- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
2016 年下期永州市第四中学期末综合质量检测
2016 年下期永州市第四中学期末综合质量检测 理科数学(试题卷) 注意事项: 1.本卷共 22 题,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。请考生注意考试时间,开考 15 分钟后,考生 禁止进入考室,监考老师回收试卷。 2.请考生遵守考室秩序,发卷后注意检查试卷是否完整,如果妨碍答题现象请立即通知监考老师。 第 I 卷 选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知 a,b∈R,则命题“若 a2+b2=0,则 a=0 或 b=0”的否命题是( ) A.若 a2+b2≠0,则 a≠0 且 b≠0 B.若 a2+b2≠0,则 a≠0 或 b≠0 C.若 a≠0 且 b≠0,则 a2+b2≠0 D.若 a≠0 或 b≠0,则 a2+b2≠0 2.双曲线 1210 22 yx 的焦距为( ) A. 32 B. 34 C. 22 D. 24 3.下列求导运算正确的是( ) A.(x )′=1 B.(x2cosx)′=﹣2xsinx C.(3x)′=3xlog3e D.(log2x)′= 4.在复平面内,复数 i(2﹣i)对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.若曲线 1 1 2 2( , )y x a a 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 9,则 a=( ) A.8 B.16 C.32 D.64 6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 根据上表可得回归方程 y bx a 中的为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 7.某校在暑假组织社会实践活动,将 8 名高一年级学生,平均分配甲、乙两家公司,其中两名英语 成绩优秀学生不能分给同一个公司;另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方 案有( ) A.36 种 B.38 种 C.108 种 D.114 种 8.空间四边形 ABCD 中,AB=CD,边 AB.CD 所在直线所成的角为 30°,E、F 分别为边 BC、AD 的中点, 则直线 EF 与 AB 所成的角为( ) A.75° B.15° C.75°或 15° D.90° 9.已知 F1、F2 分别是双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F2 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外,则双曲线离心率的取 值范围是( ) A.(1, ) B.( ,+∞) C.( ,2) D.(2,+∞) 10.如果函数 3 21( ) 3f x x a x 满足:对于任意的 1 2, [0,1]x x ,都有 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x 恒成立, 则 a 的取值范围是( ) A. 2 3 2 3( , )3 3 B. 2 3 2 3[ 0) (0, ]3 3 C. 2 3 2 3[ , ]3 3 D. 2 3 2 3( 0) (0, )3 3 11.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余 弦值为( ) A. B. C. D. 12.如图,正四面体 ABCD 的顶点 C 在平面α内,且直线 BC 与平面α所成角为 45°,顶点 B 在平面 α上的射影为点 O,当顶点 A 与点 O 的距离最大时,直线 CD 与平面α所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 第 II 卷 非选择题(共 90 分) 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.若命题“存在实数 x,使 x2+ax+1<0”的否定是假命题,则实数 a 的取值范围为 . 14.已知抛物线 : 2 2x y ,过点 (0, 2)A 和 ( ,0)B t 的直线与抛物线没有公共点,则实数t 的取值 范围是 . 15.如图,第一个图是正三角形,将此正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形, 并擦去中间一段,得第 2 个图,将第 2 个图中的每一条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形, 并擦去中间一段,得第 3 个图,如此重复操作至第 n 个图,用 an 表示第 n 个图形的边数,则数列 an 的前 n 项和 Sn 等于 . 