高中数学人教a版必修4模块综合检测（一） word版含解析

高中数学人教a版必修4模块综合检测（一） word版含解析

模块综合检测(一) (时间：120 分钟，满分：150 分) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．－1 120°角所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 D －1 120°＝－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与 320°角所在象限相同．又 320°角为第四象限角，故选 D. 2．(江西高考)若 sinα 2 ＝ 3 3 ，则 cos α＝( ) A．－2 3 B．－1 3 C.1 3 D.2 3 解析：选 C 因为 sinα 2 ＝ 3 3 ，所以 cos α＝1－2sin2 α 2 ＝1－2× 3 3 2＝1 3. 3．(陕西高考)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2), 若 a∥b, 则实数 m 等于( ) A．－ 2 B. 2 C．－ 2或 2 D．0 解析：选 C a∥b 的充要条件的坐标表示为 1×2－m2＝0，∴m＝± 2，选 C. 4. 1－sin 20°＝( ) A．cos 10° B．sin 10°－cos 10° C. 2sin 35° D．±(sin 10°－cos 10°) 解析：选 C ∵1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin235°， ∴ 1－sin 20°＝ 2sin 35°. 5．已知 a＝(1,2)，b＝(x,4)，且 a·b＝10，则|a－b|＝( ) A．－10 B．10 C．－ 5 D. 5 解析：选 D 因为 a· b＝10，所以 x＋8＝10，x＝2，所以 a－b＝(－1，－2)，故|a－b|＝ 5. 6．(2013·浙江高考)函数 f(x)＝sin xcos x＋ 3 2 ·cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 解析：选 A 由 f(x)＝sin xcos x＋ 3 2 cos 2x＝1 2sin 2x＋ 3 2 ·cos 2x＝sin 2x＋π 3 ，得最小正 周期为π，振幅为 1，故选 A. 7．已知α满足 sin α＝1 2 ，那么 sin π 4 ＋α ·sin π 4 －α 的值为( ) A.1 4 B．－1 4 C.1 2 D．－1 2 解析：选 A 依题意得，sin π 4 ＋α sin π 4 －α ＝sinπ 4 ＋α·cos π 4 ＋α ＝1 2sin π 2 ＋2α ＝1 2cos 2α ＝1 2(1－2sin2α)＝1 4. 8．如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 4π 3 ，0 中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 解析：选 A 由题意得 3cos 2×4π 3 ＋φ ＝3cos 2π 3 ＋φ＋2π ＝3cos 2π 3 ＋φ ＝0，∴2π 3 ＋φ ＝kπ＋π 2 ，k∈Z， ∴φ＝kπ－π 6 ，k∈Z.取 k＝0，得|φ|的最小值为π 6. 9．已知向量 a＝ sin α＋π 6 ，1 ，b＝(4,4cos α－ 3)，若 a⊥b，则 sin α＋4π 3 ＝( ) A．－ 3 4 B．－1 4 C. 3 4 D.1 4 解析：选 B a·b＝4sin α＋π 6 ＋4cos α－ 3＝ 2 3sin α＋6cos α－ 3＝4 3sin α＋π 3 － 3＝0， ∴sin α＋π 3 ＝1 4. ∴sin α＋4π 3 ＝－sin α＋π 3 ＝－1 4 ，故选 B. 10．函数 f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则θ为( ) A．kπ，(k∈Z) B．kπ＋π 6 ，(k∈Z) C．kπ＋π 3 ，(k∈Z) D．－kπ－π 3 ，(k∈Z) 解析：选 D f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2cos 3x－θ＋π 6 .由函数为奇函数得－θ＋π 6 ＝kπ＋π 2(k∈Z)，解得θ＝－kπ－π 3(k∈Z)，故选 D. 11．如图，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( ) A． 1 2P P  · 1 3P P  B． 1 2P P  · 1 4P P  C． 1 2P P  · 1 5P P  D． 