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题设条件可先求，再把化成后可求的值．‎ ‎【详解】‎ 因为，故，‎ 若，则，矛盾，故，所以．‎ 又，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：‎ ‎（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把含有正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；‎ ‎（2）“1”的代换法：有时可以把看成．‎ ‎5．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)‎ A．15km B．30 km C．45 km D．60 km ‎【答案】B ‎【解析】根据船的行驶方向和灯塔的位置绘制位置图，再利用正弦定理可求两者的距离．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ ‎ 在中，，，，，由正弦定理得：‎ ‎，故，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.‎ ‎6．若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用两角和的余弦公式得到的值，平方后可得的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，故，‎ 故，选C.‎ ‎【点睛】‎ 四个代数式中，如果我们知道其中一个的值，则可利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式得到其余的三个代数式的值 ．‎ ‎7．已知，若，则的值为(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用两角差、和的正弦得到的值，故可得的比值，从而得到的值．‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，所以，所以，选C．‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．‎ ‎8．是方程的两个实数根，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用韦达定理求出的值，再利用两角和的正切得到后可得的值，注意的范围．‎ ‎【详解】‎ 由韦达定理可得，‎ 故，‎ 因，故，同理，故，‎ 所以，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 两角和的正切公式中，有，这是和、积的形式，因此两角和的正切和韦达定理有联系，另外，两角和、差的正切还有变形公式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎9．设函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=( 　)‎ A．－2 B．2 C．4 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用周期性得到及，再利用奇偶性得到的值从而得到要求的函数值的和．‎ ‎【详解】‎ 因为的周期为2，所以且，‎ 由为奇函数，则，，但，‎ 故，故，选A．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，对于定义在的奇函数，如果其周期为，那么．另外，对于奇函数、周期函数的求值问题，应利用周期性将所求的值归结为给定区间上的求值问题．‎ ‎10．已知，且，则(　　)‎ A． B．－ C．－ D．－‎ ‎【答案】D ‎【解析】把题设条件中的三角函数式通分后可得的值，再利用三角变换化简所求三角函数式为，由同角三角函数的基本关系式可求其值．‎ ‎【详解】‎ 因为，故即．‎ 又，‎ 因为，，所以，所以，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.‎ ‎11．已知的面积为1，为直角顶点．设向量，，，则的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：以为原点，直线为轴建立直角坐标系．由已知，设，则点，，，．从而，．‎ 所以，当且仅当时取等号；所以的最大值为1，选A．‎ ‎【考点】1、向量的坐标运算；2、向量的数量积．‎ ‎【易错点晴】本题考查的是向量的坐标运算、向量的数量积以及最值的求法，属于难题；本题关键是由直角三角形先建立直角坐标系，在坐标系中表示出点A、B的坐标，从而表示出向量的坐标，，根据向量的数量积运算，得到的值，再根据基本不等式求解即可．‎ ‎12．若对任意的正实数x,y都存在以a,b,c为三边的三角形，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】中必成立，故只需考虑即可，利用参变分离、齐次化等代数变形方法得到满足的不等式，从而求得其取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为，故.‎ 因为为三角形的三边，故而即 且，‎ 也就是且，‎ 令，则，故且，‎ 因为在上是减函数，故其最大值为1，所以，‎ 因为在上是增函数，故其最小值为3，所以，‎ 综上，，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离.而多元函数的最值问题，可根据函数的特点利用齐次化方法将其转化为一元函数，再利用函数的单调性求函数的最值.‎ 二、填空题 ‎13．平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为_____ N．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据力的平衡有，两边平方后可求．‎ ‎【详解】‎ 由题设有，故，‎ 所以，故，填．‎ ‎【点睛】‎ 向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.‎ ‎14．是第四象限角，化简_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用同角的三角函数的基本关系式化简即可，注意终边的位置对符号的影响.‎ ‎【详解】‎ 原式，‎ 因为是第四象限角，所以，‎ 所以原式 ‎，‎ 故填0.‎ ‎【点睛】‎ 同角三角函数的基本关系式有平方关系和商数关系，平方关系式，它是一个恒等式，体现了三角函数式中二次与常数的转化，我们常利用这个性质来化简与三角函数相关的无理式（如、）.‎ ‎15．已知则＝____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，故可利用诱导公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系式求值.‎ ‎【详解】‎ 令，则，故即.‎ 因为且，故，‎ 所以.填.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的化简求值中，注意角与角的关系，有时他们的和或差是特殊角，有时要求的角可以用已知的角来表示，有时他们之间有倍数关系等．‎ ‎16．已知，且关于的方程有个根，则这个根的和的可能值组成的集合为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在坐标平面中画出的图像，因为有两解，故两个方程的解的个数的总和即为所求集合中的元素.‎ ‎【详解】‎ 令，因为有解，故有两解，考虑直线与函数图像的交点的个数，它们可能的取值为，‎ 直线与函数图像的交点的个数，它们可能的取值为，‎ 直线中至少有一条与函数图像有交点，故两者交点的个数的总数的可能值的集合（也就是方程的解的个数的可能值的集合）为，故填.‎ ‎【点睛】‎ 复合方程的解的个数问题，其实质就是方程组的解的个数问题，后者可利用导数等工具刻画的图像特征，结合原来方程解的个数得到的限制条件，再利用常见函数的性质刻画的图像特征从而得到参数的取值范围．