2016 年下期永州市第四中学期末综合质量检测

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2016 年下期永州市第四中学期末综合质量检测 理科数学（试题卷） 注意事项： 1.本卷共 22 题，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。请考生注意考试时间，开考 15 分钟后，考生 禁止进入考室，监考老师回收试卷。 2.请考生遵守考室秩序，发卷后注意检查试卷是否完整，如果妨碍答题现象请立即通知监考老师。 第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分） 1.已知 a，b∈R，则命题“若 a2+b2=0，则 a=0 或 b=0”的否命题是（ ） A．若 a2+b2≠0，则 a≠0 且 b≠0 B．若 a2+b2≠0，则 a≠0 或 b≠0 C．若 a≠0 且 b≠0，则 a2+b2≠0 D．若 a≠0 或 b≠0，则 a2+b2≠0 2.双曲线 1210 22  yx 的焦距为（ ） A. 32 B. 34 C. 22 D. 24 3.下列求导运算正确的是（ ） A．（x ）′=1 B．（x2cosx）′=﹣2xsinx C．（3x）′=3xlog3e D．（log2x）′= 4.在复平面内，复数 i（2﹣i）对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.若曲线 1 1 2 2( , )y x a a    在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 9，则 a=（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 根据上表可得回归方程  y bx a  中的为 9．4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为（ ） A．63．6 万元 B．65．5 万元 C．67．7 万元 D．72．0 万元 7.某校在暑假组织社会实践活动，将 8 名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语 成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方 案有（ ） A．36 种 B．38 种 C．108 种 D．114 种 8.空间四边形 ABCD 中，AB=CD，边 AB．CD 所在直线所成的角为 30°，E、F 分别为边 BC、AD 的中点， 则直线 EF 与 AB 所成的角为（ ） A．75° B．15° C．75°或 15° D．90° 9.已知 F1、F2 分别是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 F2 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取 值范围是（ ） A．（1， ） B．（ ，+∞） C．（ ，2） D．（2，+∞） 10.如果函数 3 21( ) 3f x x a x  满足：对于任意的 1 2, [0,1]x x  ，都有 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x  恒成立， 则 a 的取值范围是（ ） A． 2 3 2 3( , )3 3  B． 2 3 2 3[ 0) (0, ]3 3   C． 2 3 2 3[ , ]3 3  D． 2 3 2 3( 0) (0, )3 3   11.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余 弦值为（ ） A． B． C． D． 12.如图，正四面体 ABCD 的顶点 C 在平面α内，且直线 BC 与平面α所成角为 45°，顶点 B 在平面 α上的射影为点 O，当顶点 A 与点 O 的距离最大时，直线 CD 与平面α所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，共 20 分） 13.若命题“存在实数 x，使 x2+ax+1＜0”的否定是假命题，则实数 a 的取值范围为 ． 14.已知抛物线  ： 2 2x y ，过点 (0, 2)A  和 ( ,0)B t 的直线与抛物线没有公共点，则实数t 的取值 范围是 ． 15.如图，第一个图是正三角形，将此正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形， 并擦去中间一段，得第 2 个图，将第 2 个图中的每一条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形， 并擦去中间一段，得第 3 个图，如此重复操作至第 n 个图，用 an 表示第 n 个图形的边数，则数列 an 的前 n 项和 Sn 等于 ． 16.如图，正方形 BCDE 的边长为 a，已知 AB= BC，将△ABE 沿边 BE 折起，折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点，则翻折后的几何体中有如下描述： ①AB 与 DE 所成角的正切值是 ；②AB∥CE③VB﹣ACE 体积是 a3；④平面 ABC⊥平面 ADC． 其中正确的有 ．（填写你认为正确的序号） 三.解答题（请写出对应的文字说明，公式定理，解答过程，共 6 题，共 70 分） 17.（本题满分 10 分） 已知命题 p：∃x0∈[﹣1，1]，满足 x0 2+x0﹣a+1＞0，命题 q：∀t∈（0，1），方程 x2+ =1 都表示焦点在 y 轴上的椭圆．若命题 p∨q 为真命题，p∧q 为假命 题，求实数 a 的取值范围． 18.（本题满分 12 分） 如图，已知平面 ABC  平面 BCDE ， DEF 与 ABC 分别是棱长为 1 与 2 的正三角形， AC // DF ，四边形 BCDE 为直角梯形，DE // BC ， , 1BC CD CD  ，点G 为 ABC 的重心， N 为 AB 中点， ( , 0)AM AF R      ． （Ⅰ）当 2 3   时，求证：GM //平面 DFN ； （Ⅱ）若直线 MN 与CD 所成角为 3  ，试求二面角 M BC D  的余弦值． 19.（本题满分 12 分） 某市为了了解高二学生物理学习情况，在 34 所高中里选出 5 所学校，随机抽取了近千名学生参加物 理考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示. （1）将 34 所高中随机编号为 01，02，…，34，用下面的随机数表选取 5 组数抽取参加考试的五所 学校.选取方法是从随机数表第一行的第 6 列和第 7 列数字开始，由左到右依次取两个数字，则选出 来的第 4 所学校的编号是多少？ 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 （2）求频率分布直方图中 a 的值，试估计全市学生参加物理考试的平均成绩； （3）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这 3 名同学中考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的人数记为 X ，求 X 的分布列及数学期望. （注：频率可以视为相应的概率） 20.