16.如图,正方形 BCDE 的边长为 a,已知 AB= BC,将△ABE 沿边 BE 折起,折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点,则翻折后的几何体中有如下描述: ①AB 与 DE 所成角的正切值是 ;②AB∥CE③VB﹣ACE 体积是 a3;④平面 ABC⊥平面 ADC. 其中正确的有 .(填写你认为正确的序号) 三.解答题(请写出对应的文字说明,公式定理,解答过程,共 6 题,共 70 分) 17.(本题满分 10 分) 已知命题 p:∃x0∈[﹣1,1],满足 x0 2+x0﹣a+1>0,命题 q:∀t∈(0,1),方程 x2+ =1 都表示焦点在 y 轴上的椭圆.若命题 p∨q 为真命题,p∧q 为假命 题,求实数 a 的取值范围. 18.(本题满分 12 分) 如图,已知平面 ABC 平面 BCDE , DEF 与 ABC 分别是棱长为 1 与 2 的正三角形, AC // DF ,四边形 BCDE 为直角梯形,DE // BC , , 1BC CD CD ,点G 为 ABC 的重心, N 为 AB 中点, ( , 0)AM AF R . (Ⅰ)当 2 3 时,求证:GM //平面 DFN ; (Ⅱ)若直线 MN 与CD 所成角为 3 ,试求二面角 M BC D 的余弦值. 19.(本题满分 12 分) 某市为了了解高二学生物理学习情况,在 34 所高中里选出 5 所学校,随机抽取了近千名学生参加物 理考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图所示. (1)将 34 所高中随机编号为 01,02,…,34,用下面的随机数表选取 5 组数抽取参加考试的五所 学校.选取方法是从随机数表第一行的第 6 列和第 7 列数字开始,由左到右依次取两个数字,则选出 来的第 4 所学校的编号是多少? 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 (2)求频率分布直方图中 a 的值,试估计全市学生参加物理考试的平均成绩; (3)如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学,这 3 名同学中考试成绩在 80 分以上(含 80 分)的人数记为 X ,求 X 的分布列及数学期望. (注:频率可以视为相应的概率) 20.(本题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 的左焦点为 F,右顶点为 A,动点 M 为右准线上一点(异于右准线与 x 轴的交点),设线段 FM 交椭圆 C 于点 P,已知椭圆 C 的离心率 为 ,点 M 的横坐标为 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若∠FPA 为直角,求 P 点坐标; (3)设直线 PA 的斜率为 k1,直线 MA 的斜率为 k2,求 k1•k2 的取值范围. 21. (本题满分 12 分) 某旅游景区的观景台 P 位于高为 2km 的山峰上(即山顶到山脚水平面 M 的垂直高度 2PO km ),山脚下有一段位于水平线上笔直的公路 AB,山坡面可近似地看作平面 PAB,且 PAB 为以 AB 为底边的等腰三角形. 山坡面与山脚所在水平面 M 所成的二面角为 (0 90 ) ,且 2sin 5 . 现从山脚的水平公路 AB 某处 C0 开始修建一条盘山公路,该公路的第一段, 第二段, 第 三段, …, 第 n-1 段依次为 C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn-1Cn(如图所示),C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn-1Cn 与 AB 所成的角均为 (0 90 ) ,且 1sin 4 . (1)问每修建盘山公路多少米,垂直高度就能升高 100 米? 若修建盘山公路至半山腰(高度为山高 的一半),在半山腰的中心 Q 处修建上山缆车索道站,索道 PQ 依山而建(与山坡面平行,离坡面高度 忽略不计),问盘山公路的长度和索道的长度各是多少 km ? (2)若修 建 xkm 盘山公路,其造价为 2 100x a 万元. 修建索道的造价为 2 2 a 万元 /km . 问 修建盘山公路至多高时,再修建上山索道至观景台,总造价最少? 22.