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间 上单调递增，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）(0，4]．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，则，利用可求时的解析式，故可得．‎ ‎（Ⅱ）画出函数的图像可得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设，则，所以.‎ 又因为为奇函数，所以，‎ 于是时，，所以.‎ ‎(2) 函数的图像如图所示：‎ 要使在上单调递增，‎ 结合的图像知，‎ 所以，故实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 对于奇函数或偶函数，如果我们知道其一侧的函数的解析式，则可通过函数解析式满足的关系求出该函数另一侧的函数的解析式．求解析式时应设所求那一侧的自变量为．‎ ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）求的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；‎ ‎（Ⅱ）当时，有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ） 的最小正周期为π, 对称中心的坐标为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用数量积的坐标运算得到的解析式，再利用整体思想求函数图像的对称中心.‎ ‎（Ⅱ）求出在上的最小值后可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ ‎∴的最小正周期为.‎ 令，则，故，‎ 故所求对称中心的坐标为.‎ ‎(2)，‎ 即的值域为.由有解，故，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．‎ ‎19．已知函数（、为常数）．‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若，当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）①当，即时，不等式的解集为：‎ ‎②当，即时，不等式的解集为：‎ ‎③当，即时，不等式的解集为：；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求得，所以即，等价于，因为与大小不能确定，所以分三种情况讨论；（Ⅱ）由题意可得对时恒成立，当时，不等式显然成立，当时，参变分离可得，即求得，而由时不等式恒成立，可知可得 试题解析：（Ⅰ）∵，， ∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ 等价于，‎ ‎①当，即时，不等式的解集为，‎ ‎②当，即时，不等式的解集为，‎ ‎③当，即时，不等式的解集为；‎ ‎（Ⅱ）∵,，‎ ‎∴对时恒成立， （※）‎ 当时，不等式（※）显然成立；‎ 当时，，‎ ‎∵，∴，‎ 故 又由时不等式恒成立，可知；‎ 综上所述，．‎ ‎【考点】1．解一元二次不等式；2．恒成立问题；3．基本不等式 ‎20．的内角的对边分别为，且 ‎ ‎（Ⅰ）求； ‎ ‎（Ⅱ）若 ，设，的周长为，求的解析式并求 的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）6.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用正弦定理可得，从而得到，故可得的值.‎ ‎（Ⅱ）利用正弦定理得到的解析式，再利用三角变换化简该解析式后可得的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由 正弦定理得，‎ 所以，因，故.‎ ‎ ，故.‎ ‎（Ⅱ） ，由正弦定理 ，及得 ‎，∴，‎ ‎∴周长 ‎ 　　　　　 ‎ ‎ 　 ‎ ‎∵ ∴当即时　‎ 所以周长的最大值为6．‎ ‎【点睛】‎ 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.三角形中的关于边的最值问题，可以利用正弦定理化为关于某角的三角函数式的最值问题（多元问题转化为一元函数问题）.‎ ‎21．函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度，然后再将纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数的图象.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式； ‎ ‎（Ⅱ）若，的最大值与最小值恰好为锐角的两边长，且的外接圆半径为，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由图像可以得到的大小，从而得到的大小．再把最高点的坐标代入解析式可得，利用可得的值．‎ ‎（Ⅱ）利用图像变换得到的解析式，求出其最值后可得 的两个边长，再根据正弦定理求出它们所对角的正弦，最后利用三角变换求出它们夹角的正弦后可得面积的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由图知，解得，，‎ 故，即．‎ 由于，故，， ‎ 即的解析式为：‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ），函数的值域为， 依题意不妨设的外接圆半径，‎ ‎，‎ 又为锐角三角形，故，‎ 故，所以 ‎【点睛】‎ ‎（1）已知的图像，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算.‎ ‎（2）三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎①如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎②如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎③如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ ‎22．一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜,田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在CN上，规划在小路MN与AP的交点O(O与M、N不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米5万元，小路ON段的建造费用为每百米4万元．‎ ‎（Ⅰ）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；‎ ‎（Ⅱ）设, 求的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）4万元；（Ⅱ），小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.‎ ‎【解析】（Ⅰ）在中用余弦定理计算的长度，故可得的长度后即得段的建筑费用.‎ ‎（Ⅱ）在中用正弦定理计算的长度后得到，令，将其变形为，利用辅助角公式可得，从而得到，验证等号成立后可得何时取最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）在中，，‎ ‎ 即，‎ 故或（舎去），故，‎ 所以段的建筑费用为万元.‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理得：在中，，‎ 故，‎ ‎ ，‎ 设小路和段的建造总费用为，‎ 则，‎ 令，且，，‎ 即.‎ 由，得，故，即或（舍去）.‎ 当时，，故，其中，‎ 故由，符合题意.‎ 答：，小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.‎ ‎【点睛】‎ 把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.求形如的函数最值，可将该函数转化为形如的方程，利用得到的取值范围，验证等号能成立后可得函数的最值.‎