高考数学复习专题-必背公式与知识点过关检测

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第七章：高考数学必背公式与知识点过关检测 第一部分：集合与常用逻辑用语 1．子集个数：含 n个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，有 个非空真子集 2．常见数集：自然数集： 正整数集： 或 整数集： 有理数集： 实数集： 3．空集： 是任何集合的 ，是任何非空集合的 . 4．元素特点： 、 、 确定性 5．集合的的运算： 集运算、 集运算、 集运算 6．四种命题：原命题：若 p，则 q；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否命题：若 ， 则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互 ；原命题 与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互为逆否的命题 7．充要条件的判断： p q ， p是 q的 条件； p q ， q是 p的 条件； p q ， ,p q互为 条件；若命题 p对应集合 A，命题 q对应集合B，则 p q 等价于 ， p q 等价于 注意区分： “甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”； 8．逻辑联结词：或命题： p q ， ,p q有一为真即为 ， ,p q均为假时才为 ；且命题： p q ， ,p q均 为真时才为 ， ,p q有一为假即为 ；非命题： p 和 p为一真一假两个互为对立的命题 9.全称量词与存在量词： （1）全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用表示；全称命题 p： )(, xpMx ；全称命题 p 的否定  p： ； （2）存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用 表示；特称命题 p： )(, xpMx ；特称命题 p 的否定  p： ； 第二部分：函数与导数及其应用 1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0 次幂的底数 0 ；对数函数的真数 0；指数与 对数函数的底数 0 且 1 2．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论； 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的 3．函数的单调性：设 1x ， 2 [ , ]x a b ，且 1 2x x ，那么： （1）  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     1 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) ,f x f x f x a b x x     在 上是 函数； （2）  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     1 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) ,f x f x f x a b x x     在 上是 函数； （3）如果 0)(  xf ，则 )(xf 为 函数； 0)(  xf ，则 )(xf 为 函数； （4）复合函数的单调性：根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．函数的奇偶性: （1）函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件．．．． （2） )(xf 是 函数 )()( xfxf  ； )(xf 是 函数 )()( xfxf  . （3）奇函数 )(xf 在 0 处有定义，则 （4）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有 的单调性，偶函数有 的单调性 （5）偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于 对称 5．函数的周期性： 周期有关的结论：(约定 a＞0) （1） )()( axfxf  ，则 )(xf 的周期T = ； （2） )()( xfaxf  ，或 )0)(( )( 1)(  xf xf axf ，或 1( ) ( ) f x a f x   ( ( ) 0)f x  ,则 )(xf 的周期T = （3） )()( axfaxf  或 )0)(()2(  axfaxf  )(xf 的周期为 6．函数的对称性： ① ( )y f x 的图象关于直线 对称 ( ) ( )f a x f a x    (2 ) ( )f a x f x   ； ② ( )y f x 的图象关于直线 对称 ( ) ( )f a x f b x    ( ) ( )f a b x f x    ； 7．对数运算规律： （1）对数式与指数式的互化： （2）对数恒等式： log 1a  ， loga a  ， log b a a  ． lg 2+ lg 5  ， ln e  （3）对数的运算性质： ①加法： log loga aM N  ②减法： loga M N  ③数乘： log ( )n a M n R  ④恒等式： loga Na  ⑤ log m n a b  ⑥换底公式： loga N  8．二次函数： 二次函数 cbxaxy  2 （a≠0）的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 判别式 acb 42  ； 0 时，图像与 x轴有 个交点； 0 时，图像与 x轴有 个交点； 0 时，图像与 x 轴没有交点； 9. 韦达定理： 若 21, xx 是一元二次方程 )0(02  acbxax 的两个根，则： 21 xx  = ， 21xx = . 10．