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高中数学常用公式及常用结论-大全
高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 Ux A x C A , Ux C A x A . 2.德摩根公式 ( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B . 3.包含关系 A B A A B B U UA B C B C A UA C B UC A B R 4.容斥原理 ( ) ( )card A B cardA cardB card A B ( ) ( )card A B C cardA cardB cardC card A B ( ) ( ) ( ) ( )card A B card B C card C A card A B C . 5．集合 1 2{ , , , }na a a 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个；非空子集有 2n –1 个；非空的真子集 有 2n –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2( ) ( 0)f x ax bx c a ; (2)顶点式 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a ; (3)零点式 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a . 7.解连不等式 ( )N f x M 常有以下转化形式 ( )N f x M [ ( ) ][ ( ) ] 0f x M f x N | ( ) | 2 2 M N M Nf x ( ) 0 ( ) f x N M f x 1 1 ( )f x N M N . 8.方程 0)( xf 在 ),( 21 kk 上有且只有一个实根,与 0)()( 21 kfkf 不等价,前者是后者的一个必要而不是 充分条件.特别地, 方程 )0(02 acbxax 有且只有一个实根在 ),( 21 kk 内,等价于 0)()( 21 kfkf ,或 0)( 1 kf 且 22 21 1 kk a bk ,或 0)( 2 kf 且 2 21 22 k a bkk . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 )0()( 2 acbxaxxf 在闭区间 qp, 上的最值只能在 a bx 2 处及区间的两端点处取得，具 体如下： (1)当 a>0 时，若 qp a bx , 2 ，则 min max max( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 2 bf x f f x f p f q a ； qp a bx , 2 ， max max( ) ( ), ( )f x f p f q ， min min( ) ( ), ( )f x f p f q . (2) 当 a<0 时 ， 若 qp a bx , 2 ， 则 min( ) min ( ), ( )f x f p f q ， 若 qp a bx , 2 ， 则 max( ) max ( ), ( )f x f p f q ， min( ) min ( ), ( )f x f p f q . 10.一元二次方程的实根分布 依据：若 ( ) ( ) 0f m f n ，则方程 0)( xf 在区间 ( , )m n 内至少有一个实根 . 设 qpxxxf 2)( ，则 （1）方程 0)( xf 在区间 ),( m 内有根的充要条件为 0)( mf 或 2 4 0 2 p q p m ；（2）方程 0)( xf 在 区间 ( , )m n 内有根的充要条件为 ( ) ( ) 0f m f n 或 2 ( ) 0 ( ) 0 4 0 2 f m f n p q pm n 或 ( ) 0 ( ) 0 f m af n 或 ( ) 0 ( ) 0 f n af m ； （3）方程 0)( xf 在区间 ( , )n 内有根的充要条件为 ( ) 0f m 或 2 4 0 2 p q p m . 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 ),( 的子区间 L （形如 , ， , ， , 不同）上含参数的二次不等式 ( , ) 0f x t ( t 为参数)恒成立的充要条件是 min( , ) 0( )f x t x L . (2)在给定区间 ),( 的子区间上含参数的二次不等式 ( , ) 0f x t ( t 为参数)恒成立的充要条件是 ( , ) 0( )manf x t x L . (3) 0)( 24 cbxaxxf 恒成立的充要条件是 0 0 0 a b c 或 2 0 4 0 a b ac . 12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（ 1n ）个 小于 不小于 至多有n 个 至少有（ 1n ）个 对所有 x ， 成立 存在某 x ， 不成立 p 或 q p 且 q 对任何 x ， 不成立 存在某 x ， 成立 p 且 q p 或 q 14.四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件 （1）充分条件：若 p q ，则 p 是 q 充分条件. （2）必要条件：若 q p ，则 p 是 q 必要条件. （3）充要条件：若 p q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 2121 ,, xxbaxx 那么 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x baxf xx xfxf ,)(0)()( 21 21 在 上是增函数； 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x baxf xx xfxf ,)(0)()( 21 21 在 上是减函数. (2)设函数 )(xfy 在某个区间内可导，如果 0)( xf ，则 )(xf 为增函数；如果 0)( xf ，则 )(xf 为减 函数. 17.如果函数 )(xf 和 )(xg 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 )()( xgxf 也是减函数; 如果函数 )(ufy 和 )(xgu 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 )]([ xgfy 是增函数. 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那 么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19. 若 函 数 )(xfy 是 偶 函 数 ， 则 )()( axfaxf ； 若 函 数 )( axfy 是 偶 函 数 ， 则 )()( axfaxf . 20.对于函数 )(xfy ( Rx ), )()( xbfaxf 恒成立,则函数 )(xf 的对称轴是函数 2 bax ;两 个函数 )( axfy 与 )( xbfy 的图象关于直线 2 bax 对称. 21.若 )()( axfxf ,则函数 )(xfy 的图象关于点 )0, 2 (a 对称; 若 )()( axfxf ,则函数 )(xfy 为周期为 a2 的周期函数. 22．多项式函数 1 1 0( ) n n n nP x a x a x a 的奇偶性 多项式函数 ( )P x 是奇函数 ( )P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 ( )P x 是偶函数 ( )P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 ( )y f x 的图象的对称性 (1)函数 ( )y f x 的图象关于直线 x a 对称 ( ) ( )f a x f a x (2 ) ( )f a x f x . (2)函数 ( )y f x 的图象关于直线 2 a bx 对称 ( ) ( )f a mx f b mx ( ) ( )f a b mx f mx . 24.两个函数图象的对称性 (1)函数 ( )y f x 与函数 ( )y f x 的图象关于直线 0x (即 y 轴)对称. (2)函数 ( )y f mx a 与函数 ( )y f b mx 的图象关于直线 2 a bx m 对称. (3)函数 )(xfy 和 )(1 xfy 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 )(xfy 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 baxfy )( 的图象；若将曲线 0),( yxf 的图象右移 a 、上移b 个单位，得到曲线 0),( byaxf 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系 abfbaf )()( 1 . 27.若函数 )( bkxfy 存在反函数,则其反函数为 ])([1 1 bxf k y ,并不是 )([ 1 bkxfy ,而函数 )([ 1 bkxfy 是 ])([1 bxf k y 的反函数. 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 ( )f x cx , ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c . (2)指数函数 ( ) xf x a , ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a . (3)对数函数 ( ) logaf x x , ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a . (4)幂函数 ( )f x x , '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f . (5)余弦函数 ( ) cosf x x ,正弦函数 ( ) sing x x ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y ， 0 ( )(0) 1, lim 1 x g xf x . 