高考数学复习专题-复数

高考数学复习专题-复数

第一章：复数 一、复数的概念 1． 虚数单位 i: （1）它的平方等于 1 ，即 2 1i   ； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i与－1的关系: i就是 1 的一个平方根，即方程 2 1x   的一个根，方程 2 1x   的另一个根是-i． （4）i的周期性： 4 1ni i  ， 4 2 1ni    ， 4 3ni i   ， 4 1ni  ． 2． 数系的扩充：复数 ( 0) i i( 0) i( 0) i( 0) a b a b b a a b b a b a          实数 纯虚数 虚数 非纯虚数 3． 复数的定义： 形如 i( )a b a b R， 的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表 示 4． 复数的代数形式: 通常用字母 z表示，即 ( )z a bi a b R  ， ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数 ( )a bi a b R ， ，当且仅当 0b  时，复数 ( )a bi a b R ， 是实数 a；当 0b  时，复数 z a bi  叫做虚数； 当 0a  且 0b  时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 0a b  时， z就是实数 0 6． 复数集与其它数集之间的关系： CRQZN  7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果 a， a b d，， ， c， d R ， 那么 i ia b c d    a c ， b d 二、复数的几何意义 1.复平面、实轴、虚轴： 复数 i( )z a b a b   R， 与有序实数对  a b， 是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是a，纵坐标是 b，复数 i( )z a b a b   R， 可用点  Z a b， 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯 平面， x轴叫做实轴， y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为  0 0， ，它所确定的复数是 0 0i 0z    表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3. 复数 z a bi  一一对应 复平面内的点 ( )Z a b， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1． 复数 1z 与 2z 的和的定义： 1 2z z     i ia b c d       ia c b d   2． 复数 1z 与 2z 的差的定义： 1 2z z     i ia b c d       ia c b d   3． 复数的加法运算满足交换律: 1 2 2 1z z z z   4． 复数的加法运算满足结合律: 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z     5． 乘法运算规则： 设 1 iz a b  ， 2 iz c d  (a、b、c、 dR )是任意两个复数， 那么它们的积       1 2 i i iz z a b c d ac bd bc ad       其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 2i 换成 1 ，并且把实部与虚部分别合并．两 个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律： （1）    1 2 3 1 2 3z z z z z z （2） 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z     （3）  1 2 3 1 2 1 3z z z z z z z   7． 复数除法定义： 满足     i i ic d x y a b    的复数 x yi ( x、 yR )叫复数 a bi 除以复数 c di 的商，记为：  ( )a bi c di   或 者 a bi c di   8． 除法运算规则： 设复数 ia b (a、 bR )，除以 ic d ( c， dR )，其商为 ix y （ x、 yR )， 即  ( i) i ia b c d x y     ∵       x yi c di cx dy dx cy i      ∴    i icx dy dx cy a b     由复数相等定义可知 cx dy a dx cy b      ，解这个方程组，得 2 2 2 2 ac bdx c d bc ady c d        ， 于是有:  ( i) ia b c d   2 2 2 2 ac bd bc ad i c d c d       ②利用    2 2i ic d c d c d    于是将 i i a b c d   的分母有理化得： 原式 2 2 i ( i)( i) [ i ( i)] ( )i