零点定理：若  xfy  在  ba, 上满足 , 则  xfy  在  ba, 内至少有一个零点 11．常见函数的导数公式： ① '( )C  ；② '( nx ） ； '(nx ） ③ '(sin x ） ； ④ '(cos x ） ； ⑤ '( xe ） ； ⑥ '( xa ） ； ⑦ '(ln x ） ； ⑧ '(log x ） . 12．导数运算法则：    f x g x    （1） ；     2 f x g x       （ ） ． 13．曲线的切线方程：函数 )(xfy  在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy  在 ))(,( 00 xfxP 处的切线的斜率为 )( 0xf  ， 相应的切线方程是 . 14．微积分基本定理： 如果  f x 是 ,a b 上的连续函数，并且有    F x f x  ，则 第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形 1．角度制与弧度制互化： 360°= rad，180°= rad，1°= ≈ rad，1 rad = ≈ 2．若扇形的圆心角为   为弧度制 ，半径为 r，弧长为 l，周长为C，面积为 S，则 l  ，C  ，S= = ． 3.三角函数定义式：角 终边上任一点（非原点）P ),( yx ,设 rOP || 则 sin  ， cos  ， tan  4．同角三角函数的基本关系： （1）平方关系 （2）商数关系 ． 5.函数的诱导公式：口诀： . （1） sin(2 ) sink    ， ， ．（k∈Z） （2） ， ，  tan tan    ． （3） ， ，  tan tan    ． （4） ， ,  tan tan     ． （5） sin( ) cos 2     ， ． （6） ， cos( ) sin 2      ． 6．特殊角的三角函数值：  0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 角 的弧 度数 sin cos tan 7．三角函数的图像与性质： siny x cosy x tany x 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称性 8．几个常见三角函数的周期： ① xy sin 与 xy cos 的周期为 . ② )sin(   xy 或 )cos(   xy （ 0 ）的周期为 . ③ 2 tan xy  的周期为 . ④ xy cos 的周期为 9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式： （1）  cos    ；（2）  cos    ； （3）  sin    ；（4）  sin    ； （5）  tan    ；（6）  tan    . 10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 2  cos 2  = = 降幂公式 2cos   ， 2sin   , sin cos   ， tan 2  11．引入辅助角公式： sin cosa b   . (其中,辅助角所在象限由点 ( , )a b 所在的象限决定, tan b a   ). 12. 正弦定理： . （ R是 ABC 外接圆直径） ① CBAcba sin:sin:sin::  ； ② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2  ； ③ CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin    13. 余弦定理：  .（变式）（以 A角和其对边来表示） 14. 三角形面积公式： ABCS  = = ．（用边与角的正弦值来表示） 三角形面积导出公式： ABCS  （ r为 ABC 内切圆半径）= （ R外接圆半径） 15. 三角形内切圆半径 r= 外接圆直径 2R= = = 第四部分：平面向量、数列与不等式 1．平面向量的基本运算：设 1 1( , )a x y  ， 2 2( , )b x y  ；（ 0b    ） a b   = ； a b   = ； a b  （定义公式）= （坐标公式）． a  在b  方向上的投影为. = （坐标公式） a b   （一般表示）  （坐标表示） ． a  ∥b   （一般表示） （坐标表示）． 夹角公式 cos = （坐标公式）. 2.若G为 ABC 的重心，则 =0  ；且G点坐标为 ( ， ) 3.三点共线的充要条件： BAP ,, 三点共线 OP xOA yOB      且 4.三角形的四心 重心：三角形三条 交点. 外心：三角形三边 相交于一点. 内心：三角形三 相交于一点. 垂心：三角形三边上 的相交于一点. 5. 数列{ na }中 na 与 nS 的关系 na  6. 等差数列与等比数列对比小结： 等差数列 等比数列 定义 公式 1． na  2． nS  1． na  2． nS  性质 1． cba ,, 成等差数列 称b为 a与 c的等差中项 2．若m n p q   , 则 （ ） 1． cba ,, 成等比数列 称b为 a与 c的等比中项 2．若m n p q   , 则 （ ） 7.常见数列的和： ①1+2+3+…+n= ②12+22+32+…+n2= ③13+23+33+…+n3= 8.一元二次不等式解的讨论. 0 0 0 二次函数 cbxaxy  2 （ 0a ）的图象 一元二次方程 02  cbxax  0a 的解集 02  cbxax  0a 的解集 02  cbxax  0a 的解集 9. 均值不等式： 若 0a  ， 0b  ，则  ； 10. 重要不等式： 11．极值定理：已知 yx, 都是正数，则有： （1）如果积 xy是定值 p，那么当 yx  时和 yx  有最小值 ； （2）如果和 yx  是定值 s，那么当 yx  时积 xy有最大值 . 12.