- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020届高三下学期押题考试数学(文)试题 Word版含解析
- 1 - 华中师范大学第一附属中学 2020 年高考押题考试 文科数学 一、选择题 1.若集合 2 ,A y y x x R , 2,B x x x R ,则 A B ( ) A. 2 2x x B. 0 2x x C. 0x x D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出集合 A 和集合 B ,再求交集即可. 【详解】解: 2 , 0A y y x x R y y , 2, 2 2B x x x R x , A B 0 2x x 故选:B 【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题. 2.已知复数 z 满足 1 3i 1 i 3 iz ,则 z 的共轭复数为( ) A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i 【答案】A 【解析】 【分析】 转化 1 3i 1 i 3 iz 为 1 i 3 i 1 3iz ,再利用复数的乘除法运算计算即可. 【详解】解:由题知 1 i 3 i 2 4 1 32 4 10 10= = = 11 3i 1 3 1 3 1 3 10 i ii iz ii i i , 所以 z 的共轭复数为 1 i . 故选:A. 【点睛】本题考查复数的乘除法运算,共轭复数的概念,是考查数学运算能力,是基础题. 3.已知 3 2a , 1 2 1log 3b , 1 31 3c ,则( ) - 2 - A. b a c B. c a b C. c b a D. a b c 【答案】A 【解析】 【分析】 先比较和 0,1 的大小,易比较出 c 最小, ,a b 再进行同底对数变形比较真数的大小即可. 【详解】由已知可得: 3 2 1 2 3 1log2 2a , 1 2 11 log 3b , 1 310 3 1c 只需比较 3 21 2 和 1 3 的大小即可,同时平方 3 21 1 2 3 ,所以 a b 所以 c a b 故选:A 【点睛】此题考查指对数比较大小,一般先和 0,1 比较缩小比较范围,再同底变化或者通过 图像判断等,属于较易题目. 4.函数 2 3cos 2 cos x x f x x x 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 化简函数表达式得 2 sin cos x xf x x x ,然后利用特殊值法和排除法得到答案. - 3 - 【详解】解: 2 2 3cos sin2 cos cos x x x xf x x x x x , xR , 2 2 sin sin ( )cos cos x x x xf x f xx x x x , ( )f x 为奇函数,排除 A 选项, 当 2x 时, 2 2 1 2 42( ) 12 4 f ,选项 B ,C 排除, 故选: D . 【点睛】此类题目多采用特殊值法,结合奇偶性、单调性得出答案,选特殊值时应该选具有 区分度的特殊值和好计算的特殊值. 5.本周日下午 1 点至 6 点学校游泳馆照常开放,甲、乙两人计划前去游泳,其中甲连续游泳 2 小时,乙连续游泳 3 小时.假设这两人各自随机到达游泳馆,则下午 5 点钟时甲、乙两人都 在游泳馆游泳的概率是( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 8 【答案】C 【解析】 【分析】 设出甲乙到达的时刻,求出满足条件的不等式组,作出对应的平面区域,利用几何概型的概 率公式即可得到结论. 【详解】解; 据题意,甲、乙应分别在下午 4 点、3 点之前到达图书馆,设甲、乙到达图书馆 的时间分别为 x , y ,则应满足 1 4 1 3 x y ,如图,所对应的矩形 ABCD 区域的面积为6,下 午 5 钟点时,甲、乙两人都在自习,则应满足 3 4 2 3 x y ,所对应的正方形CEFG 区域的面 积为1,故 1 6P . - 4 - 故选:C. 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算,求出对应的区域面积是解决本题的关键. 6.若平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, 6a , 2 3 72a b a b ,则向量 b 的模为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量数量积公式,计算即可. 【详解】解: 2 22 22 3 6 cos60 6 72a b a b a a b b a a b b , 又因为 6a ,所以 2 36 6 cos60 6 72b b 整理得: 2 2 36=0b b ,解得: =4b 或 9 2b (舍),故 =4b . 故选:B. 【点睛】本题考查向量数量积,是基础题. 7.随着电商行业的蓬勃发展,快递行业近几年也保持着增长的态势,我国已经成为快递大国, 快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是 2015 年—2019 年,我国对快递行业发展的 统计图.