i ( i)( i)                a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )i iac bd bc ad ac bd bc ad c d c d c d            ． ∴(  ( i) ia b c d    2 2 2 2 i ac bd bc ad c d c d      点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数 ic d 与 复数 ic d ，相当于我们初中学习的 3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而    2 2c di c di c d    是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 共轭虚数． 10.求证： （1） 2 2( )z z ； （2） 2| |zz z  ； （3） 1 2 1 2z z z z  ； （4） 1 1 2 2 z z z z       四、本章小结 1、 2ZZZ  2、     22 ba ibcadbdac bia dic      （竖着加+叉着减） /模方 i i i    1 1 i i i    1 1   ii 21 2    ii 21 2  3、 4 Tin i 1 i 1 4、会辨别实部、虚部、纯虚数、第几象限？深刻理解什么是部？ 5、平时做题时，要会设复数 biaz  ，不能硬算. 6、 22 22 dc ba dic bia z dic biaz          7、学生要掌握：一元二次方程的虚根求法 五、习题集 ①单选题必做题： 1.已知复数 2)31( 3 i iz    ， z是 z的共轭复数，则 z z （ A ） A. 1 4 B. 1 2 C.1 D.2 2.已知 i是虚数单位，复数 i ai   2 1 为纯虚数，则实数 a为（ A ） A.2 B. 2 C. 1 2 D. 2 1  3.已知 i是虚数单位， 2021 2 2 i i iz     ，且 z的共轭复数为 z ，则 z在复平面内对应的点关于虚轴对称得点 在（ B ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.已知复数 1z 满足    1 2 1 1z i i    （ i是虚数单位），复数 2z 的虚部为 2，且 1 2z z 是实数，则 2 1 z z 的虚部为 （ C ） A. 10 3 B. 10 3  C. 5 2  D. i 5 2 5.在复平面内，复数 z=i 对应的点为 Z，将向量OZ  绕原点 O 按逆时针方向旋转 6  ，所得向量对应的复数是（ A） A. 1 3 2 2 i  B． 3 1 2 2 i  C． 1 3 2 2 i  D． 3 1 2 2 i  6.设 i为虚数单位，已知复数 z满足 2 z i z i   ，则其共轭复数 z为（ B ） A．1 i B．1 i C． 2 2i D． 2 2i 7.已知复数 1 1 2iz   ， 1 2 1z z  ，则复数 2z 的虚部为（ B ） A． 2 5 B． 2 5  C． 1 5 D． 1 5  8.已知复数 z满足  1 3z i i   （ i为虚数单位)，则复数 z （ B ） A．1 2i B．1 2i C． 2 i D． 2 i 9.若复数 22 1 z i i    ，其中 i是虚数单位，则复数 z的模为（ A ） A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 10. 已知复数 1z i  ，则 2 2 1 z z z    （ B ） A. 2i B. 2i C. 2 D. 2 11. 设 i是虚数单位，且 2014 1 i ki ki    ，则实数 k等于（ D ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 1 12.复数 3 2 1 iz i i    ，在复平面上对应的点位于（ C ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13.（2013 天津河东一模，1）若 1 a iz i    是纯虚数，则实数 a的值是（ C ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 14.若复数    2 3 2 1a a a i    是纯虚数，则实数 a的值是（B ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1 15.已知复数  2 3 1 3 iz i    ， z是 z的共轭复数，则 z z （ A ） A. 1 4 B. 1 2 C. 1 D. 2 16.设 11 7, , 1 2 ia b R a bi i      （ i是虚数单位），则a b 的值是______.8 17.设 1z 是复数， 2 1 1z z iz  （其中 1z 表示 1z 的共轭复数），已知 2z 的实部是 1 ，则 2z 的虚部是_____答案：1 18.已知复数 1z 满足    1 2 1 1z i i    （ i是虚数单位），复数 2z 的虚部为 2，且 1 2z z 是实数，则 2z  ______ 答案： 2 4 2z i  19.