专题22+等比数列及其前n项和-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过

专题22+等比数列及其前n项和-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过

考点22等比数列及其前n项和 ‎（1）理解等比数列的概念.‎ ‎（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎（3）了解等比数列与指数函数的关系.‎ 一、等比数列 ‎1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．‎ 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；‎ ‎（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.‎ ‎2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．‎ ‎3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是．‎ 等比数列通项公式的变形：．‎ ‎4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，‎ 是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．‎ 当或时，是递增数列；‎ 当或时，是递减数列；‎ 当时，为常数列；‎ 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．‎ 二、等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 ‎（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．‎ ‎（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．‎ 由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．‎ 三、等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：‎ ‎（1）若，则；若，则．‎ 推广：若，则．‎ ‎（2）若成等差数列，则成等比数列．‎ ‎（3）数列仍是公比为的等比数列；‎ 数列是公比为的等比数列；‎ 数列是公比为的等比数列；‎ 若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．‎ ‎（4）成等比数列，公比为．‎ ‎（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．‎ ‎（6）当时，；当时，．‎ ‎（7）．‎ ‎（8）若项数为，则，若项数为，则．‎ ‎（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．‎ 考向一 等比数列的判定与证明 等比数列的判定与证明常用的方法：‎ ‎（1）定义法：为常数且数列是等比数列．‎ ‎（2）等比中项法：数列是等比数列．‎ ‎（3）通项公式法：数列是等比数列．‎ ‎（4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．‎ 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．‎ 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．‎ ‎（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.‎ 典例1设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n,设bn=an+3.求证：数列{bn}是等比数列,并求an.‎ 由已知得S1=2a1-3,即a1=2a1-3,所以a1=3,‎ 所以b1=a1+3=6,即bn=6·2n-1.‎ 故an=6·2n-1-3=3·2n-3.‎ ‎1．已知各项为正数的数列{an},a1=1,(an+an-1)(an-3an-1-2)=0(n≥2,n∈N*),证明：{an+1}是等比数列.‎ 考向二 等比数列的基本运算 等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题.‎ ‎（1）等比数列的基本运算方法：‎ ‎①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行．‎ ‎②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．‎ ‎（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：‎ ‎①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解．‎ ‎②分类讨论思想．等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．‎ ‎③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解.‎ 典例2 已知是等比数列，且，，则等于 A．B．24‎ C．D．48‎ ‎【答案】B 典例3设是等比数列的前项和，，则公比 A．B． C．或D．或 ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 又解得或，选C.‎ ‎2．设公比为q(q>0)‎的等比数列‎{an}‎的前项和为Sn，若S‎2‎‎=3a‎2‎+2‎，S‎4‎‎=3a‎4‎+2‎，则a‎1‎‎=‎ A．B． C．D． 考向三求解等比数列的通项及前n项和 ‎1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：‎ ‎（1）通项法．设数列的通项公式来求解；‎ ‎（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，…，，，，…，；‎ 若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，…，，…，.‎ ‎2．当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.‎ ‎3．（1）形如的递推关系式，利用待定系数法可化为，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．‎ ‎（2）形如的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．‎ 典例4已知等比数列的前项和为，且，则 A．B． C．D． ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，解得，那么，，‎ 所以，故选D.‎ 典例5已知等比数列的各项均为正数，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足：，求数列的前项和.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴.‎ ‎3．在数列中，已知，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ 考向四 等比数列的性质的应用 等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等.