下面描述错误的是( ) - 5 - A. 从 2015 到 2019 年,我国快递业务量保持逐年增长的趋势 B. 2016 年,快递业务量增长速度最快 C. 从 2016 到 2019 年,快递业务量增长速度连续上升 D. 从 2016 到 2019 年,快递业务量增长速度逐年放缓 【答案】C 【解析】 【分析】 本题首先可以结合图像判断出 A 正确,然后求出从 2016 到 2019 年每一年的快递业务量增长 率,即可得出结果. 【详解】结合图像易知,我国快递业务量保持逐年增长的趋势,A 正确, 2016 年,快递业务量增长率为 312.8 206.7 100 51206.7 - 椿 % %; 2017 年,快递业务量增长率为 400.6 312.8 100 28312.8 - 椿 % %; 2018 年,快递业务量增长率为 507.1 400.6 100 27400.6 - 椿 % %; 2019 年,快递业务量增长率为 635.2 507.1 100 25507.1 - 椿 % %; 故 2016 年的快递业务量增长速度最快,B 正确, 从 2016 到 2019 年,快递业务量增长速度逐年放缓,C 错误,D 正确, 故选:C. 【点睛】本题主要考查学生对增长率的理解,能否从题意中找出需要的信息是解决本题的关 键,考查计算能力,是简单题. 8.在锐角 ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 cos cos 2 3sin 3sin B C A b c C , cos 3sin 2B B ,则 a c 的取值范围是( ) - 6 - A. 3 , 32 B. 3 , 32 C. 3 , 32 D. 3 , 32 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换,化简 cos cos 2 3sin 3sin B C A b c C 求出 b ,由 cos 3sin 2B B 结合 2 2sin cos 1B B ,求得sin ,cosB B ,从而求出 B 的值,再由正 弦定理将 ,a c 结合 ,A C 关系,转化为C (或 A )角的三角函数,注意求出角的范围,再用 三角恒等变换求出范围. 【详解】由 cos cos 2 3sin 3sin B C A b c C 可得: cos cos sin cos sin cos sin c B b C C B B C bc b C sin 2 3sin sin 3sin B C A b C C ,∴ 3 2b . 1 3cos 3sin 2 cos sin2 2B B B B 2sin 26B , 2 6 6 3B ∴ 6 2B , 3B , 1sin b B , ∴ 2 3A C ,又 20 3 2C A , 0 2A ,∴ 6 2A , 2sin sin sin sin 3a c A C A A 3 3sin cos 3sin2 2 6A A A , ∵ 6 2A ,∴ 2 3 6 3A , - 7 - ∴ 3 3sin 32 6A . 故选 B. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化,考查利用三角恒等变换,以及正弦函数的图像与性质 的应用,解题中要注意角的范围,属于中档题. 9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中《商功》有如下问题:“今有委粟 平地,下周一十二丈,高两丈.问积及为粟几何?”其意思为“有粟若干,堆积在平地上, 它底圆周长为 12 丈,高为 2 丈,问它的体积和堆放的粟各为多少?”如图所示,主人欲卖掉 该堆粟,已知圆周率约为 3,一斛等于 2700 立方寸,一斛粟米卖 540 钱,一两银子 1000 钱, 则主人欲卖得银子(单位换算:1 立方丈= 610 立方寸)( ) A. 800 两 B. 1600 两 C. 2400 两 D. 3200 两 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算它的体积,在根据题意计算即可. 【详解】解:由底圆周长为 12 丈,圆周率约为 3 得底面半径为: 2r = 丈,该堆粟的体积为: 21 1 83 3V Sh r h 立方丈,故共有 68 10 立方寸, 故主人欲卖得银子为: 68 10 2700 540 1000=1600 两. 故选:B. 【点睛】本题考查空间几何体的体积的计算,考查数学文化的相关,是中档题. 10.设 A , B 为双曲线 2 2 2 2 0x y a b 同一条渐近线上的两个不同的点,若向量 0,2n , 3AB 且 1AB n n ,则双曲线的离心率为( ) - 8 - A. 2 或 3 2 4 B. 3 或 3 2 4 C. 2 5 3 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得 1 1cos , 3 AB n AB nAB n nAB n AB , ∴ 2 2sin , 3AB n . ①当双曲线的焦点在 x 轴上时,其渐近线方程为 by xa ,即 0bx ay , ∴点(0,2)到渐近线的距离为 2 2 2 4 2sin , 3 ad n AB n a b , 整理得 2 2 1 8 b a , ∴ 2 2 1 3 21 1 8 4 c be a a . ②当双曲线的焦点在 y 轴上时,其渐近线方程为 0ax by , ∴点(0,2)到渐近线的距离为 2 2 2 4 2sin , 3 bd n AB n a b , 整理得 2 2 8b a , ∴ 2 21 1 8 3c be a a . 