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文档介绍
高考卷 06普通高等学校招生全国统一数学考试（上海卷
2006 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有 22 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案 直接写在试卷上． 一．填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．已知集合 A＝{－1，3，2 m －1}，集合 B＝{3， 2m }．若 B A，则实数 m ＝ ． 2．已知圆 2x －4 x －4＋ 2y ＝0的圆心是点 P，则点P到直线 x － y －1＝0 的距离是 ． 3．若函数 )(xf ＝ xa （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则 a ＝ ． 4．计算： 1 lim 3 3 n Cn n ＝ ． 5．若复数 z 同时满足 z － z ＝2i ， z ＝ iz （i 为虚数单位），则 z ＝ ． 6．如果 cos ＝ 5 1 ，且 是第四象限的角，那么 )2cos( ＝ ． 7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭 圆的标准方程是 ． 8．在极坐标系中，O 是极点，设点 A（4， 3 ），B（5，－ 6 5 ），则△OAB 的面积是 ． 9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1 本，共 8 本．将它们任意地 排成一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一 个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数 是 ． 11．若曲线 2y ＝| x |＋1 与直线 y ＝ kx ＋ b 没有公共点，则 k 、 b 分别应满足的条件 是 ． 12．三个同学对问题“关于 x 的不等式 2x ＋25＋| 3x －5 2x |≥ ax 在[1，12]上恒成立，求实 数 a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 ． 二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分 16 分）须把正确结论的代号写在 题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆 括号内），一律得零分． 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A） AB ＝ DC ；（B） AD ＋ AB ＝ AC ； （C） AB － AD ＝ BD ；（D） AD ＋ CB ＝ 0 ． 14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上” 的 [答]（ ） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件． 15．若关于 x 的不等式 xk )1( 2 ≤ 4k ＋4的解集是M，则对任意实常数 k ，总有[答]（ ） （A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M． 16．如图，平面中两条直线 1l 和 2l 相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p 、 q 分别是 M 到直线 1l 和 2l 的距离，则称有序非负实数对（ p ，q ）是点 M 的“距离坐标”．已知常 数 p ≥0， q ≥0，给出下列命题： ①若 p ＝ q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有 1 个； ②若 pq ＝0，且 p ＋ q ≠0，则“距离坐标”为 （ p ， q ）的点有且仅有 2 个； ③若 pq ≠0，则“距离坐标”为（ p ， q ）的点有且仅有 4 个． 上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 三．解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分 12 分） 求函数 y ＝2 )4cos()4cos( xx ＋ x2sin3 的值域和最小正周期． [解] 18．（本题满分 12 分） 如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等 待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C 处的 乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1 ）？ A B CD 1l 2l O M（ p ， q ） [解] 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角线 AC 与 BD 相 交于点 O，PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ． （1）求四棱锥 P－ABCD 的体积； 北 20 10 A B • •C P A C D O E （2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）． [解]（1） （2） 20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在平面直角坐标系 x O y 中，直线l 与抛物线 2y ＝2 x 相交于 A、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点 T（3，0），那么 OA OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1） （2） 21．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 已知有穷数列{ na }共有 2 k 项（整数 k ≥2），首项 1a ＝2．