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) （1） )()( axfxf ，则 )(xf 的周期 T=a； （2） 0)()( axfxf ， 或 )0)(( )( 1)( xf xf axf ， 或 1( ) ( ) f x a f x ( ( ) 0)f x , 或 21 ( ) ( ) ( ), ( ( ) 0,1 ) 2 f x f x f x a f x ,则 )(xf 的周期 T=2a； (3) )0)(( )( 11)( xf axf xf ，则 )(xf 的周期 T=3a； (4) )()(1 )()()( 21 21 21 xfxf xfxfxxf 且 1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a ，则 )(xf 的周期 T=4a； (5) ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a ,则 )(xf 的周期 T=5a； (6) )()()( axfxfaxf ，则 )(xf 的周期 T=6a. 30.分数指数幂 (1) 1m n n m a a （ 0, ,a m n N ，且 1n ）. (2) 1m n m n a a （ 0, ,a m n N ，且 1n ）. 31．根式的性质 （1） ( )nn a a . （2）当 n 为奇数时， n na a ； 当 n 为偶数时， , 0 | | , 0 n n a a a a a a . 32．有理指数幂的运算性质 (1) ( 0, , )r s r sa a a a r s Q . (2) ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q . (3) ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q . 注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数 幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N ( 0, 1, 0)a a N . 34.对数的换底公式 loglog log m a m NN a ( 0a ,且 1a , 0m ,且 1m , 0N ). 推论 log logm n aa nb b m ( 0a ,且 1a , , 0m n ,且 1m , 1n , 0N ). 35．对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1) log ( ) log loga a aMN M N ; (2) log log loga a a M M N N ; (3) log log ( )n a aM n M n R . 36.设函数 )0)((log)( 2 acbxaxxf m ,记 acb 42 .若 )(xf 的定义域为 R ,则 0a ，且 0 ; 若 )(xf 的值域为 R ,则 0a ，且 0 .对于 0a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若 0a , 0b , 0x , 1x a ,则函数 log ( )axy bx (1)当 a b 时,在 1(0, ) a 和 1( , ) a 上 log ( )axy bx 为增函数. ， (2)当 a b 时,在 1(0, ) a 和 1( , ) a 上 log ( )axy bx 为减函数. 推论:设 1n m ， 0p ， 0a ，且 1a ，则 （1） log ( ) logm p mn p n . （2） 2log log log 2a a a m nm n . 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有 (1 )xy N p . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 1 1 , 1 , 2n n n s n a s s n ( 数列{ }na 的前 n 项的和为 1 2n ns a a a ). 40.等差数列的通项公式 * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N ； 其前 n 项和公式为 1( ) 2 n n n a as 1 ( 1) 2 n nna d 2 1 1( ) 2 2 d n a d n . 41.等比数列的通项公式 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n N q ； 其前 n 项的和公式为 1 1 (1 ) , 1 1 , 1 n n a q q s q na q 或 1 1 , 1 1 , 1 n n a a q q qs na q . 42.等比差数列 na : 1 1, ( 0)n na qa d a b q 的通项公式为 1 ( 1) , 1 ( ) , 1 1 n n n b n d q a bq d b q d q q ； 其前 n 项和公式为 ( 1) , ( 1) 1( ) , ( 1) 1 1 1 n n nb n n d q s d q db n q q q q . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 (1 ) (1 ) 1 n n ab bx b 元(贷款 a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若 (0, ) 2 x ，则 sin tanx x x . (2) 若 (0, ) 2 x ，则1 sin cos 2x x . (3) | sin | | cos | 1x x . 45.同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1 ， tan = cos sin ， tan 1cot . 46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 2 1 2 ( 1) sin , sin( ) 2 ( 1) s , n n n co 2 1 2 ( 1) s , s( ) 2 ( 1) sin , n n conco 47.和角与差角公式 sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ; tan tantan( ) 1 tan tan . 2 2sin( )sin( ) sin sin (平方正弦公式); 2 2cos( ) cos( ) cos sin . (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) sin cosa b = 2 2 sin( )a b (辅助角所在象限由点 ( , )a b 的象限决定, tan b a ). 48.二倍角公式 s in 2 s in co s . 2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin . 2 2 tantan 2 1 tan . 49. 三倍角公式 3sin 3 3sin 4sin 4sin sin( )sin( ) 3 3 . 3cos3 4cos 3cos 4cos cos( ) cos( ) 3 3 . 3 2 3tan tantan 3 tan tan( ) tan( ) 1 3tan 3 3 . 50.三角函数的周期公式 函数 sin( )y x ，x∈R及函数 cos( )y x ，x∈R(A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期 2T ； 函数 tan( )y x ， , 2 x k k Z (A,ω,为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期T . 51.正弦定理 2 sin sin sin a b c R A B C . 52.余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ; 2 2 2 2 cosb c a ca B ; 2 2 2 2 cosc a b ab C . 53.面积定理 （1） 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch （ a b ch h h、 、 分别表示 a、b、c 边上的高）. （2） 1 1 1sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B . (3) 2 21 (| | | |) ( ) 2OABS OA OB OA OB . 54.三角形内角和定理 在△ABC 中，有 ( )A B C C A B 2 2 2 C A B 2 2 2( )C A B . 55. 简单的三角方程的通解 sin ( 1) arcsin ( ,| | 1)kx a x k a k Z a . s 2 arccos ( ,| | 1)co x a x k a k Z a . tan arctan ( , )x a x k a k Z a R . 特别地,有 sin sin ( 1) ( )kk k Z . s cos 2 ( )co k k Z . tan tan ( )k k Z . 56.最简单的三角不等式及其解集 sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Z . sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Z . cos (| | 1) (2 arccos ,2 arccos ),x a a x k a k a k Z . cos (| | 1) (2 arccos ,2 2 arccos ),x a a x k a k a k Z . tan ( ) ( arctan , ), 2 x a a R x k a k k Z . tan ( ) ( , arctan ), 2 x a a R x k k a k Z . 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ 2，使得 a=λ1e1+λ2e2． 不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，且 b 0，则 a b(b 0) 1 2 2 1 0x y x y . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义 数量积 a·b等于 a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，则 a+b= 1 2 1 2( , )x x y y . (2)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，则 a-b= 1 2 1 2( , )x x y y . (3)设 A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y ,则 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y . (4)设 a= ( , ),x y R ，则 a= ( , )x y . (5)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，则 a·b= 1 2 1 2( )x x y y . 