两个著名不等式： （1）平均不等式： 如果 ba, 都是正数，那么 （当仅当 ba  时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（ ba, 为正数） 特别地， 2 2 2( ) 2 2 a b a bab     （当 ba  时， 2 2 2( ) 2 2 a b a b ab    ） ),,,( 33 2222 时取等cbaRcbacbacba          幂平均不等式： 2 21 22 2 2 1 )...(1... nn aaa n aaa  （2）柯西不等式： .（当且仅当 ad=bc 时取等号） 第五部分：立体几何与解析几何 1. 三视图与直观图： 原图形与直观图面积之比为 2. 常见几何体表面积公式： 圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积 S= 圆台的表面积 S = 球的表面积 S= 3．常见几何体体积公式： 柱体的体积 V= 锥体的体积 V = 台体的体积 V = 球体的体积 V = 4. 常见空间几何体的有关结论： （1）棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与 底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离 与棱锥高的 ． （2）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a ，b，c，则体对角线长为 ，全面积 为 ，体积 V = （3）正方体的棱长为 a，则体对角线长为 ,全面积为 ，体积 V = （4）球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径＝长方体的 长. 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长. （5）正四面体的性质：设棱长为 a，则正四面体的： 1 高： ；②对棱间距离： ；③内切球半径： ；④外接球半径： 5. 空间向量中的夹角和距离公式： （1）空间中两点 A 1 1 1( , , )x y z ， B 2 2 2( , , )x y z 的距离 d= （2）异面直线夹角： (0, ] 2   cosθ= （两直线方向向量为 ,a b   ） （3）线面角： [0, ] 2   ，且 sinθ= （ l  ， n  为直线的方向向量与平面的法向量） （4）二面角： [0, ]  ，且 cosθ= （两平面的法向量分别为 1n  和 2n  ） （5）点到面的距离：平面 的法向量为 n  ，平面 内任一点为N ，点M 到平面 的距离 d= 6．直线的斜率： k = = （ 为直线的倾斜角， 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 为直线上的两点） 7. 直线方程的五种形式： 直线的点斜式方程： (直线 l过点 1 1 1( , )P x y ，且斜率为 k )． 直线的斜截式方程： (b为直线 l在 y轴上的截距). 直线的两点式方程： ( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y 1 2x x ， 1 2y y ). 直线的截距式方程： (a、b分别为直线在 x轴、 y轴上的截距，且 0,0  ba ). 直线的一般式方程： (其中 A、B 不同时为 0). 8．两条直线的位置关系： （1）若 1 1 1:l y k x b  ， 2 2 2:l y k x b  ,则：① 1l ∥ 2l  且 ；② 1 2l l  . （2）若 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   ,则：① 1l ∥ 2l  且 ；②. 1 2l l  . 9．距离公式： （1）点 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y 之间的距离： （2）点 0 0( , )P x y 到直线 0Ax By C   的距离： （3）平行线间的距离： 1 0Ax By C   与 2 0Ax By C   的距离： 10.圆的方程： （1）圆的标准方程： （2）圆的一般方程： （ )0422  FED 11．直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离 d 与半径 R的大小关系 （1）当 时，直线和圆 （有两个交点）； （2）当 时，直线和圆 （有且仅有一个交点）； （3）当 时，直线和圆 （无交点）； 12. 圆与圆的位置关系：判断圆心距 d与两圆半径和 1 2R R ，半径差 1 2R R （ 1 2R R ）的大小关系： （1）当 时，两圆 ，有 4 条公切线； （2）当 时，两圆 ，有 3 条公切线； （3）当 时，两圆 ，有 2 条公切线； （4）当 时，两圆 ，有 1 条公切线； （5）当 时，两圆 ，没有公切线； 13. 直线与圆相交所得弦长 AB = （ d 为直线的距离 r为半径） 14．椭圆的定义： （1）第一定义：平面内与两个定点 21 FF、 的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫 椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（ 222 cba  ） （2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y轴上： . 15．双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两个定点 21 FF、 的距离之差的绝对值等于常数： 的 点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（ 222 abc  ） （2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y轴上： . 16．抛物线的定义： （1）平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（点 F 不在 l上）的距离的 的点的轨迹叫做双曲线.