高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案

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高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案

数列求通项公式的方法 一、叠加法 1.适用于: 1 ( )n na a f n+ = + ----------这是广义的等差数列 累加法是最基 本的两个方法之一。 2.若 1 ( )n na a f n   ( 2)n  , 则 2 1 3 2 1 (1) (2) ( )n n a a f a a f a a f n         两边分别相加得 1 1 1 ( ) n n k a a f k     例 1 已知数列{ }na 满足 1 12 1 1n na a n a    , ,求数列{ }na 的通项公式。 解:由 1 2 1n na a n    得 1 2 1n na a n    则 1 1 2 3 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [2( 1) 1] [2( 2) 1] (2 2 1) (2 1 1) 1 2[( 1) ( 2) 2 1] ( 1) 1 ( 1)2 ( 1) 12 ( 1)( 1) 1 n n n n na a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n                                                 所以数列{ }na 的通项公式为 2 na n 。 例 2.已知数列 }{ na 中, 0na 且 )(2 1 n nn a naS  ,求数列 }{ na 的通项公式. 解:由已知 )(2 1 n nn a naS  得 )(2 1 1 1    nn nnn SS nSSS , 化简有 nSS nn   2 1 2 ,由类型(1)有 nSSn  322 1 2 , 又 11 aS  得 11 a ,所以 2 )1(2  nnSn ,又 0na , 2 )1(2  nnsn , 则 2 )1(2)1(2  nnnnan 练习 1,已知数列 na 的首项为 1,且 * 1 2 ( )n na a n n N    写出数列 na 的通项 公式. 答案: 12  nn 练习 2.已知数列 }{ na 满足 31 a , )2()1( 1 1   nnnaa nn ,求此数列的通项公 式. 答案:裂项求和 14na n   练习 3. 已知数列 na 满足 2 1 1 a , nnaa nn  21 1 ,求 na 。 解:由条件知: 1 11 )1( 11 21    nnnnnn aa nn 分别令 )1(,,3,2,1  nn ,代入上式得 )1( n 个等式累加之,即 )()()()( 1342312  nn aaaaaaaa )1 1 1()4 1 3 1()3 1 2 1()2 11( nn  所以 naan 111  2 1 1 a , nnan 1 2 3112 1  评注:已知 aa 1 , )(1 nfaa nn  ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次 函数、指数函数、分式函数,求通项 na . ①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 二、叠乘法 1.适用于: 1 ( )n na f n a  ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2.若 1 ( )n n a f na   ,则 3 12 1 2 (1) (2) ( )n n a aa f f f na a a   , , , 两边分别相乘得, 1 1 11 ( ) n n k a a f ka     例 3. 已知数列 na 满足 3 2 1 a , nn an na 11  ,求 na 。 解:由条件知 1 1  n n a a n n ,分别令 )1(,,3,2,1  nn ,代入上式得 )1( n 个等式累乘之,即 13 4 2 3 1 2   n n a a a a a a a a n n 1 4 3 3 2 2 1  na an 1 1  又 3 2 1 a , nan 3 2 练习 1.已知数列{ }na 满足 1 12( 1)5 3n n na n a a    , ,求数列{ }na 的通项公式。 解:因为 1 12( 1)5 3n n na n a a    , ,所以 0na  ,则 1 2( 1)5nn n a na    ,故 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 1 2 [2( 1 1)5 ][2( 2 1)5 ] [2(2 1) 5 ][2(1 1) 5 ] 3 2 [ ( 1) 3 2] 5 3 3 2 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a aa aa a a a n n n n n                                                所以数列{ }na 的通项公式为 ( 1) 1 23 2 5 !. n n n na n      练习 2.设 na 是首项为 1 的正项数列,且  01 1 22 1   nnnn aanaan ( n =1,2, 3,…),则它的通项公式是 na =________. 解:已知等式可化为:   0)1()( 11   nnnn naanaa  0na ( *Nn )(n+1) 01  nn naa , 即 1 1  n n a a n n  2n 时, n n a a n n 1 1    1 1 2 2 1 1 aa a a a a aa n n n n n      = 12 1 1 21   n n n n = n 1 . 评注:本题是关于 na 和 1na 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求 根公式)得到 na 与 1na 的更为明显的关系式,从而求出 na . 练习.已知 1,1 11  annaa nn ,求数列{an}的通项公式. 答案: na )1()!1( 1  an -1. 评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式 ,11  nnaa nn 转化为 ),1(11  nn ana 若令 1 nn ab ,则问题进一步转化为 nn nbb 1 形式,进而应 用累乘法求出数列的通项公式. 三、待定系数法 适用于 1 ( )n na qa f n   基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是 自然数集的一个函数。 1.形如 0(,1  cdcaa nn ,其中 aa 1 )型 (1)若 c=1 时,数列{ na }为等差数列; (2)若 d=0 时,数列{ na }为等比数列; (3)若 01  且dc 时,数列{ na }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构 造辅助数列来求. 