63.两向量的夹角公式 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y (a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ). 64.平面两点间的距离公式 ,A Bd = | |AB AB AB 2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y (A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y ). 65.向量的平行与垂直 设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，且 b 0，则 A||b b=λa 1 2 2 1 0x y x y . a b(a 0) a·b=0 1 2 1 2 0x x y y . 66.线段的定比分公式 设 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ， ( , )P x y 是线段 1 2PP 的分点,是实数，且 1 2PP PP ，则 1 2 1 2 1 1 x xx y yy 1 2 1 OP OPOP 1 2(1 )OP tOP t OP （ 1 1 t ）. 67.三角形的重心坐标公式 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 1 1A(x ,y )、 2 2B(x ,y ) 、 3 3C(x ,y ) , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是 1 2 3 1 2 3( , ) 3 3 x x x y y yG . 68.点的平移公式 ' ' ' ' x x h x x h y y k y y k ' 'OP OP PP . 注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 'F 上的对应点为 ' ' '( , )P x y ，且 'PP 的坐标为 ( , )h k . 69.“按向量平移”的几个结论 （1）点 ( , )P x y 按向量 a= ( , )h k 平移后得到点 ' ( , )P x h y k . (2) 函数 ( )y f x 的图象C 按向量 a= ( , )h k 平移后得到图象 'C ,则 'C 的函数解析式为 ( )y f x h k . (3) 图象 'C 按向量 a= ( , )h k 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 ( )y f x ,则 'C 的函数解析式为 ( )y f x h k . (4)曲线C : ( , ) 0f x y 按向量 a= ( , )h k 平移后得到图象 'C ,则 'C 的方程为 ( , ) 0f x h y k . (5) 向量 m= ( , )x y 按向量 a= ( , )h k 平移后得到的向量仍然为 m= ( , )x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为 ABC 所在平面上一点，角 , ,A B C 所对边长分别为 , ,a b c ，则 （1）O为 ABC 的外心 2 2 2 OA OB OC . （2）O为 ABC 的重心 0OA OB OC . （3）O为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . （4）O为 ABC 的内心 0aOA bOB cOC . （5）O为 ABC 的 A 的旁心 aOA bOB cOC . 71.常用不等式： （1） ,a b R 2 2 2a b ab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （2） ,a b R 2 a b ab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （3） 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c （4）柯西不等式 2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R （5） bababa . 72.极值定理 已知 yx, 都是正数，则有 （1）若积 xy 是定值 p ，则当 yx 时和 yx 有最小值 p2 ； （2）若和 yx 是定值 s ，则当 yx 时积 xy 有最大值 2 4 1 s . 推广 已知 Ryx , ，则有 xyyxyx 2)()( 22 （1）若积 xy 是定值,则当 || yx 最大时, || yx 最大； 当 || yx 最小时, || yx 最小. （2）若和 || yx 是定值,则当 || yx 最大时, || xy 最小； 当 || yx 最小时, || xy 最大. 73.一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c 或 2( 0, 4 0)a b ac ，如果 a 与 2ax bx c 同号，则其 解集在两根之外；如果 a 与 2ax bx c 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之 间. 1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x ； 1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x 或 . 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有 22x a x a a x a . 2 2x a x a x a 或 x a . 75.无理不等式 （1） ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x . （2） 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x f x g x g x g x f x g x 或 . （3） 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x . 76.指数不等式与对数不等式 (1)当 1a 时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x ; ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x . (2)当0 1a 时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x ; ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x 77.斜率公式 2 1 2 1 y yk x x （ 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ）. 78.直线的五种方程 （1）点斜式 1 1( )y y k x x (直线 l 过点 1 1 1( , )P x y ，且斜率为 k )． （2）斜截式 y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). （3）两点式 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x ( 1 2y y )( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ( 1 2x x )). (4)截距式 1x y a b ( a b、 分别为直线的横、纵截距， 0a b 、 ) （5）一般式 0Ax By C (其中 A、B不同时为 0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b ① 1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b ; ② 1 2 1 2 1l l k k . (2)若 1 1 1 1: 0l A x B y C , 2 2 2 2: 0l A x B y C ,且 A1、A2、B1、B2都不为零, ① 1 1 1 1 2 2 2 2 || A B Cl l A B C ； ② 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B ； 80.夹角公式 (1) 2 1 2 1 tan | | 1 k k k k . ( 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b , 1 2 1k k ) (2) 1 2 2 1 1 2 1 2 tan | |A B A B A A B B . ( 1 1 1 1: 0l A x B y C , 2 2 2 2: 0l A x B y C , 1 2 1 2 0A A B B ). 直线 1 2l l 时，直线 l1与 l2的夹角是 2 . 81. 1l 到 2l 的角公式 (1) 2 1 2 1 tan 1 k k k k . ( 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b , 1 2 1k k ) (2) 1 2 2 1 1 2 1 2 tan A B A B A A B B . ( 1 1 1 1: 0l A x B y C , 2 2 2 2: 0l A x B y C , 1 2 1 2 0A A B B ). 直线 1 2l l 时，直线 l1到 l2的角是 2 . 82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点 0 0 0( , )P x y 的直线系方程为 0 0( )y y k x x (除直线 0x x ),其中 k 是待定 的系数; 经过定点 0 0 0( , )P x y 的直线系方程为 0 0( ) ( ) 0A x x B y y ,其中 ,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线 1 1 1 1: 0l A x B y C , 2 2 2 2: 0l A x B y C 的交点的直线系方程为 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C (除 2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线 y kx b 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程．