1 2P P  · 1 6P P  解析：选 A 由于 1 2P P  ⊥ 1 5P P  ，故其数量积是 0，可排除 C； 1 2P P  与 1 6P P  的夹角是2π 3 ， 故其数量积小于零，可排除 D；设正六边形的边长是 a，则 1 2P P  · 1 3P P  ＝| 1 2P P  |·| 1 3P P  |·cos 30° ＝3 2a2， 1 2P P  · 1 4P P  ＝| 1 2P P  |·| 1 4P P  |·cos 60°＝a2. 12．已知函数 f(x)＝2asin2x－2 3asin xcos x＋a＋b(a<0)的定义域是 0，π 2 ，值域为[－ 5,1]，则 a、b 的值分别为( ) A．a＝2，b＝－5 B．a＝－2，b＝2 C．a＝－2，b＝1 D．a＝1，b＝－2 解析：选 C f(x)＝－a(cos 2x＋ 3sin 2x)＋2a＋b＝－2asin 2x＋π 6 ＋2a＋b. 又∵x∈ 0，π 2 ， ∴2x＋π 6 ∈ π 6 ，7π 6 ， ∴－1 2 ≤sin 2x＋π 6 ≤1. ∵－5≤f(x)≤1，a<0， ∴ 3a＋b＝－5， －2a＋2a＋b＝1， ∴ a＝－2， b＝1. 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．cos －17π 3 ＝________. 解析：cos －17π 3 ＝cos －6π＋π 3 ＝cosπ 3 ＝1 2. 答案：1 2 14．(四川高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB  ＋ AD  ＝λ AO  ，则λ＝________. 解析： AB  ＋ AD  ＝ AC  ＝2 AO  ，故λ＝2. 答案：2 15．(重庆高考)在 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA  ＝(－3,1)，OB  ＝(－2，k)，则 实数 k＝________. 解析：因为 AB  ＝ OB  － OA  ＝(1，k－1)，且 OA  ⊥ AB  ，所以OA  · AB  ＝0，即－3×1 ＋1×(k－1)＝0，解得 k＝4. 答案：4 16．函数 y＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π 2 的图象如图所示，则 y 的表达式为________． 解析：由图象，知 A＝2，由T 2 ＝2π 3 －π 6 ，求出周期 T＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π 6. 答案：y＝2sin 2x＋π 6 三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知向量 a，b 满足|a|＝|b|＝2，a 与 b 的夹角为 120°.求： (1)|a＋b|及|a－b|； (2)向量 a＋b 与 a－b 的夹角． 解：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋ 22＋2×(－2)＝4，所以|a＋b|＝2，同理可求得|a－b|＝2 3. (2)因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝22－22＝0， 所以(a＋b)⊥(a－b)，所以 a＋b 与 a－b 的夹角为 90°. 18．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝asin(2ωx＋π 6)＋a 2 ＋b(x∈R，a>0，ω>0)的最小正周 期为π，函数 f(x)的最大值是7 4 ，最小值是3 4. (1)求ω、a、b 的值； (2)指出 f(x)的单调递增区间． 解：(1)由函数最小正周期为π，得2π 2ω ＝π，∴ω＝1， 又 f(x)的最大值是7 4 ，最小值是3 4 ， 则 a＋a 2 ＋b＝7 4 ， －a＋a 2 ＋b＝3 4 ， 解得 a＝1 2 ， b＝1. (2)由(1)知，f(x)＝1 2sin(2x＋π 6)＋5 4 ， 当 2kπ－π 2 ≤2x＋π 6 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)， 即 kπ－π 3 ≤x≤kπ＋π 6(k∈Z)时，f(x)单调递增， ∴f(x)的单调递增区间为[kπ－π 3 ，kπ＋π 6](k∈Z)． 19．(本小题满分 12 分)(福建高考)已知函数 f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)． (1)求 f 5π 4 的值； (2)求函数 f(x) 的最小正周期及单调递增区间． 解：法一：(1)f 5π 4 ＝2cos5π 4 sin5π 4 ＋cos5π 4 ＝－2cosπ 4 －sinπ 4 －cosπ 4 ＝2. (2)因为 f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1 ＝ 2sin 2x＋π 4 ＋1， 所以 T＝2π 2 ＝π. 