综上双曲线的离心率为 3 2 4 或 3.选 B. 点睛: (1)解答本题时要读懂题意,结合 1AB n n 可得向量 AB 与 n 夹角的正弦值,进而得到点 (0,2)到渐近线的距离,这是解题的突破口.然后再根据点到直线的距离公式得到 - 9 - 2 2 2 4 2 3 b a b ,变形后根据定义可得双曲线的离心率. (2)求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 , ,a b c 的方 程或不等式,利用 2 2 2b c a 和 ce a 转化为关于 e 的方程或不等式,通过解方程或不等式 求得离心率的值或取值范围. 11.已知 f x 的定义城为 0, , f x 为 ( )f x 的导函数,且满足 f x xf x ,则不 等式 22 2 4f x x f x 的解集是( ) A. 0,3 B. 2,3 C. 3, D. 2, 【答案】C 【解析】 【分析】 先由 0f x xf x 坐标结构特点想到构造函数 y xf x 并得到其单调性,再对 22 2 4f x x f x 两边同乘 2x ,得到 2 22 2 4 4x f x x f x , 结合 y xf x 单调性可得不等式 22 4x x ,解出答案. 【详解】解:构造函数 y xf x 则 0y f x xf x 所以 y xf x 在 0, 上单调递减 又因为 22 2 4f x x f x 所以 2 22 2 4 4x f x x f x 所以 22 4x x 解得 3x 或 2x (舍) 所以不等式 21 1 1f x x f x 的解集是 3, 故选:C 【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论, 构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问 - 10 - 题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题, 常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也 是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:①根据导函数的“形状”变换 不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 12.将函数 ( ) cosf x x 的图象先向右平移 5 6 个单位长度,在把所得函数图象的横坐标变为 原来的 1 ( 0) 倍,纵坐标不变,得到函数 ( )g x 的图象,若函数 ( )g x 在 3( , )2 2 上没有 零点,则 的取值范围是( ) A. 2 2 8(0, ] [ , ]9 3 9 B. 2(0, ]9 C. 2 8(0, ] [ ,1]9 9 D. (0,1] 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式,根据定义域求出 5 6x 的 范围,再利用余弦函数的图象和性质,求得ω的取值范围. 【详解】函数 ( ) cosf x x 的图象先向右平移 5 6 个单位长度, 可得 5cos 6y x 的图象, 再将图象上每个点的横坐标变为原来的 1 ( 0) 倍(纵坐标不变), 得到函数 5( ) cos 6g x x 的图象, ∴周期 2T , 若函数 ( )g x 在 3( , )2 2 上没有零点, ∴ 5 5 3 5 2 6 6 2 6x , ∴ 3 5 5 2 6 2 6 2 T , 2 1 ,解得0 1 , - 11 - 又 5 2 2 6 3 5 2 2 6 k k ,解得 3 4 1 2 3 2 3k , 当 k=0 时,解 2 8 3 9 , 当 k=-1 时, 0 1 ,可得 20 9 , 2 2 8(0, ] [ , ]9 3 9 . 故答案为:A. 【点睛】本题考查函数 y=Acos(ωx+φ)的图象变换及零点问题,此类问题通常采用数形结 合思想,构建不等关系式,求解可得,属于较难题. 二、填空题 13.已知实数 x , y 满足约束条件 0 1 0 1 0 y x x y y ,则 3 1z x y 的最大值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的可行域,如下图阴影部分,当目标函数过点 A 时, z 取得最大值,求解 即可. 【详解】作出不等式组对应的可行域,如下图阴影部分, 联立 1 0 1 0 y x y ,可得 2, 1A , 目标函数可化为 3 1y x z , 当目标函数过点 A 时, z 取得最大值, max 3 2 1 1 6z . 故答案为:6. - 12 - 【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学方法的应用,属于基础题. 