与直线 0Ax By C 平行的直线系方程是 0Ax By ( 0 )，λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线 0Ax By C (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 0Bx Ay ,λ 是参变量． 83.点到直线的距离 0 0 2 2 | |Ax By Cd A B (点 0 0( , )P x y ,直线 l ： 0Ax By C ). 84. 0Ax By C 或 0 所表示的平面区域 设直线 : 0l Ax By C ，则 0Ax By C 或 0 所表示的平面区域是： 若 0B ，当 B 与 Ax By C 同号时，表示直线 l 的上方的区域；当 B 与 Ax By C 异号时，表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 0B ，当 A与 Ax By C 同号时，表示直线 l 的右方的区域；当 A与 Ax By C 异号时，表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C 或 0 所表示的平面区域 设曲线 1 1 1 2 2 2: ( )( ) 0C A x B y C A x B y C （ 1 2 1 2 0A A B B ），则 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C 或 0 所表示的平面区域是： 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C 所表示的平面区域上下两部分； 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C 所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r . （2）圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F ( 2 2 4D E F ＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r . （4）圆的直径式方程 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y (圆的直径的端点是 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ). 87. 圆系方程 (1)过点 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 的圆系方程是 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x x 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by c ,其中 0ax by c 是直线 AB 的方程,λ是待定的 系数． (2) 过 直 线 l : 0Ax By C 与 圆 C : 2 2 0x y Dx Ey F 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By C ,λ是待定的系数． (3) 过圆 1C : 2 2 1 1 1 0x y D x E y F 与圆 2C : 2 2 2 2 2 0x y D x E y F 的交点的圆系方程是 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F ,λ是待定的系数． 88.点与圆的位置关系 点 0 0( , )P x y 与圆 222 )()( rbyax 的位置关系有三种 若 2 2 0 0( ) ( )d a x b y ，则 d r 点 P 在圆外; d r 点 P 在圆上; d r 点 P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线 0 CByAx 与圆 222 )()( rbyax 的位置关系有三种: 0 相离rd ; 0 相切rd ; 0 相交rd . 其中 22 BA CBbAa d . 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， dOO 21 条公切线外离 421 rrd ; 条公切线外切 321 rrd ; 条公切线相交 22121 rrdrr ; 条公切线内切 121 rrd ; 无公切线内含 210 rrd . 91.圆的切线方程 (1)已知圆 2 2 0x y Dx Ey F ． ①若已知切点 0 0( , )x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y yx x y y F . 当 0 0( , )x y 圆外时, 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y yx x y y F 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为 0 0( )y y k x x ，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不 要漏掉平行于 y 轴的切线． ③斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b ，再利用相切条件求 b，必有两条切线． (2)已知圆 2 2 2x y r ． ①过圆上的 0 0 0( , )P x y 点的切线方程为 2 0 0x x y y r ; ②斜率为 k 的圆的切线方程为 21y kx r k . 92.椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b 的参数方程是 cos sin x a y b . 93.椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b 焦半径公式 )( 2 1 c axePF ， )( 2 2 x c aePF . 94．椭圆的的内外部 （1）点 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b 的内部 2 2 0 0 2 2 1x y a b . （2）点 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b 的外部 2 2 0 0 2 2 1x y a b . 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b 上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b . （2）过椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b 外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的切点弦方程是 0 0 2 2 1x x y y a b . （3）椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b 与直线 0Ax By C 相切的条件是 2 2 2 2 2A a B b c . 96.双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b 的焦半径公式 2 1 | ( ) |aPF e x c ， 2 2 | ( ) |aPF e x c . 97.双曲线的内外部 (1)点 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b 的内部 2 2 0 0 2 2 1x y a b . (2)点 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b 的外部 2 2 0 0 2 2 1x y a b . 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 12 2 2 2 b y a x 渐近线方程： 2 2 2 2 0x y a b x a by . (2)若渐近线方程为 x a by 0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x . (3)若双曲线与 12 2 2 2 b y a x 有公共渐近线，可设为 2 2 2 2 b y a x （ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上）. 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b 上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b . （2）过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b 外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的切点弦方程是 0 0 2 2 1x x y y a b . （3）双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b 与直线 0Ax By C 相切的条件是 2 2 2 2 2A a B b c . 100. 抛物线 pxy 22 的焦半径公式 抛物线 2 2 ( 0)y px p 焦半径 0 2 pCF x . 过焦点弦长 pxxpxpxCD 2121 22 . 101.抛物线 pxy 22 上的动点可设为 P ), 2 ( 2 y p y 或 或)2,2( 2 ptptP P ( , )x y ，其中 2 2y px . 102.二次函数 2 2 2 4( ) 2 4 b ac by ax bx c a x a a ( 0)a 的图象是抛物线：（ 1）顶点坐标为 24( , ) 2 4 b ac b a a ；（2）焦点的坐标为 24 1( , ) 2 4 b ac b a a ；（3）准线方程是 24 1 4 ac by a . 103.抛物线的内外部 (1)点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p 的内部 2 2 ( 0)y px p . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p 的外部 2 2 ( 0)y px p . (2)点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p 的内部 2 2 ( 0)y px p . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p 的外部 2 2 ( 0)y px p . (3)点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p 的内部 2 2 ( 0)x py p . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p 的外部 2 2 ( 0)x py p . (4) 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p 的内部 2 2 ( 0)x py p . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p 的外部 2 2 ( 0)x py p . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 pxy 22 上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0( )y y p x x . （2）过抛物线 pxy 22 外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的切点弦方程是 0 0( )y y p x x . （3）抛物线 2 2 ( 0)y px p 与直线 0Ax By C 相切的条件是 2 2pB AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 1( , ) 0f x y , 2 ( , ) 0f x y 的交点的曲线系方程是 1 2( , ) ( , ) 0f x y f x y (为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 2 2 2 2 1x y a k b k ,其中 2 2max{ , }k a b .当 2 2min{ , }k a b 时,表示椭 圆; 当 2 2 2 2min{ , } max{ , }a b k a b 时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y 或 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 tAB k x x x x y y co （弦端点 A ),(),,( 2211 yxByx ，由 方程 0)y,x(F bkxy 消去 y 得到 02 cbxax ， 0 ,为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线 ( , ) 0F x y 关于点 0 0( , )P x y 成中心对称的曲线是 0 0(2 - , 2 ) 0F x x y y . （2）曲线 ( , ) 0F x y 关于直线 0Ax By C 成轴对称的曲线是 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( )( , ) 0A Ax By C B Ax By CF x y A B A B . 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F ，用 0x x 代 2x ，用 0y y 代 2y ，用 0 0 2 x y xy 代 xy ， 用 0 2 x x 代 x ，用 0 2 y y 代 y 即得方程 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是 此方程得到. 109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a． (2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点 的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使 a=λb． P A B、 、 三点共线 ||AP AB AP t AB (1 )OP t OA tOB . ||AB CD AB 、CD 共线且 AB CD、 不共线 AB tCD 且 AB CD、 不共线. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的存在实数对 ,x y ,使 p ax by ． 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对 ,x y ,使 MP xMA yMB ， 或对空间任一定点 O，有序实数对 ,x y ，使OP OM xMA yMB . 119.对空间任一点O和不共线的三点 A、B、C，满足OP xOA yOB zOC （ x y z k ），则当 1k 时，对于空间任一点O ，总有 P、A、B、C 四点共面；当 1k 时，若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面； 若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面． C A B、 、 、D 四点共面 AD 与 AB 、 AC 共面 AD xAB y AC (1 )OD x y OA xOB yOC （O平面 ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p＝xa＋ yb＋zc． 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使 OP xOA yOB zOC . 121.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ，e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 'A ，作 B 点在 l 上的射影 'B ， 则 ' ' | | cosA B AB 〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设 a＝ 1 2 3( , , )a a a ，b＝ 1 2 3( , , )b b b 则 (1)a＋b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b ； (2)a－b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b ； (3)λa＝ 1 2 3( , , )a a a (λ∈R)； (4)a·b＝ 1 1 2 2 3 3a b a b a b ； 123.设 A 1 1 1( , , )x y z ，B 2 2 2( , , )x y z ，则 AB OB OA = 2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z . 124．空间的线线平行或垂直 设 1 1 1( , , )a x y z r ， 2 2 2( , , )b x y z r ，则 a b r r P ( 0)a b b r r r r 1 2 1 2 1 2 x x y y z z ； a b r r 0a b r r 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z . 125.夹角公式 设 a＝ 1 2 3( , , )a a a ，b＝ 1 2 3( , , )b b b ，则 cos〈a，b〉= 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b . 推论 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )( )a b a b a b a a a b b b ，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD中, AC 与 BD所成的角为 ,则 2 2 2 2| ( ) ( ) |cos 2 AB CD BC DA AC BD . 127．异面直线所成角 cos | cos , |a b r r = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | || | | | | | x x y y z za b a b x y z x y z r r r r （其中 （0 90 o o ）为异面直线 a b, 所成角， ,a b r r 分别表示异面直线 a b, 的方向向量） 128.直线 AB 与平面所成角 sin | || | AB marc AB m (m 为平面的法向量). 129.若 ABC 所在平面若 与过若 AB 的平面 成的角 ,另两边 AC , BC 与平面 成的角分别是 1 、 2 , A B、 为 ABC 的两个内角，则 2 2 2 2 2 1 2sin sin (sin sin )sinA B . 特别地,当 90ACB 时,有 2 2 2 1 2sin sin sin . 130.若 ABC 所在平面若 与过若 AB 的平面 成的角 ,另两边 AC , BC 与平面 成的角分别是 1 、 2 , ' 'A B、 为 ABO 的两个内角，则 2 2 2 ' 2 ' 2 1 2tan tan (sin sin ) tanA B . 特别地,当 90AOB 时,有 2 2 2 1 2sin sin sin . 131.二面角 l 的平面角 cos | || | m narc m n 或 cos | || | m narc m n （m ， n 为平面， 的法向量）. 132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线，且 BC⊥AC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 1 ，AB 与 AC 所成的角为 2 ， AO 与 AC 所成的角为 ．则 1 2cos cos cos . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1 , 2 ,与二面角的棱所成的角是 θ，则有 2 2 2 2 1 2 1 2sin sin sin sin 2sin sin cos ; 1 2 1 2| | 180 ( ) (当且仅当 90 时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若 A 1 1 1( , , )x y z ，B 2 2 2( , , )x y z ，则 ,A Bd = | |AB AB AB 2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z . 