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx. (1)求函数 g(x)=f(x+1)﹣x 的最大值; (2)若对任意 x>0,不等式 f(x)≤ax≤x2+1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 x1>x2>0,求证: > . 2016 年下期永州四中高二年级期末考试理科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D A B B A C D C A A 13.a<﹣2 或 a>2 14. 15.4n﹣1 16.①③④ 17. 因为∃x0∈[﹣1,1],满足 ,所以只须 ; ∵ ,∴x0=1 时, 的最大值为 3﹣a,∴3﹣a>0, 所以命题 p:a<3; 因为∀t∈(0,1),方程 都表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 t2 ﹣(2a+2)t+a2+2a+1>1 即 t2﹣(2a+2)t+a2+2a=(t﹣a)(t﹣(a+2))>0 对 t∈(0,1)恒成 立,只须 a+2≤0 或 a≥1,得 a≤﹣2 或 a≥1; 根据已知条件知,p 和 q 中一真一假: 若 p 真 q 假,得 ,即﹣2<a<1; 若 p 假 q 真,得 ,得 a≥3 综上所述,﹣2<a<1,或 a≥3; ∴a 的取值范围为(﹣2,1)∪[3,+∞). 18. (Ⅱ )平面 平面 ,易得平面 平面 , 以 为原点, 为 x 轴, 为 y 轴, 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 ,设 , , , 因为 与 所成角为 ,所以 , 得 , , , 设平面 的法向量 ,则 ,取 , 面 的法向量 ,所以二面角 的余弦值 。 19. (1)16;(2) ;(3) 的分布列为: 0 1 2 3 ……………………………10 分 所以 . (或 ,所以 .)…………………12 分 20. (1)由题意可知:离心率 e= = , 准线方程 x= = , 解得:a=3,c=2, 由 b2=a2﹣c2=5, ∴求椭圆 C 的标准方程为 ; (2)由∠FPA 为直角, ∴以 AF 为直径的圆的与椭圆相交于 P 点,设 P(x,± ), ∴圆心为 O( ,0),半径为 , ∴丨 PO 丨= ,即 = ,整理得:4x2﹣9x﹣9=0, 解得:x=﹣ 或 x=3(舍去), ∴y=± =± , ∴P 点坐标为: (3)设点 P(x1,y1)(﹣2<x1<3),点 , ∵点 F,P,M 共线,x1≠﹣2, ∴ ,即 , ∴ , ∵ , ∴ , 又∵点 P 在椭圆 C 上, ∴ , ∴ , ∵﹣2<x1<3, ∴ , 故 k1•k2 的取值范围为 21. (1)在盘山公路 C0C1 上任选一点 D,作 DE⊥平面 M 交平面 M 于 E,过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F,连结 DF, 易知 DF⊥C0F. sin∠DFE= ,sin∠DC0F= . ∵DF= C0D,DE= DF,∴DE= C0D, 所以盘山公路长度是山高的 10 倍,索道长是山高的 倍, 所以每修建盘山公路 1000 米,垂直高度升高 100 米. 从山脚至半山腰,盘山公路为 10km. 从半山腰至山顶,索道长 2.5km. 当 x∈(0,1)时,y′<0,函数 y 单调递减;当 x∈(1,2)时,y′>0,函数 y 单调递增, ∴x=1,y 有最小值, 即修建盘山公路至山高 1km 时,总造价最小,最小值为15a 万元. 22.(1)∵f(x)=lnx, ∴g(x)=f(x+1)﹣x=ln(x+1)﹣x,x>﹣1, ∴ . 当 x∈(﹣1,0)时,g′(x)>0,∴g(x)在(﹣1,0)上单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,则 g(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴g(x)在 x=0 处取得最大值 g(0)=0. (2)∵对任意 x>0,不等式 f(x)≤ax≤x2+1 恒成立, ∴ 在 x>0 上恒成立, 进一步转化为 , 设 h(x)= ,则 , 当 x∈(1,e)时,h′(x)>0;当 x∈(e,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x) . 要使 f(x)≤ax 恒成立,必须 a . 另一方面,当 x>0 时,x+ , 要使 ax≤x2+1 恒成立,必须 a≤2, ∴满足条件的 a 的取值范围是[ ,2]. (3)当 x1>x2>0 时, > 等价于 . 令 t= ,设 u(t)=lnt﹣ ,t>1 则 >0, ∴u(t)在(1,+∞)上单调递增, ∴u(t)>u(1)=0, ∴ > .查看更多