14.若数列{an}满足 a1=2,an+1 1 1 n n a a ,a2020=_____. 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 分别求出 2 3 4 5, , ,a a a a ,得到数列 na 是周期为 4 的数列,利用周期性即可得出结果. 【详解】数列 na 满足 1 2a , 1 1 1 n n n aa a , 1 2 1 1 31 aa a ,同理可得: 3 3 1 1 1 3 2a , 4 1 1 12 1 31 2 a , 5 1 13 211 3 a , … 数列 na 是周期为 4 的数列, - 13 - 又 2020=505×4, 2020 4 1 3a a , 故答案为: 1 3 . 【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式,属于基础题.已知数列的前几项, 写出数列的一个通项公式,常用的方法有: (1)通过观察、分析、联想、比较,发现项与项之间的关系; (2)如果关系不明显,可以将该数列同时加上或减去一个数,或分解等,将规律呈现出来, 便于找出通项公式; (3)正负号间隔的用 1 n 或 11 n 来调整; (4)若项中出现分式,则要分子分母分别找通项,同时要注意分子分母的关系; (5)分别观察奇数项与偶数项的的变化规律,可用分段函数的形式写出通项公式. 15.若 4 2x ,则函数 32tan 2 tany x x 的最大值为______. 【答案】 16 【解析】 【分析】 先根据二倍角正切公式化简,取倒数转化为关于 2 1 tan x 的一元二次函数,再根据二次函数性 质求最值,即得结果. 【详解】解: , tan 14 2x x Q 4 3 2 2 2tan 4tan2 tan1 tan 1 tan x xy xx x . 4 2 1 1 1( )4 tan tan 1 y x x 令 2 1 tant x ,则 (0,1)t 2 21 1 1 1 1( ) [( ) ]4 4 2 4t t ty . 当 1 2t 时, 1 y 最小值为 1 16 , 1 1 0, 1616 yy . 即 y 的最大值为 16 - 14 - 故答案为: 16 【点睛】本题考查二倍角正切公式、利用二次函数求最值,考查基本分析求解能力,属基础 题. 16.菱形 ABCD 边长为 3, 60BAD ,将 BCD 沿对角线 BD 翻折使得二面角C BD A 的大小为 120°,已知 A 、 B 、C 、 D 四点在同一球面上,则球的表面积等于______. 【答案】 21 【解析】 【分析】 利用三棱锥外接球球心与底面三角形外心的连线垂直于底面,作出 ABD△ , BCD 的外心 1O , 2O ,三棱锥 C ABD 的外接球球心 O ,利用 ABD△ , BCD 均为等边三角形得到 1 2 1 3O E O E AE , 1 2 3AO AE ,由 120AEC 得到 60 AEO ,从而求出 1OO , 进而求出外接球半径,得出答案. 【详解】如图, E 为 BD 的中点, 1O , 2O 分别为 ABD△ , BCD 的外心,O 为三棱锥 C ABD 的外接球 球心, 菱形 ABCD 边长为 3, 60BAD , AEC 为二面角C BD A 的平面角, 故 120AEC , 2 2 3 3 2AE CE AB BE , 1 2 1 3 3 2O E O E AE , 1 2 33AO AE , 1 2,△ △OO E OO E 均为直角三角形, 1 2= =90 OO E OO E - 15 - 1 2O E O E ,OE OE 所以 1 2△ △OO E OO E ,所以 = 60 AEO CEO 由 1 1 tan OOAEO O E , 1 1 3 3tan tan 602 2 OO O E AEO , 2 2 2 2 1 1 21 4R AO AO OO , 球的表面积为 24 21S R , 故答案为: 21 . 【点睛】此题关键是作出图形,找到外接球球心位置,要利用好“外接球球心与底面三角形 外心的连线垂直于底面”这个性质. 三、解答题 (一)必考题 17.在数列 na , nb 中, 1n na b n , 1n nb a . (1)证明:数列 3n na b 是等差数列; (2)求数列 3 2 n n n a b 的前 n 项和 nS . 【答案】(1)证明见解析;(2) 1 12n n nS . 【解析】 【分析】 (1)可将 1n nb a 代入 1n na b n ,计算可得数列 na 的通项公式,然后根据 1n nb a 可得数列 nb 的通项公式,即可计算出数列 3n na b 的通项公式,再根据定义 法可证明数列 3n na b 是等差数列; (2)先根据(1)的结果计算出数列 3 2 n n n a b 的通项公式,然后利用错位相减法可求出前 n - 16 - 项和 nS . 