高二数学人教选修1-2同步练习：综合检测（一）word版含解析
综合检测(一)
一、选择题
1． 在复平面内，复数 z＝ 1
2＋i
对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2． 观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，
猜想第 n(n∈N*)个等式应为 ( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－9
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
3． 已知复数 z＝ 3＋i
1－ 3i2
，则|z|等于 ( )
A．1
4 B．1
2 C．1 D．2
4． 数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于 ( )
A．28 B．32 C．33 D．27
5． 由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”
推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为 ( )
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
6． 已知 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不等于 ( )
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．f
nn＋1
2
C．n(n＋1)
D．n(n＋1)f(1)
7． 函数 f(x)在[－1,1]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式
正确的是 ( )
A．f(cos α)>f(sin β) B．f(sin α)>f(sin β)
C．f(cos α)
0，a＋c>0，b＋c>0，
则 f(a)＋f(b)＋f(c)的值 ( )
A．一定大于 0 B．一定等于 0
C．一定小于 0 D．正负都有可能
二、填空题
13．某工程由 A、B、C、D 四道工序组成，完成他们需用时间依次为 2,5，x,4 天，四道工序
的先后顺序及相互关系是：A、B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B、C 完成后，
D 可以开工．若该工程总时数为 9 天，则完成工序 C 需要的天数 x 最大是________．
14．如果 f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且 f(1)＝2，则f2
f1
＋f4
f3
＋f6
f5
＋…＋f2 012
f2 011
＋f2 014
f2 013
＝________.
15．若数列{an}是等比数列，且 an>0，则有数列 bn＝n a1a2…an(n∈N*)也是等比数列，类比
上述性质，相应地：若数列{cn}是等差数列，则有 dn＝________也是等差数列．
16．下列命题中，正确的是________．(填序号)
①a，b∈R 且“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i”为纯虚数的充要条件；
②当 z 是非零实数时，|z＋1
z|≥2 恒成立；
③复数的模都是正实数；
④当 z 是纯虚数时，z＋1
z
∈R.
三、解答题
17．m 取何实数值时，复数 z＝2m2－3m－2
m2－25
＋(m2＋3m－10)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
18．数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n＋2
n
Sn (n∈N*)，证明：
(1)数列
Sn
n 是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
19．用分析法证明：在△ABC 中，若 A＋B＝120°，则 a
b＋c
＋ b
a＋c
＝1.
20．通过随机询问 72 名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下 2×2
列联表：
女生 男生 总计
读营养说明 16 28 44
不读营养说明 20 8 28
总计 36 36 72
请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系？
21．已知函数 f(x)在 R 上是增函数，a，b∈R.
(1)求证：如果 a＋b≥0，那么 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．
答案
1．D 2．B 3．B 4．B 5．D 6．D 7．A 8．A 9．A 10．B 11．A 12．A 13．3
14．2 014
15.c1＋c2＋…＋cn
n
16．②
17．解 (1)当 m2＋3m－10＝0，
m2－25≠0
时，
得 m＝－5 或 m＝2，
m≠±5，
即 m＝2，
∴m＝2 时，z 是实数．
(2)当 m2＋3m－10≠0，
m2－25≠0
时，
得 m≠－5 且 m≠2，
m≠±5，
∴m≠±5 且 m≠2 时，z 是虚数．
(3)当
2m2－3m－2＝0，
m2＋3m－10≠0，
m2－25≠0
时，
得
m＝2 或 m＝－1
2
，
m≠－5 且 m≠2，
m≠±5，
即 m＝－1
2
，
∴m＝－1
2
时，z 是纯虚数．
18．证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2
n
Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴ Sn＋1
n＋1
＝2·Sn
n
，又S1
1
＝1≠0，(小前提)
故
Sn
n 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)由(1)可知 Sn＋1
n＋1
＝4· Sn－1
n－1
(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)· Sn－1
n－1
＝4·n－1＋2
n－1
·Sn－1＝4an (n≥2)(小前提)
又 a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意的正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
19．证明 要证 a
b＋c
＋ b
a＋c
＝1，只需证a2＋ac＋b2＋bc
ab＋bc＋ac＋c2
＝1，
即证 a2＋b2－c2＝ab，
而因为 A＋B＝120°，所以 C＝60°.
又 cos C＝a2＋b2－c2
2ab
，
所以 a2＋b2－c2＝2abcos 60°＝ab.
所以原式成立．
20．解 χ2＝72×16×8－28×202
44×28×36×36
≈8.416>6.635，
所以有 99%的把握认为性别和读营养说明之间有关系．
21．(1)证明 当 a＋b≥0 时，a≥－b 且 b≥－a，
因为 f(x)在 R 上是增函数，
所以 f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
故 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)解 (1)中命题的逆命题：
如果 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么 a＋b≥0，
此命题成立，用反证法证明如下：
假设 a＋b<0，则 a<－b，从而 f(a)
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