135.点Q到直线 l 距离 2 21 (| || |) ( ) | | h a b a b a (点 P 在直线 l 上，直线 l 的方向向量 a= PA ，向量 b= PQ ). 136.异面直线间的距离 | | | | CD nd n ( 1 2,l l 是两异面直线，其公垂向量为 n ，C D、 分别是 1 2,l l 上任一点， d 为 1 2,l l 间的距离). 137.点 B 到平面的距离 | | | | AB nd n （ n 为平面的法向量， AB 是经过面的一条斜线， A ）. 138.异面直线上两点距离公式 2 2 2 2 cosd h m n mn . 2 2 2 '2 cos ,d h m n mn EA AF . 2 2 2 2 cosd h m n mn （ 'E AA F ）. (两条异面直线 a、b 所成的角为θ，其公垂线段 'AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F， 'A E m , AF n , EF d ). 139.三个向量和的平方公式 2 2 22( ) 2 2 2a b c a b c a b b c c a 2 2 2 2 | | | | cos , 2 | | | | cos , 2 | | | | cos ,a b c a b a b b c b c c a c a 140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 1 2 3l l l、 、 ，夹角分别为 1 2 3 、 、 ,则 有 2 2 2 2 1 2 3l l l l 2 2 2 1 2 3cos cos cos 1 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2 . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理 ' cos SS . (平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 'S ，它们所在平面所成锐二面角的为 ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S 斜棱柱侧 和V 斜棱柱 ,它的直截面的周长和面积分别是 1c 和 1S , 则 ① 1S c l 斜棱柱侧 . ② 1V S l 斜棱柱 . 143．作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截 面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于 对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式) 2V F E (简单多面体的顶点数 V、棱数 E和面数 F). （1） E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形，则面数 F 与棱数 E 的关系： 1 2 E nF ； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数 V 与棱数 E 的关系： 1 2 E mV . 146.球的半径是 R，则 其体积 34 3 V R , 其表面积 24S R ． 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球 的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 6 12 a ,外接球的半径为 6 4 a . 148．柱体、锥体的体积 1 3 V Sh柱体 （ S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高）. 1 3 V Sh锥体 （ S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高）. 149.分类计数原理（加法原理） 1 2 nN m m m . 150.分步计数原理（乘法原理） 1 2 nN m m m . 151.排列数公式 m nA = )1()1( mnnn = ！ ！ )( mn n .(n ，m ∈N * ，且m n )． 注:规定 1!0 . 152.排列恒等式 (1） 1( 1)m m n nA n m A ; （2） 1 m m n n nA A n m ; （3） 1 1 m m n nA nA ; （4） 1 1 n n n n n nnA A A ; （5） 1 1 m m m n n nA A mA . (6) 1! 2 2! 3 3! ! ( 1)! 1n n n . 153.组合数公式 m nC = m n m m A A = m mnnn 21 )1()1( = ！！ ！ )( mnm n ( n ∈N * ，m N ，且m n ). 154.组合数的两个性质 (1) m nC = mn nC ; (2) m nC + 1m nC = m nC 1 . 注:规定 10 nC . 155.组合恒等式 （1） 11m m n n n mC C m ; （2） 1 m m n n nC C n m ; （3） 1 1 m m n n nC C m ; （4） n r r nC 0 = n2 ; （5） 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC . (6) nn n r nnnn CCCCC 2210 . (7) 1420531 2 n nnnnnn CCCCCC . (8) 1321 232 nn nnnn nnCCCC . (9) r nm r n r mn r mn r m CCCCCCC 0110 . (10) n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )()()()( . 156.排列数与组合数的关系 m m n nA m C ！ . 157．单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有 1 1 m nA 种；②某（特）元不在某位有 1 1 m n m n AA （补集思想） 1 1 1 1 m nn AA （着眼位 置） 1 1 1 11 m nm m n AAA （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴： )( nmkk 个元在固定位的排列有 km kn k k AA 种. ②浮动紧贴： n 个元素的全排列把 k个元排在一起的排法有 k k kn kn AA 1 1 种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有 k、h 个（ 1 hk ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所 有排列数有 k h h h AA 1 种. （3）两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当 1 mn 时，无解；当 1 mn 时，有 n mn n n m C A A 1 1 种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有 m个和 n个，各组元素分别相同的排列数为 n nmC . 158．分配问题 （1） (平均分组有归属问题 )将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人，各得 n 件，其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn n mnCCCCCN )!( )!( 22 . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m · n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCCN )!(! )!( ! ... 22 . （3）(非平均分组有归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得 到 1n ， 2n ， … ， mn 件 ， 且 1n ， 2n ， … ， mn 这 m 个 数 彼 此 不 相 等 ， 则 其 分 配 方 法 数 共 有 !!...! !!!... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mpmCCCN m m . （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分 别得到 1n ， 2n ，…， mn 件，且 1n ， 2n ，…， mn 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等，则其分配方法数有 !...!! !...2 1 1 cba mCCC N m m n n n np n p 1 2 ! ! ! !... !( ! ! !...)m p m n n n a b c . （5）(非平均分组无归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分为任意的 1n ， 2n ，…， mn 件无记号 的m 堆，且 1n ， 2n ，…， mn 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有 !!...! ! 21 mnnn pN . （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分为任意的 1n ， 2n ，…， mn 件无 记号的 m 堆，且 1n ， 2n ，…， mn 这 m 个数中分别有 a、 b、 c、…个相等，则其分配方法数有 !...)!!(!!...! ! 21 cbannn pN m . （7）(限定分组有归属问题)将相异的 p （ 2 mp n n n 1+ + + ）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物 体必须被分完，如果指定甲得 1n 件，乙得 2n 件，丙得 3n 件，…时，则无论 1n ， 2n ，…， mn 等m 个数是否全相 异或不全相异其分配方法数恒有 !!...! !... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn pCCCN m m . 159．