设该数列的前 n 项和为 nS ， 且 1na ＝ nSa )1( ＋2（ n ＝1，2，┅，2 k －1），其中常数 a ＞1． （1）求证：数列{ na }是等比数列； （2）若 a ＝2 12 2 k ，数列{ nb }满足 nb ＝ )(log1 212 naaan （ n ＝1，2，┅，2 k ），求数 列{ nb }的通项公式； （3）若（2）中的数列{ nb }满足不等式| 1b － 2 3 |＋| 2b － 2 3 |＋┅＋| 12 kb － 2 3 |＋| kb2 － 2 3 | ≤4，求 k 的值． [解]（1） （2） （3） 22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分） 已知函数 y ＝ x ＋ x a 有如下性质：如果常数 a ＞0，那么该函数在 ( 0， a ]上是减函 数，在[ a ，＋∞ ) 上是增函数． （1）如果函数 y ＝ x ＋ x b2 （ x ＞0）的值域为[ 6，＋∞ ) ，求b 的值； （2）研究函数 y ＝ 2x ＋ 2x c （常数 c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数 y ＝ x ＋ x a 和 y ＝ 2x ＋ 2x a （常数 a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的 函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 )(xF ＝ n xx )1( 2 ＋ nx x )1( 2 （ n 是正整数）在区间[ 2 1 ，2]上的最大值和最小值（可利用你的 研究结论）． [解]（1） （2） （3） 上海数学(理工农医类)参考答案 2006 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有 22 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案 直接写在试卷上． 一．填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．） 1．已知集合 A＝{ －1，3，2 m －1}，集合 B＝{3， 2m }．若 B A，则实数 m ＝ ； 解：由 2 2 1 1m m m ，经检验， 1m 为所求； 2．已知圆 2x －4 x －4＋ 2y ＝0 的圆心是点P，则点P到直线 x － y －1＝0 的距离是 ； 解：由已知得圆心为： (2,0)P ，由点到直线距离公式得： |2 0 1| 2 21 1d ； 3．若函数 )(xf ＝ xa （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则 a ＝ ； 解：由互为反函数关系知， )(xf 过点 ( 1,2) ，代入得： 1 12 2a a ； 4．计算： 1 lim 3 3 n Cn n ＝ ； 解： 3 3 2 2 3 3 3 3 3 21( 1)( 2) 3 2 1lim lim lim lim 1 61 ( 1) 3! ( 1) 3! (1 ) 3! n n n n n C n n n nn n n n n n n n ； 5．若复数 z 同时满足 z － z ＝2i ， z ＝ iz （i 为虚数单位），则 z ＝ ； 解：已知 22 11 iZ iZ i Z ii ； 6．如果 cos ＝ 5 1 ，且 是第四象限的角，那么 )2cos( ＝ ； 解：已知 2 2 6cos( ) sin ( 1 cos )2 5 ； 7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭 圆的 标准方程是 ； 解：已知 2 222 2 2 2 4 2 , 2 3 16 116 4 ( 2 3,0) b a b c yxa a b c F 为所求； 8．在极坐标系中，O 是极点，设点 A（4， 3 ），B（5，－ 6 5 ），则△OAB 的面积是 ； 解：如图△OAB 中， 5 54, 5, 2 ( ( ))3 6 6OA OB AOB 1 54 5 sin 52 6AOBS (平方单位)； 9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1 本，共 8 本．将它们任意地 排成 一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）； 解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有 1 2 4C P 种方法； 2) 剩下的一套全排列，有 4P 种方法； 所以，所求概率为： 1 2 4 4 8 1 35 C P P P ； 10．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正 方体 中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ； 解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成 24 个“正交线面对”；而正 方 体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成 12 个“正 交线 面对”，所以共有 36 个“正交线面对”； 11．若曲线 2y ＝| x |＋1 与直线 y ＝ kx ＋ b 没有公共点，则 k 、 b 分别应满足的条件 是 ． 解：作出函数 2 1, 0| | 1 1, 0 x xy x x x 的图象， 如右图所示： 所以， 0, ( 1,1)k b ； 12．三个同学对问题“关于 x 的不等式 2x ＋25＋| 3x －5 2x |≥ ax 在[1，12]上恒成立，求实 数 a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围 是 ； 解：由 2x ＋25＋| 3x －5 2x |≥ 225,1 12 | 5 |ax x a x x xx ， 而 25 252 10x xx x ，等号当且仅当 5 [1,12]x 时成立； 且 2| 5 | 0x x ，等号当且仅当 5 [1,12]x 时成立； 所 以 ， 2 min 25[ | 5 |] 10a x x xx ， 等 号 当 且 仅 当 5 [1,12]x 时 成 立 ； 故 ( ,10]a ； 二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结 论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分 16 分）须把正确结论的代号写在 题 后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在 圆括 号内），一律得零分． 