在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②若 2 2( 1) ( 3 2)ix x x    是纯虚数，则实数 1x   ； ③ z是虚数的一个充要条件是 z z R ； ④若 a b， 是两个相等的实数，则 ( ) ( )ia b a b   是纯虚数； ⑤ zR 的一个充要条件是 z z ． ⑥ 1z  的充要条件是 1z z  ． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：复数为实数时，可以比较大小，①错； 1x   时， 2 2( 1) ( 3 2) 0x x x i     ，②错；z为实数时，也有 z z R ， ③错； 0a b  时， ( ) ( ) 0a b a b i    ，④错；⑤⑥正确． 20.设 3 i 1 2i z    ，则 z =（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 21.设     2 i 3 i 3 5 ix y     （ i为虚数单位），其中 x， y是实数，则 ix y 等于（ A ） A．5 B． 13 C． 2 2 D．2 22.复数 z满足条件： 2 1 iz z   ，那么 z对应的点的轨迹是（A） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 23.设复数 z 满足 =1iz  ，z在复平面内对应的点为 ),( yx ，则（ C ） A. 2 2+1 1( )x y  B. 2 2( 1) 1x y   C. 2 2( 1) 1x y   D. 22 ( +1) 1yx   （2020-2019 年高考题） 0.（2020•全国 1卷）若 z=1+i，则|z2–2z|=（ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 1.（2020•全国 2卷）设复数 1z ， 2z 满足 izzzz  3,2 2121 ，则 1 2| |z z =__________.【答案】 2 3 2.（2020•全国 3卷）复数 1 1 3i 的虚部是（ D ） A. 3 10  B. 1 10  C. 1 10 D. 3 10 3.（2020•江苏卷）已知 i是虚数单位，则复数 (1 i)(2 i)z    的实部是_____.【答案】3 4.（2020•新全国 1山东） 2 i 1 2i    （ D ） A. 1 B. −1 C.i D. −i 5.（2020•天津卷） i是虚数单位，复数 8 2 i i    _________．【答案】3 2i 6.（2020•浙江卷）已知 Ra ，若 iaa )2(1  ( i为虚数单位)是实数，则 a =（ C ） A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 7.（2020•上海卷）已知复数 z 满足 1 2z i  （ i为虚数单位），则 z  _______【答案】 5 8.（全国 1理，2）设复数 z满足 =1iz  ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． 2 2+1 1( )x y  B． 2 2 1( 1)x y  C． 22 ( 1) 1yx    D． 22 ( +1) 1yx   9.（全国 1文，1）设 3 i 1 2i z    ，则 z =（ ） A．2 B． 3 C． 2 D．1 10.（全国 2理 2）设 z=–3+2i，则在复平面内 z对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11.（全国 3理、文，2）若 (1 i) 2iz   ，则 z= A． 1 i  B． 1+i C．1 i D．1+i 12.（北京，理、文 2）已知复数 z=2+i，则 z z  A. 3 B． 5 C．3 D．5 13.（天津理、文 9） i是虚数单位，则 5 i i1   的值为_____________． 14.（浙江 11）复数 1 1 i z   （ i为虚数单位），则 | |z =___________． ②单选题必做题： 1．（2020·内蒙古宁城·月考（理））   1 1 2 1 i i i    等于（ ） A． 2 i  B．2 i C． 2 i  D． 2 i 2．（2020·黑龙江鹤岗一中月考（文））已知复数 1 3 aiz i    为纯虚数（其中 i 为虚数单位），则实数 a （ ） A． 3 B．3 C． 1 3  D． 1 3 3．（2020·四川阆中中学月考（理））已知 i为虚数单位，复数  3z i ai  ，且 5z  ，则实数 a （ ） A．-4 B．4 C． 4 D．2 4．（2020·山西运城·高二期末（文））若复数 20181( ) 3 1 iz i i     ，则 z （ ） A． 10 B．2 2 C．4 D．2018 5．（2020·山西运城·高二期末（文）） 2 4 3 i i    （ ） A． 1 2 5 5 i B． 1 2 5 5 i C． 2 5 5 1 i D． 2 1 5 5 i 6．（2020·唐山市第十一中学开学考试）   1 2 1i i  （ ） A．3 i B．5i C． 