【详解】(1)证明:由题意,将 1n nb a 代入 1n na b n , 可得 1 1n na a n ,即 2 2na n , ∴ 2 2n na ,∴ 21 12 2n n n nb a , ∴ 2 33 12 2n n n na b n . ∵ 1 13 3 1 1 1 1n n n na b a b n n , ∴数列 3n na b 是以 1 为公差的等差数列. (2)由(1)知, 3 1 2 2 n n n n a b n , 则 2 0 1 1 2 2 2n n nS , 2 3 1 1 0 1 1 2 2 2 2n n nS , 两式相减, 得 1 2 3 1 1 1 111 1 1 1 1 14 2 12 2 2 2 2 21 2 n n n n n n nS 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2n n n n n , 所以 1 12n n nS . 【点睛】本题主要考查数列求通项公式,等差数列的证明,以及运用错位相减法求和的问题, 考查了转化与化归思想、逻辑思维能力和数学运算能力,属于中档题. 18.如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 2 4AB AD , 3PD BD AD ,且 PD 底面 ABCD . - 17 - (1)证明: BC ⊥平面 PBD ; (2)若Q 为 PC 的中点,求三棱锥 A PBQ 的体积. 【答案】(1)证明见解析;(2)2. 【解析】 【分析】 (1)通过条件各边长之间的关系得 AD BD ,再利用底面 ABCD 为平行四边形可得 BC BD ,再根据 PD 平面 ABCD 求得 PD BC ,即可证明 BC ⊥平面 PBD . (2)利用三棱 A PBQ 的积和三棱锥 A QBC 的积相等,将体积转化即可。 【详解】(1)证明:∵ 2 2 2AD BD AB ,∴ AD BD , ∵ //AD BC ,∴ BC BD .又∵ PD 底面 ABCD , ∴ PD BC .∵ PD BD D ,∴ BC ⊥平面 PBD . (2)三棱锥 A PBQ 的体积 A PBQV 与三棱锥 A QBC 的体积相等, 而 1 1 1 1 2 2 3 2 3 22 2 3 2A QBC Q ABC P ABCV V V . 所以三棱锥 A PBQ 的体积 2A PBQV . 【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系,以及等体积公式的应用.涉及几何体,特 别是棱锥的体积计算问题,一般要进行转化,变换顶点后,有时还需要利用等底等高转换, 还可以利用直线上的点为中点或三等分点再进行顶点变换,从而求出几何体的体积. 19.2020 年寒假是特殊的寒假,因为疫情全体上在线学习,为了研究上学习的情况,某上随机 抽取 100 名学生对于线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为3:2 ,其中男生有 50 人表示对线上教育满意,女生中有 15 名表示对线上教育不满意 (1)完成 2 2 列联表,并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”; - 18 - 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 100 (2)从被调查的对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取 9 名学生,再从这 9 名学生中 抽取 2 名学生,介绍线上学习的经验,求抽取的两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率. 参考公式:附: 2 2 n ad bcK a b c d a c b d 2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析,没有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”;(2) 1 2 . 【解析】 【分析】 (1)根据男女生的人数之比为 3:2,以及总人数 100 人,可求出男女生的人数,即可完成 2 2 列联表,并根据独立性检验的基本思想,求出 2K 的观测值,对照临界值表,即可判断是否有 把握. (2)利用分层抽样可得,男生 6 人,女生 3 人,列出抽取 2 人的所有基本事件和恰好抽取到 一名男生和一名女生的情况,由古典概型即可求出概率. 【详解】(1)列联表如下: 满意 不满意 总计 - 19 - 男生 50 10 60 女生 25 15 40 合计 75 25 100 2 2 100 50 15 10 25 100 250000 50 5.556 6.63560 40 75 25 2400 75 25 9K 所以没有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. (2)由题知,从对线上教育满意的 75 人中,分层抽样抽取 9 人, 则 9 人中,男生人数为: 950 675 人,设 1A , 2A , 3A , 4A , 5A , 6A , 女生人数为: 925 375 人,设为 1B , 2B , 3B ,则 9 人中再抽取 2 人,有以下情况: 1 2A A , 1 3A A , 41A A , 1 5A A , 1 6A A , 2 3A A , 2 4A A , 2 5A A , 2 6A A , 3 4A A , 3 5A A , 3 6A A , 4 5A A , 4 6A A , 5 6A A , 1 1A B , 1 2A B , 1 3A B , 2 1A B , 2 2A B , 2 3A B , 3 1A B , 3 2A B , 3 3A B , 4 1A B , 4 2A B , 4 3A B , 5 1A B , 5 2A B , 5 3A B , 6 1A B , 6 2A B , 6 3A B , 1 2B B , 1 3B B , 2 3B B ,共有 36 种,其中恰好抽取到一名男生和一名女生共有 18 种, 所以 9 人中抽取 2 人,抽到一名男生和一名女生的概率为: 18 3 1 26p . 