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A） AB DC ； （B） AD AB AC ； （C） AB AD BD ； （D） 0AD CB ； 解：由向量定义易得， （C）选项错误； AB AD DB ； 14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上” 的 [答]（ ） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条 件； 解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况： 1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”； 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面 内”； 必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线 上”； 故选（A） 15．若关于 x 的不等式 xk )1( 2 ≤ 4k ＋4的解集是M，则对任意实常数 k ，总有[答]（ ） （A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈ M； 解：选（A） 方法 1：代入判断法，将 2, 0x x 分别代入不等式中，判断关于 k 的不等式解 集是 否为 R ； 方法 2：求出不等式的解集： xk )1( 2 ≤ 4k ＋ 4 4 2 2 min2 2 2 4 5 5( 1) 2 [( 1) 2] 2 5 21 1 1 kx k x kk k k ； A B CD 16．如图，平面中两条直线 1l 和 2l 相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p 、 q 分别是 M 到 直线 1l 和 2l 的距离，则称有序非负实数对（ p ， q ）是点 M 的“距离坐标”． 已知常数 p ≥0， q ≥0，给出下列命题： ① 若 p ＝ q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的 点有且仅有 1 个； ② 若 pq ＝0，且 p ＋ q ≠0，则“距离坐标”为 （ p ， q ）的点有且仅有 2 个； ③ 若 pq ≠0，则“距离坐标”为（ p ， q ）的点有且仅有 4 个． 上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 解：选（D） ① 正确，此点为点O ； ② 正确，注意到 ,p q 为常数，由 ,p q 中必有一个为零， 另 一个非零，从而可知有且仅有 2 个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的 距 离为 q （或 p ）； ③ 正确，四个交点为与直线 1l 相距为 p 的两条平行线和与直 线 2l 相距为 q 的两条平行线的交点； 三．解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分 12 分） 求函数 2cos( )cos( ) 3sin24 4y x x x 的值域和最小正周期． [解] 2cos( )cos( ) 3sin24 4y x x x 2 21 12( cos sin ) 3sin22 2 cos2 3sin2 2sin(2 )6 x x x x x x ∴ 函数 2cos( )cos( ) 3sin24 4y x x x 的值域是[ 2,2] ,最小正周期是 ； 18．（本题满分 12 分） 如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等 待 营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C 处 的乙 船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到1 ）？ [解] 连接 BC,由余弦定理得 1l 2l O M（ p ， q ） BC2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10 7 . ∵ 710 120sin 20 sin ACB , ∴sin∠ACB= 7 3 , ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角线 AC 与 BD 相交 于点 O，PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ． （1）求四棱锥 P－ABCD 的体积； （2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小（结果用 反三角函数值表示）． [解]（1）在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得 ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 PO⊥BO, 于是,PO=BOtg60°= 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 . ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 3 1 ×2 3 × 3 =2. （2）解法一：以 O 为坐标原点,射线 OB、OC、 OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系. 在 Rt△AOB 中 OA= 3 ,于是,点 A、B、 D、P 的坐标分别是 A(0,－ 3 ,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3 ). E 是 PB 的中点,则 E( 2 1 ,0, 2 3 ) 于是 DE =( 2 3 ,0, 2 3 ), AP =(0, 3 , 3 ). 设 AP与DE 的夹角为θ,有 cosθ= 4 2 334 3 4 9 2 3 ,θ=arccos 4 2 , ∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 4 2 ； 解法二：取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. P A B C D O E 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA， ∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 角(或它的补角)， 在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= 3 =OP， 于是, 在等腰 Rt△POA 中， PA= 6 ，则 EF= 2 6 . 