这个定点是 抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线. （2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y轴上： . 17．离心率：e= （椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ） 18．双曲线的渐近线： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的渐近线方程为 ，且与 2 2 2 2 1x y a b   具有相同渐 近线的双曲线方程可设为 2 2 2 2 x y a b   . 19．过抛物线焦点的直线： 倾斜角为 的直线过抛物线 2 2y px 的焦点 F 且与抛物线交于 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 两点（ 1 0y  ）： AF BF AB = 21xx 21yy  BFAF 11 20．焦点三角形的面积：（1）椭圆： S = ；（2）双曲线： S = （ 1 2F PF   ） 21．几何距离： （1）椭圆双曲线特有距离：①长轴（实轴）： ； ②短轴（虚轴）： ； ③两焦点间距离： . （2）焦准距：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： . （3）通径长：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： . 22．直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为 A ),(),,( 2211 yxByx ,则 AB = = 23. 中点弦问题： 椭圆：  OPAB kk 双曲线：  OPAB kk 第六部分：统计与概率 1. 总体特征数的估计： ⑴样本平均数 x = ； ⑵样本方差；S2= = ； ⑶样本标准差 S= 2．概率公式： ⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：   BAP ⑵古典概型：基本事件的总数数为 N ，随机事件 A包含的基本事件个数为M ，则事件 A发生的概率为：  AP = ⑶几何概型： )(AP 3．离散型随机变量： ⑴随机变量的分布列： ①随机变量分布列的性质： ip , 3,2,1i ；  21 pp ②离散型随机变量： x 1x 2x … nx p 1p 2p … np 均值（又称期望）： EX ＝ 方差：DX ＝ 注： 2( ) ( )E aX b aEX b D aX b a DX    ； ； ③二项分布（独立重复试验）：若  pnBX ,~ ,则 EX ＝ , DX ＝ 注： knkk n ppCkXP  )1()( ⑵条件概率：  ABP | 注：   1|0  ABP ⑶独立事件同时发生的概率：  ABP 第七部分：复数与计数原理 1. 复数的基本概念： z a bi  （ a，b R ） （1）实部： ；虚部： ； 虚数单位：i2= （2）模：|z|= = （3）共轭复数：-z = （4）在复平面内对应的点为 （5）复数相等：a+bi=c+di（a，b，c，d∈R） 2. 复数的基本运算： （1）加减法：（a+bi）＋（c+di）= （a+bi）－（c+di）= （2）乘法：（a+bi）×（c+di）= （3）除法：（a+bi）÷（c+di）= 注：对虚数单位 i ,有 1 , ,1, 4342414   nnnn iiiiii . 3．分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）：. （1）完成一件事有 n类不同方案，在第1类方案中有 1m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 2m 种不同的方法，…， 在第 n类方案中有 nm 种不同的方法．那么完成这件事共有 N= 种不同的方法． （2）完成一件事情，需要分成 n个步骤，做第1步有 1m 种不同的方法，做第 2 步有 2m 种不同的方法……做第 n步 有 nm 种不同的方法.那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 4．排列数公式： n nA = = ； m nA = (m≤ n, m、n∈N*) 规定0! 1 5．组合数公式： m nC = （ n，m N  ，且m n ）； 6. 组合数性质： m nC  ； 1m m n nC C   7．二项式定理：（a+b）n= （ r nC 叫做二项式系数） 8．二项展开式的通项公式：Tr+1= （r=0,1,2……，n） 第八部分：坐标系与参数方程 1. 极坐标→直角坐标 cos sin x y        直角坐标→极坐标 2 2 tan ( 0) x y y x x          2. 圆的极坐标方程： ①以极点为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 ； ②以 ( ,0)a )0( a 为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 ； ③以 ( , ) 2 a  )0( a 为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 ； ④以  , ( 0)a a  为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 ; ⑤以 3, ( 0) 2 a a      为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 3. 常见曲线的参数方程： 常见曲线 的普通方 程与参数 方程 普通方程 参数方程 直线 过点 0 0( , )x y 倾斜角为 0 0tan ( )y y x x   或者 0x x （ t为参数） 圆 2 2 2 0 0( ) ( )x x y y r    （ 为参数） 椭圆 12 2 2 2  b y a x （a＞b＞0） （ 为参数） 双曲线 12 2 2 2  b y a x （a＞0，b＞0） （为参数） 抛物线 2 2y px （p＞0） （ t为参数）