由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z，得 kπ－3π 8 ≤x≤kπ＋π 8 ，k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间为 kπ－3π 8 ，kπ＋π 8 ，k∈Z. 法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1 ＝ 2sin 2x＋π 4 ＋1. (1)f 5π 4 ＝ 2sin11π 4 ＋1 ＝ 2sinπ 4 ＋1 ＝2. (2)T＝2π 2 ＝π.由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－3π 8 ≤x≤kπ＋π 8 ，k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间为 kπ－3π 8 ，kπ＋π 8 ，k∈Z. 20．(本小题满分 12 分)已知向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k 的值； (2)设 d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求 d. 解：(1)∵(a＋kc)∥(2b－a)， 且 a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， ∴k＝－16 13. (2) ∵ d － c ＝ (x － 4 ， y － 1) ， a ＋ b ＝ (2,4) ， (d － c) ∥ (a ＋ b) 且 |d － c| ＝ 1 ， ∴ 4x－4－2y－1＝0， x－42＋y－12＝1， 解得 x＝4＋ 5 5 ， y＝1＋2 5 5 或 x＝4－ 5 5 ， y＝1－2 5 5 . ∴d＝20＋ 5 5 ，5＋2 5 5 或 d＝20－ 5 5 ，5－2 5 5 . 21．(本小题满分 12 分)如图所示，是一个半径为 10 个长度单位的水轮，水轮的圆心离水 面 5 2 个长度单位．已知水轮每分钟转 4 圈，水轮上的点 P 到水面距离 d 与时间 t 满足的函 数关系是正弦曲线，其表达式为d－k b ＝sin(t－h a )． (1)求正弦曲线的振幅和周期； (2)如果从 P 点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关 d 与 t 的关系式； (3)在(2)的条件下，求 P 首次到达最高点所用的时间． 解：(1)A＝r＝10.T＝60 4 ＝15(s)． (2)由d－k b ＝sint－h a ，得 d＝bsint－h a ＋k. b＝A＝10，T＝2π 1 a ＝2πa＝15，∴a＝15 2π. 由于圆心离水面 5 2个长度单位， ∴k＝5 2. ∴d＝10sin2πt－h 15 ＋5 2. 将 t＝0，d＝0 代入上式，得 sin(2π 15h)＝ 2 2 ，2π 15h＝π 4 ， ∴d＝10sin(2π 15t－π 4)＋5 2. (3)P 到达最高点时 d＝10＋5 2. ∴sin(2π 15t－π 4)＝1，得 2π 15t－π 4 ＝π 2 ，t＝45 8 (s)． 即 P 首次到达最高点所用时间为45 8 s. 22．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝sin(π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求ω的值； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2 ，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x) 的图象，求函数 g(x)在区间 0， π 16 上的最小值． 解：(1)因为 f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx， 所以 f(x)＝sin ωxcos ωx＋1＋cos 2ωx 2 ＝1 2sin 2ωx＋1 2cos 2ωx＋1 2 ＝ 2 2 sin 2ωx＋π 4 ＋1 2. 由于ω>0，依题意得2π 2ω ＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知 f(x)＝ 2 2 sin 2x＋π 4 ＋1 2 ， 所以 g(x)＝f(2x)＝ 2 2 sin 4x＋π 4 ＋1 2. 当 0≤x≤ π 16 时，π 4 ≤4x＋π 4 ≤π 2 ， 所以 2 2 ≤sin 4x＋π 4 ≤1. 因此 1≤g(x)≤1＋ 2 2 . 故 g(x)在区间 0， π 16 上的最小值为 1.