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF= 3 ， cos∠FED= 3 4 6 2 1 DE EF = 4 2 ∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 4 2 . 20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在平面直角坐标系 x O y 中，直线 l 与抛物线 2y ＝2 x 相交于 A、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点 T（3，0），那么 OA OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于点 A(3, 6 )、B(3,－ 6 ). ∴ OBOA =3； 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 ( 3)y k x ，其中 0k ， 由 2 2 ( 3) y x y k x 得 2 1 22 6 0 6ky y k y y 又 ∵ 2 2 1 1 2 2 1 1,2 2x y x y ， ∴ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1( ) 34OA OB x x y y y y y y ， 综上所述，命题“如果直线 l 过点 T(3,0)，那么 OBOA =3”是真命题； (2)逆命题是：设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OBOA =3,那么该直线过点 T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点 A(2,2)，B( 2 1 ,1)，此时OA OB =3, 直线 AB 的方程为： 2( 1)3y x ，而 T(3,0)不在直线 AB 上； 说明：由抛物线 y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 OBOA =3，可得 y1y2=－6， 或 y1y2=2，如果 y1y2=－6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果 y1y2=2，可证得 直线 AB 过点(－1,0),而不过点(3,0). 21．（本题满分 16 分，本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 6 分） 已知有穷数列{ na }共有 2 k 项（整数 k ≥2），首项 1a ＝2．设该数列的前 n 项和为 nS ， 且 1na ＝ nSa )1( ＋2（ n ＝1，2，┅，2 k －1），其中常数 a ＞1． （1）求证：数列{ na }是等比数列； （2）若 a ＝2 12 2 k ，数列{ nb }满足 nb ＝ )(log1 212 naaan （ n ＝1，2，┅，2 k ）， 求数列{ nb }的通项公式； （3）若（2）中的数列{ nb }满足不等式| 1b － 2 3 |＋| 2b － 2 3 |＋┅＋| 12 kb － 2 3 |＋| kb2 － 2 3 | ≤4，求 k 的值． (1) [证明] 当 n=1 时,a2=2a,则 1 2 a a =a； 2≤n≤2k－1 时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2, an+1－an=(a－1) an, ∴ n n a a 1 =a, ∴数列{an}是等比数列. (2) 解：由(1) 得 an=2a 1n , ∴a1a2…an=2 n a )1(21 n =2 n a 2 )1( nn =2 12 )1( k nnn , bn= 112 1]12 )1([1 k n k nnnn (n=1,2,…,2k). （3）设 bn≤ 2 3 ,解得 n≤k+ 2 1 ,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn< 2 3 ； 当 n≥k+1 时, bn> 2 3 . 原式=( 2 3 －b1)+( 2 3 －b2)+…+( 2 3 －bk)+(bk+1－ 2 3 )+…+(b2k－ 2 3 ) =(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk) = ]12 )10(2 1 []12 )12(2 1 [ kk kk kk kkk = 12 2 k k . 当 12 2 k k ≤4,得 k2－8k+4≤0, 4－2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2, ∴当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立. 22．（本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 9 分） 已知函数 y ＝ x ＋ x a 有如下性质：如果常数 a ＞0，那么该函数在 ( 0， a ]上是减函 数，在[ a ，＋∞ ) 上是增函数． （1）如果函数 y ＝ x ＋ x b2 （ x ＞0）的值域为[ 6，＋∞ ) ，求b 的值； （2）研究函数 y ＝ 2x ＋ 2x c （常数 c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数 y ＝ x ＋ x a 和 y ＝ 2x ＋ 2x a （常数 a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广 的 函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 )(xF ＝ n xx )1( 2 ＋ nx x )1( 2 （ n 是正整数）在区间[ 2 1 ，2]上的最大值和最小值（可 利 用你的研究结论）． [解]（1）函数 y=x+ x b2 (x>0)的最小值是 2 b2 ，则 2 b2 =6, ∴b=log29. (2) 设 0查看更多