“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为 1 1 1 1( ) ![ ( 1) ] 2! 3! 4! ! nf n n n . 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为 1 2 3 4( , ) ! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)! ( 1) ( )! ( 1) ( )! m m m m p p m m m m f n m n C n C n C n C n C n p C n m 1 2 3 4 1 2 2 4![1 ( 1) ( 1) ] p m p mm m m m m m p m n n n n n n C C C C C Cn A A A A A A . 160．不定方程 2 nx x x m1+ + + 的解的个数 (1)方程 2 nx x x m1+ + + （ ,n m N ）的正整数解有 1 1 m nC 个. (2) 方程 2 nx x x m1+ + + （ ,n m N ）的非负整数解有 1 1 n m nC 个. (3) 方程 2 nx x x m1+ + + （ ,n m N ）满足条件 ix k ( k N , 2 1i n )的非负整数解有 1 1 ( 2)( 1)m n n kC 个. (4) 方程 2 nx x x m1+ + + （ ,n m N ）满足条件 ix k ( k N , 2 1i n )的正整数解有 1 2 2 2 2 3 2 1 ( 2) 1 1 1 2 1 2 2 1( 1) n m n m n k n m n k n m n k n n n n n nC C C C C C C 个. 161.二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110)( ; 二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT 1 )210( nr ，，， . 162.等可能性事件的概率 ( ) mP A n . 163.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 ( ) (1 ) .k k n k n nP k C P P 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1） 0( 1,2, )iP i ; （2） 1 2 1P P . 169.数学期望 1 1 2 2 n nE x P x P x P 170.数学期望的性质 （1） ( ) ( )E a b aE b . （2）若 ～ ( , )B n p ,则 E np . (3) 若 服从几何分布,且 1( ) ( , ) kP k g k p q p ，则 1E p . 171.方差 2 2 2 1 1 2 2 n nD x E p x E p x E p 172.标准差 = D . 173.方差的性质 (1) 2D a b a D ； (2）若 ～ ( , )B n p ，则 (1 )D np p . (3) 若 服从几何分布,且 1( ) ( , ) kP k g k p q p ，则 2 qD p . 174.方差与期望的关系 22D E E . 175.正态分布密度函数 2 2261 , , 2 6 x f x e x ，式中的实数μ， （ >0）是参数，分别表示个体的平均数与标 准差. 176.标准正态分布密度函数 2 21 , , 2 6 x f x e x . 177.对于 2( , )N ，取值小于 x 的概率 xF x . 12201 xxPxxPxxxP 2 1F x F x 2 1x x . 178.回归直线方程 y a bx ，其中 1 1 2 2 2 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx . 179.相关系数 1 2 2 1 1 ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y 1 2 2 2 2 1 1 ( )( ) n i i i n n i i i i x x y y x nx y ny . |r|≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限 （1） 0 | | 1 lim 1 1 | | 1 1 n n q q q q q 不存在 或 . （2） 1 1 0 1 1 0 0 ( ) lim ( ) ( ) k k k k t t tn t t k k t a n a n a a k t b n b n b b k t 不存在 . （3） 1 1 1 lim 1 1 n n a q aS q q （ S 无穷等比数列 1 1 na q ( | | 1q )的和）. 181. 函数的极限定理 0 lim ( ) x x f x a 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x a . 182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x)，g(x)，h(x)在点 x0的附近满足： （1） ( ) ( ) ( )g x f x h x ; （2） 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x g x a h x a （常数）, 则 0 lim ( ) x x f x a . 本定理对于单侧极限和 x 的情况仍然成立. 183.几个常用极限 （1） 1lim 0 n n ， lim 0n n a （ | | 1a ）； （2） 0 0lim x x x x ， 0 0 1 1lim x x x x . 184.两个重要的极限 （1） 0 sinlim 1 x x x ； （2） 1lim 1 x x e x (e=2.718281845…). 185.函数极限的四则运算法则 若 0 lim ( ) x x f x a ， 0 lim ( ) x x g x b ，则 (1) 0 lim x x f x g x a b ； (2) 0 lim x x f x g x a b ; (3) 0 lim 0 x x f x a b g x b . 186.数列极限的四则运算法则 若 lim , limn nn n a a b b ，则 (1) lim n nn a b a b ； (2) lim n nn a b a b ； (3) lim 0n n n a a b b b (4) lim lim limn nn n n c a c a c a ( c是常数). 187. )(xf 在 0x 处的导数（或变化率或微商） 0 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim limx x x x f x x f xyf x y x x . 188.瞬时速度 0 0 ( ) ( )( ) lim lim t t s s t t s ts t t t . 189.瞬时加速度 0 0 ( ) ( )( ) lim lim t t v v t t v ta v t t t . 190. )(xf 在 ),( ba 的导数 ( ) dy dff x y dx dx 0 0 ( ) ( )lim lim x x y f x x f x x x . 191. 函数 )(xfy 在点 0x 处的导数的几何意义 函数 )(xfy 在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy 在 ))(,( 00 xfxP 处的切线的斜率 )( 0xf ，相应的切线方程 是 ))(( 000 xxxfyy . 192.几种常见函数的导数 (1) 0C （C 为常数）. (2) ' 1( ) ( )n nx nx n Q . (3) xx cos)(sin . (4) xx sin)(cos . (5) x x 1)(ln ； e a x x a log1)(log . (6) xx ee )( ; aaa xx ln)( . 193.导数的运算法则 （1） ' ' '( )u v u v . （2） ' ' '( )uv u v uv . （3） ' ' ' 2( ) ( 0)u u v uv v v v . 194.复合函数的求导法则 设函数 ( )u x 在点 x 处有导数 ' ' ( )xu x ，函数 )(ufy 在点 x 处的对应点 U 处有导数 ' ' ( )uy f u ，则 复合函数 ( ( ))y f x 在点 x 处有导数，且 ' ' ' x u xy y u ，或写作 ' ' '( ( )) ( ) ( )xf x f u x . 195.常用的近似计算公式（当 x 充小时） (1) xx 2 111 ; x n xn 111 ； (2) (1 ) 1 ( )x x R ； x x 1 1 1 ； (3) xex 1 ； (4) xxln )1( ； (5) xx sin （ x 为弧度）； (6) xx tan （ x 为弧度）； (7) xx arctan （ x 为弧度） 196.判别 )( 0xf 是极大（小）值的方法 当函数 )(xf 在点 0x 处连续时， （1）如果在 0x 附近的左侧 0)( xf ，右侧 0)( xf ，则 )( 0xf 是极大值； （2）如果在 0x 附近的左侧 0)( xf ，右侧 0)( xf ，则 )( 0xf 是极小值. 197.复数的相等 ,a bi c di a c b d .（ , , ,a b c d R ） 198.复数 z a bi 的模（或绝对值） | |z = | |a bi = 2 2a b . 199.复数的四则运算法则 (1) ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i ; (2) ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i ; (3) ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd bc ad i ; (4) 2 2 2 2( ) ( ) ( 0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d . 200.复数的乘法的运算律 对于任何 1 2 3, ,z z z C ，有 交换律: 1 2 2 1z z z z . 结合律: 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z . 分配律: 1 2 3 1 2 1 3( )z z z z z z z . 201.复平面上的两点间的距离公式 2 2 1 2 2 1 2 1| | ( ) ( )d z z x x y y （ 1 1 1z x y i ， 2 2 2z x y i ）. 202.