人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业十二

人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业十二

课时提升作业 十二 数学归纳法 基础过关 一、选择题(每小题 6 分,共 18 分) 1.设 f(n)= + + +…+ (n∈N+),在利用数学归纳法证明时,从 n=k 到 n=k+1 需添的项为( ) A. B. C. + D. - 【解析】选 D.因为 f(k)= + +…+ 所以 f(k+1)= + +…+ + + 故需添的项为 + - = - . 【误区警示】本题易错选 C.忽略了 n=k+1 时少了一项 . 【拓展延伸】数学归纳法解决项数问题 数学归纳法证明中的项数问题,重点看从 n=k 到 n=k+1 时项数的变化规律,多了 哪些项,少了哪些项,把握好项的规律,利用数列知识解决. 2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,第二步归纳假设 应写成 ( ) A.假设 n=2k+1(k∈N+)正确,再推 n=2k+3 正确 B.假设 n=2k-1(k∈N+)正确,再推 n=2k+1 正确 C.假设 n=k(k∈N+)正确,再推 n=k+1 正确 D.假设 n=k(k≥1)正确,再推 n=k+2 正确 【解析】选 B.首先要注意 n 为奇数,其次还要使 n=2k-1 能取到 1. 3.设平面内有 k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条直线的交 点个数为 f(k),则 f(k+1)与 f(k)的关系是 ( ) A.f(k+1)=f(k)+k+1 B.f(k+1)=f(k)+k-1 C.f(k+1)=f(k)+k D.f(k+1)=f(k)+k+2 【解析】选 C.当 n=k+1 时,任取其中 1 条直线,记为 l,则除 l 外的其他 k 条直线 的交点的个数为 f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线 l 必与平面内其 他 k 条直线都相交(有 k 个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上 面的 k 个交点两两不相同,且与平面内其他的 f(k)个交点也两两不相同,从而平 面内交点的个数是 f(k)+k=f(k+1). 二、填空题(每小题 6 分,共 12 分) 4.已知 a1= , = ,猜想 an=__________. 【解析】由 a1= , = ,得 a2= ,a3= ,a4= ,猜想得 an= . 答案: 5.用数学归纳法证明:“当 n 为正偶数时,xn-yn 能被 x+y 整除”时,第一步应验证 n=______时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成__________. 【解析】因为 n 为正偶数,第一步应验证 n=2 时,命题成立;第二步归纳假设成立 应写成“假设当 n=k(k 为偶数且 k≥2)时 xk-yk 能被 x+y 整除”. 答案:2 假设当 n=k(k 为偶数且 k≥2)时 xk-yk 能被 x+y 整除 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 6.用数学归纳法证明: 1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= (n∈N+). 【证明】(1)当 n=1 时,左边=1×2×3=6,右边= =6,等式成立. (2)假设当 n=k 时成立.即 1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2) = , 那么当 n=k+1 时,1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3) = +(k+1)(k+2)·(k+3)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4).即当 n=k+1 时等 式成立. 综合上述(1)(2)得,对一切正整数 n,等式都成立. 7.证明:凸 n 边形的对角线的条数为 f(n)= n(n-3)(n≥4,n∈N*). 【证明】(1)当 n=4 时,四边形有两条对角线,f(4)= ×4×(4-3)=2,命题成立. (2)假设当 n=k(k≥4,n∈N+)时命题成立,即 f(k)= k(k-3),那么,当 n=k+1 时,增 加一个顶点,凸多边形的对角线增加 k-1 条,则 f(k+1)= k(k-3)+k-1 = (k2-k-2)= (k+1)(k-2)= (k+1)[(k+1)-3],即当 n=k+1 时命题也成立. 根据(1)(2),可知命题对任意的 n≥4,n∈N+都成立. 8.用数学归纳法证明凸 n(n≥3,n∈N+)边形的内角和 f(n)=(n-2)π. 【证明】①三角形的内角和是π, 当 n=3 时,f(3)=π=(3-2)π,命题成立. ②假设 n=k(k≥3)时,命题成立,即 f(k)=(k-2)π成立. 当 n=k+1 时,设 A1,A2,…,Ak+1 是凸 k+1 边形的顶点,连结 A1Ak, 它把这个凸 k+1 边形分成凸 k 边形 A1A2…Ak 和三角形 AkAk+1A1,并且凸 k+1 边形的 内角和等于凸 k 边形与三角形的内角和的和,即(k-2)π+π=(k-1)π=[(k+1)-2] π,命题也是成立的. 据①②可知结论成立. 能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.某个命题与正整数 n 有关,若 n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立,现已知当 n=5 时该命题不成立,那么可推得 ( ) A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 【解析】选 C.因为若 n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也 成立,现已知当 n=5 时该命题不成立,无法向后递推;若当 n=4 时该命题成立,则 当 n=5 时该命题成立,与已知矛盾.所以当 n=4 时该命题不成立. 