‎ 注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．‎ ‎（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.‎ 典例6在等比数列中，是方程的根，则 A．B．2‎ C．1 D． ‎【答案】A ‎【解析】由等比数列的性质知，故，故选A.‎ 典例7已知等比数列的前n项和为，若，，则_______．‎ ‎【答案】140‎ 方法2：根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，‎ 所以．‎ 方法3：根据等比数列前n项和的性质，可知，，成等比数列，‎ 则，即，解得．‎ ‎4．已知为等比数列，，，则 A．7 B．5‎ C．D． 考向五 数列的新定义问题 数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解．对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．‎ 典例8若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数．‎ ‎（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；‎ ‎（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为，求；‎ ‎（3）在（2）的条件下，记，设数列的前n项和为，求使成立的n的最小值．‎ ‎【解析】（1）由题意得，即，则是“平方递推数列”．‎ 对两边取对数得，‎ 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 则 ‎（3）由（2）知，，‎ 又，即，即，‎ 又，所以，故使成立的n的最小值为．‎ ‎1．已知等比数列为递增数列，若，且，则数列的公比 A．2或B．2‎ C．D．-2‎ ‎2．在等比数列中，，，，则项数为 A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎3．各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值为 A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎4．在等比数列中，已知，则的值为 A． B． C． D． ‎5．在等比数列{an}中,a1=4,公比q≠1,前n项和为Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则q等于 A．2B． C．3D． ‎6．设正项等比数列的前项和为，且，若，则 A．B． C．D． ‎7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了 A．96里 B．48里 C．192 里 D．24里 ‎8．在等比数列中，若，且，则=‎ A．B． C．D．6‎ ‎9．若数列满足，则__________．‎ ‎10．若等比数列的各项均为正数，且，则__________．‎ ‎11．已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎12．已知数列an‎}‎为等比数列，a‎1‎‎=4‎，且‎2a‎2‎+a‎3‎=60‎.‎ ‎（1）求an；‎ ‎（2）若数列bn‎}‎满足bn+1‎‎=bn+an,b‎1‎=a‎2‎>0‎，求bn.‎ ‎1．（2017江苏）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则__________．‎ ‎2．（2016新课标全国Ⅲ文已知各项都为正数的数列满足，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的通项公式．‎ 变式拓展 ‎1．【解析】因为(an+an-1)(an-3an-1-2)=0(n≥2,n∈N*),且an>0,所以an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),所以an+1=3(an-1+1)(n≥2),所以=3.‎ 又a1+1=2,故数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列.‎ ‎2．【答案】B ‎3．【解析】（1），所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，则．‎ ‎（2）因为，所以．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】由等比数列的性质可得，，又，‎ ，‎ 当时，，；‎ 当，，∴.‎ 综上可得，.故选C.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】B ‎【解析】由等比数列的定义可得，即，解之得，故选B.‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】根据等比数列通项公式有，解得，故选C.‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由等比数列中，与的等比中项为，得，‎ 又，故选B．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】，，，，故选B．‎ ‎5．【答案】C ‎6．【答案】C ‎【解析】由，得，即数列为递减数列，由得，故可得，即，，，故，故选C.‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】记每天走的路程里数为，易知是公比的等比数列，由题意知，故选A.‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】，与为方程的两个根，解得或，，，故，故选A.‎ ‎9．【答案】 ‎【解析】由题意得，所以，则数列是等比数列，公比为2.由已知得，则，因此．‎ ‎10．【答案】50‎ ‎11．【解析】（1）∵，∴时，，即，解得；‎ 时，①，②，‎ 由①-②得，.‎ ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列，则.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴=．‎ ‎12．【解析】（1）设an‎}‎的公比为q，则‎8q+4q‎2‎=60,∴q‎2‎+2q-15=(q+5)(q-3)=0,∴q=3‎或q=-5‎，当q=3‎时，an‎=4·‎‎3‎n-1‎；当q=-5‎时，an‎=4·‎‎(-5)‎n-1‎.‎ ‎（2）‎∵bn+1‎=bn+an,b‎1‎=a‎2‎>0‎,∴bn+1‎‎-bn=an=4·‎‎3‎n-1‎,b‎1‎‎=12.‎ ∴b‎2‎‎-b‎1‎=4·‎3‎‎0‎,b‎3‎-b‎2‎=4·‎‎3‎‎1‎,...,bn‎-bn-1‎=4·‎3‎n-2‎(n≥2)‎,‎ ‎∴bn-b‎1‎=bn-12=b‎2‎-b‎1‎+b‎3‎-b‎2‎+…+bn-‎bn-1‎ ‎=4(‎3‎‎0‎+‎3‎‎1‎+...+‎3‎n-2‎)=4×‎1-‎3‎n-2‎×3‎‎1-3‎=2(‎3‎n-1‎-1)‎‎,‎ ‎∴bn=2·‎3‎n-1‎+10‎‎.‎ 直通高考 ‎1．【答案】32‎ ‎【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ ‎2．【解析】（1）由题意得．‎ ‎（2）由，得．‎ 因为的各项都为正数，所以，‎ 故是首项为，公比为的等比数列，因此．‎