向量的垂直 非零复数 1z a bi ， 2z c di 对应的向量分别是 1OZ ， 2OZ ，则 1 2OZ OZ 1 2z z 的实部为零 2 1 z z 为纯虚数 2 2 2 1 2 1 2| | | | | |z z z z 2 2 2 1 2 1 2| | | | | |z z z z 1 2 1 2| | | |z z z z 0ac bd 1 2z iz (λ为非零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 2 0ax bx c ， ①若 2 4 0b ac ,则 2 1,2 4 2 b b acx a ; ②若 2 4 0b ac ,则 1 2 2 bx x a ; ③若 2 4 0b ac ，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根 2 2( 4 ) ( 4 0) 2 b b ac i x b ac a . 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合 ， ， ， 、 、A x y x B y y x C x y y x A B C | lg | lg ( , )| lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 ，A x x x B x ax | |2 2 3 0 1 若 ，则实数 的值构成的集合为B A a （答： ， ， ） 1 0 1 3 3. 注意下列性质： （ ）集合 ， ，……， 的所有子集的个数是 ；1 21 2a a an n （ ）若 ， ；2 A B A B A A B B （3）德摩根定律： C C C C C CU U U U U UA B A B A B A B ， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于 的不等式 的解集为 ，若 且 ，求实数x ax x a M M M a 5 0 3 52 的取值范围。 （∵ ，∴ · ∵ ，∴ · ， ， ） 3 3 5 3 0 5 5 5 5 0 1 5 3 9 25 2 2 M a a M a a a 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” ，“且” 和( ) ( ) “非”( ). 若 为真，当且仅当 、 均为真p q p q 若 为真，当且仅当 、 至少有一个为真p q p q 若 为真，当且仅当 为假p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射 f：A→B，是否注意到 A中元素的任意性和 B中与之对应元素的唯一性，哪几 种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数 的定义域是y x x x 4 3 2lg （答： ， ， ， ）0 2 2 3 3 4 10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数 的定义域是 ， ， ，则函数 的定f x a b b a F(x f x f x( ) ) ( ) ( ) 0 义域是_____________。 （答： ， ）a a 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如： ，求f x e x f xx 1 ( ). 令 ，则t x t 1 0 ∴x t 2 1 ∴f t e tt( ) 2 1 2 1 ∴f x e x xx( ) 2 1 2 1 0 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解 x；②互换 x、y；③注明定义域） 如：求函数 的反函数f x x x x x ( ) 1 0 02 （答： ）f x x x x x 1 1 1 0 ( ) 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线 y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； ③设 的定义域为 ，值域为 ， ， ，则y f(x) A C a A b C f(a) = b f 1 ( )b a f f a f b a f f b f a b1 1 1( ) ( ) ( ) ( )， 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ （ ， ，则 （外层） （内层） y f u u x y f x ( ) ( ) ( ) 当内、外层函数单调性相同时 为增函数，否则 为减函数。）f x f x ( ) ( ) 如：求 的单调区间y x x log 1 2 2 2 （设 ，由 则u x x u x 2 2 0 0 2 且 ， ，如图：log 1 2 21 1u u x u O 1 2 x 当 ， 时， ，又 ，∴x u u y ( ] log0 1 1 2 当 ， 时， ，又 ，∴x u u y [ ) log1 2 1 2 ∴……） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间 ， 内，若总有 则 为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x' ( ) ( ) 0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若 呢？f x'( ) 0 如：已知 ，函数 在 ， 上是单调增函数，则 的最大a f x x ax a 0 13( ) 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令f x x a x a x a' ( ) 3 3 3 3 02 则 或x a x a 3 3 由已知 在 ， 上为增函数，则 ，即f x a a( ) [ )1 3 1 3 ∴a的最大值为 3） 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若 总成立 为奇函数 函数图象关于原点对称f x f x f x( ) ( ) ( ) 若 总成立 为偶函数 函数图象关于 轴对称f x f x f x y( ) ( ) ( ) 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的 乘积是奇函数。 （ ）若 是奇函数且定义域中有原点，则 。2 f(x) f(0) 0 如：若 · 为奇函数，则实数f x a a a x x( ) 2 2 2 1 （∵ 为奇函数， ，又 ，∴f x x R R f( ) ( ) 0 0 0 即 · ，∴ ） a a a2 2 2 1 0 1 0 0 又如： 为定义在 ， 上的奇函数，当 ， 时， ，f x x f x x x( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 2 4 1 求 在 ， 上的解析式。f x( ) 1 1 （令 ， ，则 ， ，x x f x x x 1 0 0 1 2 4 1 ( ) 又 为奇函数，∴f x f x x x x x( ) ( ) 2 4 1 2 1 4 又 ，∴ ， ， ）f f x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) 0 0 2 4 1 1 0 0 2 4 1 0 1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？ （若存在实数 （ ），在定义域内总有 ，则 为周期T T f x T f x f x 0 ( ) ( ) 函数，T是一个周期。） 如：若 ，则f x a f x ( ) （答： 是周期函数， 为 的一个周期）f x T a f x( ) ( ) 2 又如：若 图象有两条对称轴 ，f x x a x b( ) 即 ，f a x f a x f b x f b x( ) ( ) ( ) ( ) 则 是周期函数， 为一个周期f x a b( ) 2 如： 18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f x f x y( ) ( )与 的图象关于 轴 对称 f x f x x( ) ( )与 的图象关于 轴 对称 f x f x( ) ( )与 的图象关于 原点 对称 f x f x y x( ) ( )与 的图象关于 直线 对称 1 f x f a x x a( ) ( )与 的图象关于 直线 对称2 f x f a x a( ) ( ) ( )与 的图象关于 点 ， 对称 2 0 将 图象 左移 个单位 右移 个单位 y f x a a a a y f x a y f x a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 上移 个单位 下移 个单位 b b b b y f x a b y f x a b ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 注意如下“翻折”变换： f x f x f x f x ( ) ( ) ( ) (| |) 如：f x x( ) log 2 1 作出 及 的图象y x y x log log2 21 1 y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a （ ）一次函数：1 0y kx b k （ ）反比例函数： 推广为 是中心 ，2 0 0y k x k y b k x a k O a b ' ( ) 的双曲线。 （ ）二次函数 图象为抛物线3 0 2 4 4 2 2 2 y ax bx c a a x b a ac b a 顶点坐标为 ， ，对称轴 b a ac b a x b a2 4 4 2 2 开口方向： ，向上，函数a y ac b a 0 4 4 2 min a y ac b a 0 4 4 2 ，向下， max 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ax bx c x x y ax bx c x2 1 2 20 0 ， 时，两根 、 为二次函数 的图象与 轴 的两个交点，也是二次不等式 解集的端点值。ax bx c2 0 0 ( ) ②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。 如：二次方程 的两根都大于ax bx c k b a k f k 2 0 0 2 0 ( ) y (a>0) O k x1 x2 x 一根大于 ，一根小于k k f k ( ) 0 （ ）指数函数： ，4 0 1y a a ax （ ）对数函数 ，5 0 1y x a aa log 由图象记性质！ （注意底数的限定！） y y=ax(a>1) (0查看更多