【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想的初步运用、分层抽样和古典概型,考查了数学 运算能力、数据分析能力和逻辑推理能力,属于一般题目. 20.已知椭圆 2 2 2 2: 1 0x yM a ba b 经过点 0, 2A ,离心率为 3 3 (1)求椭圆 M 的方程; (2)经过点 0,1E 且斜率存在的直线l 交椭圆于 Q 、 N 两点,点 B 与点 Q 关于坐标原点对 称.连接 AB , AN .是否存在实数 ,使得对任意直线l ,都有 AN ABk k 成立?若存在, 求出 的值;若不存在,请说明理由. - 20 - 【答案】(1) 2 2 16 4 x y ;(2) 3 . 【解析】 【分析】 (1)由题意可知 2b ,根据离心率和 , ,a b c 的等量关系可求得 ,a c ,从而确定椭圆方程. (2)设直线l 方程为 1y kx ,直线l 与椭圆联立,设 1 1,Q x y , 2 2,N x y , 1 1,B x y , 利用韦达定理和斜率公式计算可得 AQ ANk k 和 AQ ABk k ,从而可得所求 值. 【详解】(1)由题意可知 2b , 3 3 ce a , 又 2 2 2a c b ,得 6a , 2c , 所以椭圆 M 的方程为 2 2 16 4 x y . (2)设直线 l 的方程为 1y kx , 联立 2 2 1 16 4 y kx x y ,可得 2 22 3 6 9 0k x kx , 设 1 1,Q x y , 2 2,N x y ,则有 1 2 2 6 2 3 kx x k , 1 2 2 9 2 3x x k ,因为 1 1 2 AQ yk x , 2 2 2 AN yk x , 所以 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 3 92 2 AQ AN k x x k x xy yk k x x x x 2 2 22 2 3 2k k k ,又因为点 B 与点 Q 关于原点对称, 所以 1 1,B x y ,即 1 1 2 AB yk x , 则有 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 4 AQ AB y y yk k x x x , 由点Q 在椭圆 2 2 : 16 4 x yC 上,得 2 2 1 1 24 3y x , - 21 - 所以 2 3AQ ABk k ,所以 2 32 3 AQ ANAN AB AQ AB k kk k k k , 即 3AN ABk k ,所以存在实数 3 ,使 AN ABk k 成立. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解,考查直线与椭圆位置关系和韦达定理以及斜率公式 的应用,考查学生的计算能力,属于中档题. 21.函数 sinxf x e x ax . (1)若 0x 为 f x 的极值点,求实数 a ; (2)若 1f x 在 0, 上恒成立,求实数 a 的范围. 【答案】(1)-2(2) 2, 【解析】 【分析】 (1)求得函数的导数,根据 00 cos0 0f e a ,求得 2a ,验证即可求解; (2)由(1)知 0,x 时, f x 为增函数,根据 2 0a 和 2 0a 分类讨论,结合 函数的单调性和最值,即可求解. 【详解】(1)由题意,函数 sinxf x e x ax ,可得 cosxf x e x a , 令 00 cos0 0f e a ,解得 2a , 当 2a 时 2xf x e sinx x , cos 2xf x e x , 当 0x 时, 0 1xe , cos 2 0xf x e x ; 当 0x 时,令 cos 2xg x f x e x , sin 0xg x e x , 即 g x 为增函数, 00 cos0 2 0g x g e , 0f x , 综上 0x 时, 0f x ; 0x 时, 0f x , 2a 时, 0x 为 f x 的极值点. (2)因为 00 sin0 0 1f e a , 00 cos0 2f e a a ; - 22 - 由(1)知 0,x 时, f x 为增函数, 当 2 0a ,即 2a 时, 0 2 0f x f a , f x 为增函数, 0 1f x f ,即 1f x 在 0, 上恒成立 当 2 0a ,即 2a 时, 0 2 0f a , 2 4a , ln 2 0a 因为 ln 2ln 2 cos 2 cos 2 0af a e a a a a 0 0,x ,使 0 0f x , 当 0 ,x x , 0 0f x , f x 为增函数; 当 00,x x 0 0f x , f x 为减函数, 0 0 1f x f ,与 1f x 在 0, 上恒成立相矛盾, 2 a 不成立 综上 2a 时, 1f x 在 0, 上恒成立. 