5i D． 2 3i 7．（2020·贵州贵阳·为明国际学校其他（理））若复数 z满足 ( 1 ) 2i z   ，则 z （ ） A．1 i B．1 i C． 1 i  D． 1 i  8．（2020·四川省绵阳南山中学月考（理））如图所示，若向量OZ  对应的复数为 z，则复数 4z z  为（ ） A．3 i B． 3 i  C．3 i D．1 3i 9．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））复数 5 iz i   上的虚部为（ ） A． 5 26 B． 5 26 i C． 5 26  D． 5 26 i 10．（2020·广东月考）复数 2 1 2 z i   在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2020·湖北荆州中学月考）设 1 2 1 iz i i     ，则 z （ ） A．0 B．3 C．1 D． 1 2 12．（2020·霍邱县第二中学月考（文））设 ( 2 )(1 ) 1x xi i yi    ，其中 x， y是实数，则 3 6x yi （ ） A． 3 B． 5 C． 6 D． 7 13．（2020·霍邱县第二中学月考（文））已知复数 z＝ 51 1   i i ，则 z＝（ ） A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i 14．（2020·防城港市防城中学月考（理）） i是虚数单位，复数 1 3 1 i i   的实部是 A．2 B．1 C． 1 D． 1 15．（2020·江苏省江浦高级中学月考）已知  2 i i 2 i z    ，则 z =（ ） A．3 B．2 C．1 D． 1 2 16．（2020·湖北十堰·其他（理））若复数 z满足   1 1 1i z i    ，则 z （ ） A． 1 2 B． 2 2 C．1 D． 2 17．（2020·内蒙古集宁一中月考（理））已知 2 , 1 i z i  ＋ 则复数 z=（ ） A． 1 3i  B．1  3i C．  3 i D．3 i 18．（2020·河北保定·一模（文））若复数 20201 1 iz i    ，则 z （ ） A． 1 i  B．1 i C． 2 i  D． 2 i 19．（2020·山西大同·一模（文））已知 i 是虚数单位，则 2 3 1 i i   的共轭复数是（ ） A． 5 1 2 2 i  B． 5 1 2 2 i C． 1 1 2 2   i D． 1 1 2 2 i 20．（2020·全国月考（理））设 i为虚数单位，若复数 z满足  2 5 5z i i    ，则复数 z的虚部为( ) A．-1 B． i C．-2 D． 2i 21．（2020·陕西省丹凤中学一模（理））设 是虚数单位，则复数 (1 )(1 2 )i i  （ ） A．3+3i B．-1+3i C．3+i D．-1+i 22．（2020·贵州南明·贵阳一中月考（理））i是虚数单位，x、y是实数，   2x i i y yi    ，则 x （ ） A．3 B．1 C． 1 2  D． 1 3 23．（2020·湖南天心·长郡中学月考（文））已知复数 2(1 ) (1 ) iz i i    ，则下列结论正确的是（ ） A． z的虚部为 i B． 2z  C． z的共轭复数 1z i   D． 2z 为纯虚数 24．（2020·全国其他（文））若复数 z满足 2 3 12z z i   ，其中 i为虚数单位， z是 z的共轭复数，则复数 z的 实部为（ ） A．3 B．2 5 C．4 D．5 25．（2020·四川青羊·树德中学期中（理））若复数 1 1 2z i  ，复数 2 1z i  ，则 1 2z z  A．6 B． 10 C． 6 D． 2 26．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中期末）在复平面内，复数  ,z a bi a R b R    对应向量OZ  （O为坐标 原点），设 OZ r  ，以射线Ox为始边，OZ 为终边逆时针旋转的角为 ，则  cos sinz r i   ，法国数学家 棣莫弗发现棣莫弗定理：  1 1 1 1cos sinz r i   ，  2 2 2 2cos sinz r i   ，则    1 2 1 2 1 2 1 2cos sinz z r r i         ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：    cos sin cos sin nn nz r i r n i n         ，则  101 3i  （ ） A．1024 1024 3i B． 1024 1024 3i  C．512 512 3i D． 512 512 3i  27．（2020·浙江高三月考）已知复数 z满足 1z  ，且有 17 1z z  ，求 z （ ） A． 1 3 2 2 i B． 3 1 2 2 i C． 2 2 2 2 i D．都不对 28．（2018·全国高三专题练习（文））复数 i z   1 2 （ i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ） A． )1,1( B． )1,1(  C． )1,1( D． )1,1(  29．