（本题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 的左焦点为 F，右顶点为 A，动点 M 为右准线上一点（异于右准线与 x 轴的交点），设线段 FM 交椭圆 C 于点 P，已知椭圆 C 的离心率 为 ，点 M 的横坐标为 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若∠FPA 为直角，求 P 点坐标； （3）设直线 PA 的斜率为 k1，直线 MA 的斜率为 k2，求 k1•k2 的取值范围． 21. (本题满分 12 分) 某旅游景区的观景台 P 位于高为 2km 的山峰上(即山顶到山脚水平面 M 的垂直高度 2PO km )，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路 AB，山坡面可近似地看作平面 PAB，且 PAB 为以 AB 为底边的等腰三角形. 山坡面与山脚所在水平面 M 所成的二面角为 (0 90 )     ，且 2sin 5   . 现从山脚的水平公路 AB 某处 C0 开始修建一条盘山公路，该公路的第一段, 第二段, 第 三段, …, 第 n－1 段依次为 C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn(如图所示)，C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn 与 AB 所成的角均为 (0 90 )     ，且 1sin 4   . （1）问每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高 100 米? 若修建盘山公路至半山腰(高度为山高 的一半)，在半山腰的中心 Q 处修建上山缆车索道站，索道 PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度 忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少 km ？ （2）若修 建 xkm 盘山公路，其造价为 2 100x a  万元. 修建索道的造价为 2 2 a 万元 /km . 问 修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少? 22.（本题满分 12 分） 已知函数 f（x）=lnx． （1）求函数 g（x）=f（x+1）﹣x 的最大值； （2）若对任意 x＞0，不等式 f（x）≤ax≤x2+1 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）若 x1＞x2＞0，求证： ＞ ． 2016 年下期永州四中高二年级期末考试理科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D A B B A C D C A A 13.a＜﹣2 或 a＞2 14. 15.4n﹣1 16.①③④ 17. 因为∃x0∈[﹣1，1]，满足 ，所以只须 ； ∵ ，∴x0=1 时， 的最大值为 3﹣a，∴3﹣a＞0， 所以命题 p：a＜3； 因为∀t∈（0，1），方程 都表示焦点在 y 轴上的椭圆，所以 t2 ﹣（2a+2）t+a2+2a+1＞1 即 t2﹣（2a+2）t+a2+2a=（t﹣a）（t﹣（a+2））＞0 对 t∈（0，1）恒成 立，只须 a+2≤0 或 a≥1，得 a≤﹣2 或 a≥1； 根据已知条件知，p 和 q 中一真一假： 若 p 真 q 假，得 ，即﹣2＜a＜1； 若 p 假 q 真，得 ，得 a≥3 综上所述，﹣2＜a＜1，或 a≥3； ∴a 的取值范围为（﹣2，1）∪[3，+∞）． 18. （Ⅱ ）平面 平面 ，易得平面 平面 ， 以 为原点， 为 x 轴， 为 y 轴， 为 z 轴建立空间直角坐标系， 则 ，设 ， ， ， 因为 与 所成角为 ，所以 ， 得 ， ， ， 设平面 的法向量 ，则 ，取 ， 面 的法向量 ，所以二面角 的余弦值 。 19. （1）16；（2） ；（3） 的分布列为： 0 1 2 3 ……………………………10 分 所以 ． （或 ，所以 ．）…………………12 分 20. （1）由题意可知：离心率 e= = ， 准线方程 x= = ， 解得：a=3，c=2， 由 b2=a2﹣c2=5， ∴求椭圆 C 的标准方程为 ； （2）由∠FPA 为直角， ∴以 AF 为直径的圆的与椭圆相交于 P 点，设 P（x，± ）， ∴圆心为 O（ ，0），半径为 ， ∴丨 PO 丨= ，即 = ，整理得：4x2﹣9x﹣9=0， 解得：x=﹣ 或 x=3（舍去）， ∴y=± =± ， ∴P 点坐标为： （3）设点 P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），点 ， ∵点 F，P，M 共线，x1≠﹣2， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵点 P 在椭圆 C 上， ∴ ， ∴ ， ∵﹣2＜x1＜3， ∴ ， 故 k1•k2 的取值范围为 21. (1)在盘山公路 C0C1 上任选一点 D，作 DE⊥平面 M 交平面 M 于 E，过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F，连结 DF， 易知 DF⊥C0F. sin∠DFE＝ ，sin∠DC0F＝ . ∵DF＝ C0D，DE＝ DF，∴DE＝ C0D， 所以盘山公路长度是山高的 10 倍，索道长是山高的 倍， 所以每修建盘山公路 1000 米，垂直高度升高 100 米. 从山脚至半山腰，盘山公路为 10km. 从半山腰至山顶，索道长 2.5km. 当 x∈(0,1)时，y′＜0，函数 y 单调递减；当 x∈(1,2)时，y′>0，函数 y 单调递增， ∴x＝1，y 有最小值， 即修建盘山公路至山高 1km 时，总造价最小，最小值为15a 万元. 22.（1）∵f（x）=lnx， ∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1， ∴ ． 当 x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增； 当 x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则 g（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴g（x）在 x=0 处取得最大值 g（0）=0． （2）∵对任意 x＞0，不等式 f（x）≤ax≤x2+1 恒成立， ∴ 在 x＞0 上恒成立， 进一步转化为 ， 设 h（x）= ，则 ， 当 x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当 x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0， ∴h（x） ． 要使 f（x）≤ax 恒成立，必须 a ． 另一方面，当 x＞0 时，x+ ， 要使 ax≤x2+1 恒成立，必须 a≤2， ∴满足条件的 a 的取值范围是[ ，2]． （3）当 x1＞x2＞0 时， ＞ 等价于 ． 令 t= ，设 u（t）=lnt﹣ ，t＞1 则 ＞0， ∴u（t）在（1，+∞）上单调递增， ∴u（t）＞u（1）=0， ∴ ＞ ．