所以,实数 a 的范围是 2, . 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化 与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研 究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可 分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题. (二)选考题 22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 1 cos sin x t y t (t 为参数,0 ), 在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin . (1)求曲线C 的直角坐标方程; (2)设点 M 的坐标为 1,0 ,直线l 与曲线C 相交于 A , B 两点,求 1 1 MA MB 的值. 【答案】(1) 2 2 14 3 x y ; (2) 4 3 【解析】 - 23 - 【分析】 (1) 由 2 2 12 3 sin 得 2 2 23 sin 12 ,把 2 2 2x y , sin y 代入上式即可. (2) 将 1 cos sin x t y t 代入 2 24 12x y 中,得 1 2 2 6cos 3 sint t , 1 2 2 9 03 sint t , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 MA MB t t t t MA MB MA MB t t t t , 把 1 2 2 6cos 3 sint t , 1 2 2 9 03 sint t 代入上式即可. 【详解】解:(1)曲线 2 2 12 3 sin ,即 2 2 23 sin 12 , 由于 2 2 2x y , sin y , 所以 2 23 4 12x y ,即 2 2 14 3 x y . (2)将 1 cos sin x t y t 代入 2 24 12x y 中, 得 2 23 sin 6 cos 9 0t t , 2 236cos 36 3 sin 0 ,设两根分别为 1t , 2t ,则 1 2 2 6cos 3 sint t , 1 2 2 9 03 sint t , ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 MA MB t t t t MA MB MA MB t t t t , 2 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 6cos 36 1444 3 sin 3 sin 3 sin t t t t t t 2 12 3 sin . 所以 21 2 1 2 2 12 1 1 43 sin 9 3 3 sin t t MA MB t t . 【点睛】考查把极坐标方程化为直角坐标方程,利用直线方程中t 的几何意义求与两根之和、 之积有关的式子的值,中档题. - 24 - 23.已知函数 ( ) | 4| |1 |f x x x , xR . (1)解不等式: ( ) 5f x ; (2)记 ( )f x 的最小值为 M ,若实数 a ,b 满足 2 2a b M ,试证明: 2 2 1 1 2 2 1 3a b . 【答案】(1) | 0 5x x (2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)先将 ( )f x 化为分段函数形式,然后根据 ( ) 5f x ,分别解不等式即可; (2)由(1)可得 min( ) 3f x M ,从而得到 2 2 3a b ,再利用基本不等式求出 2 2 1 1 2 1a b 的 最小值. 【详解】(1) ( ) | 4| |1 |f x x x 2 5, 4 3,1 4 2 5, 1 x x x x x . ( ) 5f x , 2 5 5 4 x x 或1 4x 或 2 5 5 1 x x , 4 5x 或1 4x 或 0 1x , 0 5x , 不等式的解集为{ | 0 5}x x ; (2)因为 ( ) | 4| |1 | | ( 4) (1 ) | 3f x x x x x (当且仅当1 4x 等号成立), 所以 ( )f x 的最小值 3M ,即 2 2 3a b , 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 12 1 2 1 6a ba b a b 2 2 2 2 1 2 12 2 1 6 b a a b 2 2 2 2 1 2 1(2 2 )2 1 6 b a a b 2 3 (当且仅当 2 1a , 2 2b 等号成立). 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题. - 25 - - 26 -查看更多