（2016·安徽淮北·高三一模（理））现定义 cos sinie i    ，其中 i为虚数单位， e为自然对数的底数， R  ，且实数指数幂的运算性质对 ie  都适用，若 0 5 2 3 2 4 4 5 5 5cos cos sin cos sina C C C       ， 1 4 3 2 3 5 5 5 5 5cos sin cos sin sinb C C C       ，那么复数a bi 等于（ ） A． cos5 sin 5i  B． cos5 sin 5i  C． sin 5 cos5i  D． sin 5 cos5i  30．（2016·河北衡水·高三月考（文）） i是虚数单位，复数 5 2 2 5 i i    （ ） A． i B． i C． 21 20 29 29 i  D． 4 10 21 21 i  31．复数 32 1 2 i i    = （ ） A． i B． i C． 2 2 i D． 2 2 i  32．复数 z a bi   ,a b R 的虚部记作  Im z b ，则 1 2 Im i      A． 1 3 B． 2 5 C． 1 3  D． 1 5  33．设复数 1 3ω 2 2 i   ，则化简复数 1+ 2 3ω ω ω  （ ） A．1 B．2 C． 1 3 2 2 i D． 1 3 2 2 i 34．（2020·河南南阳·高二）设复数 2 1 ix i   （i 是虚数单位），则 1 1 2 2 3 3 2020 2020 2020 2020 2020 2020C x C x C x C x      （ ） A．1 i B． i C． i D．0 35．（2020·河南月考（理））已知复数 z满足   2z i i i   ，则 z （ ） A． 2 B． 3 C． 5 D． 10 36．（2017·河南高三月考（文））已知 i是虚数单位，复数 z 满足  3 4 1z i i   ，则 z 的共轭复数在复平面内 表示的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 37．（2020·河南中原·高三一模（理））已知1 i 是关于 x的方程 2 2 0ax bx   （ ,a bR ）的一个根，则a b  A． 1 B．1 C． 3 D．3 38．（2020·全国高三一模（理））复数 z满足 (2 ) 3 6z i i   （ i为虚数单位），则复数 z的虚部为（ ） A．3 B． 3i C．3i D． 3 39．（2019·河南中原·高三一模（理））若 3 4 1 iz iz i     （ i是虚数单位），则 | |z （ ） A． 3 2 B．2 C． 5 2 D．3 40．（2020·河南高三其他（理））在复平面内，复数 20 5 9 2 iz i    的共轭复数对应的向量OZ  为（ ） A． B． C． D． 41．（2020·周口市中英文学校高二期中（理））如果复数 2 1 2 bi i   的实部与虚部互为相反数，那么实数b的值为（ ） A． 2 B． 2 3 C．-2 D． 2 3  42．（2017·河南中原·高三二模（理））若 ( ) 2 , ,x i i y i x y R    ，则复数 x yi =（ ） A． 2 i  B．2 i C．1 2i D．1 2i 43．（2020·平顶山市第一中学高三月考（文））若复数 z 满足 1(1 2 0)z i  ,则复数 z 在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 44．（2020·河南焦作·高三其他（理））已知复数 20195 2 iz i   ，则其共轭复数 z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 45．（2016·河南南阳·（文））若复数 z满足 (1 ) |1 |z i i i    ，则 z的实部为（ ） A． 2 1 2  B． 2 1 C．1 D． 2 1 2  46．（2017·黑龙江海林·高三一模（文））已知复数 1 3 2 2 z i   ( i是虚数单位)， z z （ ） A． 1 3 2 2 i  B． 1 3 i 2 2   C． 3 1 2 2 i  D． 3 1 2 2 i  47．（2017·贵州贵阳一中高三月考（文））设  22 1 i 1 i z     ，则 z （ ） A． 3 B．1 C．2 D． 2 48．（2017·云南曲靖一中高三月考（理））在复平面内，复数 z满足 5(1 ) 1 3z i i   ，则 z的共轭复数对应的 点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 49．（2017·广西玉林·高三月考（理））若复数 z满足 · 20 15z z i  ，则 z的虚部为（ ） A．3 B． 3 C．3i D． 3i 50．（2016·全国高二课时练习（理））已知两个不相等的复数 ),,(),,( 21 RdcdiczRbabiaz  若复数 1z 与 2z 在复平面内对应的点 dcba ,,, 关于虚轴对称，则之间的关系为（ ） A． dbca  , B． dbca  , C． dbca  , D． dbca  , 答案：1-10 ：BACABADAAD 11-20：BBDAC DBBBA 21-30:CDDABDAAAA 31-40:BDADAAADCA41-50:DBACAA