2.在数列{an}中,a1= -1,前 n 项和 Sn= -1,先算出数列的前 4 项的值,再 根据这些值归纳猜想数列的通项公式是( ) A.an= -1 B.an=n -1 C.an= - D.an= - 【解析】选 D.因为 a1= -1, S2= -1= -1, 所以 a2=( -1)-( -1)= - , 则 a3=S3-S2=( -1)-( -1) = - , a4=S4-S3=( -1)-( -1)= - , 故猜想 an= - . 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.观察下列等式: (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 … 照此规律,第 n 个等式可为________. 【解析】由已知得, 第 n 个等式左边为(n+1)(n+2)…(n+n), 右边为 2n×1×3×…×(2n-1). 所以第 n 个等式为(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1). 答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1) 4.用数学归纳法证明 + +…+ > - ,假设 n=k 时不等式成立,当 n=k+1 时, 应推证的目标不等式是________. 【解析】当 n=k+1 时,要证的不等式为 + +…+ > - ,即 + +… + > - . 答案: + +…+ > - 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.求证:对任意正整数 n,34n+2+52n+1 能被 14 整除. 【解题指南】证明一个与 n 有关的式子 f(n)能被一个数 a(或一个代数式 g(n)) 整除,主要是找到 f(k+1)与 f(k)的关系,设法找到式子 f1(k),f2(k),使得 f(k+1)=f(k)·f1(k)+a·f2(k),就可证得命题成立. 【证明】(1)当 n=1 时, 34n+2+52n+1=36+53=854=14×61, 能被 14 整除,命题成立; (2)假设当 n=k 时,命题成立,即 34k+2+52k+1 能被 14 整除,那么当 n=k+1 时, 34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+2×34+52k+1×52 =34k+2×34+52k+1×34-52k+1×34+52k+1×52 =34(34k+2+52k+1)-52k+1(34-52) =34(34k+2+52k+1)-56×52k+1, 因为 34k+2+52k+1 能被 14 整除,56 也能被 14 整除,所以 34(k+1)+2+52(k+1)+1 能被 14 整除, 故命题成立. 由(1)(2)知,命题对任意正整数 n 都成立. 6.已知集合 X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N+),设 Sn={(a,b)|a 整除 b 或 b 整 除 a,a∈X,b∈Yn},令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数. (1)写出 f(6)的值. (2)当 n≥6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明. 【解题指南】(1)根据题意按 a 分类计数:a=1,b=1,2,3,4,5,6;a=2, b=1,2,4,6;a=3,b=1,3,6,共 13 个. (2)由(1)知,a=1,b=1,2,3,…,n;a=2,b=1,2,4,6,…,2k; a=3,b=1,3,6,9,…,3k(k∈N+).所以当 n≥6 时,f(n)的表达式要按被 2×3=6 除的 余数进行分类,然后利用数学归纳法进行证明. 【解析】(1)f(6)=13. (2)当 n≥6 时, f(n)= (t∈N+) 下面用数学归纳法证明: ①当 n=6 时,f =6+2+ + =13,结论成立; ②假设 n=k(k≥6)时结论成立,那么 n=k+1 时,Sk+1 在 Sk 的基础上新增加的元素在 , , 中产生,分以下情况讨论: 1)若 k+1=6t,则 k=6(t-1)+5,此时有 f(k+1)=f(k)+3=k+2+ + +3 =(k+1)+2+ + ,结论成立. 2)若 k+1=6t+1,则 k=6t,此时有 f(k+1)=f(k)+1=k+2+ + +1 =(k+1)+2+ + ,结论成立. 3)若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2 =(k+1)+2+ + ,结论成立. 4)若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2 =(k+1)+2+ + ,结论成立. 5)若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2 =(k+1)+2+ + ,结论成立. 6)若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有 f(k+1)=f(k)+1=k+2+ + +1 =(k+1)+2+ + ,结论成立. 综上所述,结论对 n≥6 的自然数 n 均成立. 【补偿训练】已知数列{an}中,a1=- ,其前 n 项和 Sn 满足 an=Sn+ +2(n≥2),计算 S1,S2,S3,S4,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法加以证明. 【解析】当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=Sn+ +2. 所以 Sn=- (n≥2). 则有 S1=a1=- ,S2=- =- , S3=- =- ,S4=- =- .由此猜想:Sn=- (n∈N+). 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,S1=- =a1,猜想成立. ②假设 n=k(k∈N+)猜想成立,即 Sk=- 成立, 那么 n=k+1 时, Sk+1=- =- =- =- . 即 n=k+1 时,猜想成立. 由①②可知,对任意自然数 n,猜想结论均成立.