待定系数法:设 )(1   nn aca , 得 )1(1  ccaa nn ,与题设 ,1 dcaa nn  比较系数得 dc  )1( ,所以 )0(,1  cc d 所以有: )1(1 1   c dacc da nn 因此数列    1c da n 构成以 11  c da 为首项,以 c 为公比的等比数列, 所以 1 1 )1(1  n n cc dac da 即: 1)1( 1 1   c dcc daa n n . 规律:将递推关系 dcaa nn 1 化为 )1(11  c dacc da nn ,构造成公比为 c 的等比数列 }1{  c dan 从而求得通项公式 )1(1 1 1 1    c dacc da n n 例 4.已知数列{ }na 中, 1 11, 2 1( 2)n na a a n    ,求数列 na 的通项公式。 解: 12 1( 2),n na a n   11 2( 1)n na a     又  1 1 2, 1na a    是首项为 2,公比为 2 的等比数列 1 2n na   ,即 2 1n na   四.逐项相减法(逐差法 1):有时我们从递推关系 dcaa nn 1 中把 n 换成 n-1 有 dcaa nn  1 ,两式相减有 )( 11   nnnn aacaa 从而化为公比为 c 的等比数 列 }{ 1 nn aa  ,进而求得通项公式. )( 121 aacaa n nn  ,再利用类型(1)即可求 得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例 5 已知数列{ }na 中, 1 11, 2 1( 2)n na a a n    ,求数列 na 的通项公式。 解: 12 1( 2),n na a n   1 2 1n na a   两式相减得 1 12( )( 2)n n n na a a a n     ,故数列 1n na a  是首项为 2,公比为 2 的等比数列,再用累加法的…… 练习.已知数列 }{ na 中, ,2 1 2 1,2 11   nn aaa 求通项 na 。 答案: 1)2 1( 1  n na 2.形如: n nn qapa 1 (其中 q 是常数,且 n  0,1) ①若 p=1 时,即: n nn qaa 1 ,累加即可. ②若 1p 时,即: n nn qapa 1 , 求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 1np .目的是把所求数列构造成等差 数列 即: n n n n n q p pq a p a )(1 1 1   ,令 n n n p ab  ,则 n nn q p pbb )(1 1  ,然后类型 1,累 加求通项. ii.两边同除以 1nq . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即: qq a q p q a n n n n 1 1 1   , 令 n n n q ab  ,则可化为 qbq pb nn 1 1  .然后转化为类型 5 来解, iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列 设 )(1 1 n n n n papqa     .通过比较系数,求出 ,转化为等比数列求通项. 注意:应用待定系数法时,要求 p  q,否则待定系数法会失效。 例 6 已知数列{ }na 满足 1 1 12 4 3 1n n na a a     , ,求数列 na 的通项公式。 解法一(待定系数法):设 1 1 1 23 ( 3n n n na a         ),比较系数得 1 24, 2    , 则数列 14 3n na   是首项为 1 1 1 4 3 5a     ,公比为 2 的等比数列, 所以 1 14 3 5 2n n na       ,即 1 14 3 5 2n n na      解法二(两边同除以 1nq ): 两边同时除以 13n 得: 1 1 2 2 4 3 3 3 3 n n n n a a     ,下面解法 略 解法三(两边同除以 1np ): 两边同时除以 12 n 得: n n n n n aa )2 3(3 4 22 1 1   ,下面解 法略 练习. 已知数列 na 中, 6 5 1 a , 1 1 )2 1(3 1    n nn aa ,求 na 。 解:在 1 1 )2 1(3 1    n nn aa 两边乘以 12 n 得: 1)2(3 22 1 1    n n n n aa 令 n n n ab  2 ,则 13 2 1  nn bb ,应用例 7 解法得: n nb )3 2(23 所以 nn n n n ba )3 1(2)2 1(32  3.形如 bknpaa nn 1 (其中 k,b 是常数,且 0k ) 方法 1:逐项相减法(逐差法) 方法 2:待定系数法 通过凑配可转化为 ))1(()( 1 ynxapyxna nn   ; 解题基本步骤: 1、确定 ( )f n =kn+b 2、设等比数列 )( yxnab nn  ,公比为 p 3、列出关系式 ))1(()( 1 ynxapyxna nn   ,即 1 nn pbb 4、比较系数求 x,y 5、解得数列 )( yxnan  的通项公式 6、解得数列 na 的通项公式 例 7 在数列 }{ na 中, ,23,1 11 naaa nn   求通项 na .(逐项相减法) 解:, ,231 naa nn  ①  2n 时, )1(23 1   naa nn , 两式相减得 2)(3 11   nnnn aaaa .令 nnn aab  1 ,则 23 1  nn bb 利用类型 5 的方法知 235 1  n nb 即 135 1 1    n nn aa ② 再由累加法可得 2 132 5 1   na n n . 亦可联立 ① ②解出 2 132 5 1   na n n . 练习. 在数列{ }na 中, 362,2 3 11   naaa nn ,求通项 na .(待定系数法) 解:原递推式可化为 ynxayxna nn   )1()(2 1 比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为 12  nn bb 所以 nb 是一个等比数列,首项 2 99611  nab ,公比为 2 1 . 1)2 1(2 9  n nb 即: n n na )2 1(996  故 96)2 1(9  na n n . 5.形如 2 1 n n na pa qa   时将 na 作为 ( )f n 求解 分析:原递推式可化为 2 1 1( )( ) n n n na a p a a        的形式,比较系数可求 得 ,数列 1n na a  为等比数列。 例 8 已知数列{ }na 满足 2 1 1 25 6 , 1, 2n n na a a a a      ,求数列{ }na 的通项公式。 解:设 2 1 1(5 )( )n n n na a a a        比较系数得 3   或 2   ,不妨取 2   ,(取-3 结果形式可能不同,但本质 相同) 则 2 1 12 3( 2 )n n n na a a a     ,则 1 2n na a  是首项为 4,公比为 3 的等比数列 1 1 2 4 3n n na a      ,所以 1 14 3 5 2n n na      练习 1.数列{ }na 中,若 2,8 21  aa ,且满足 034 12   nnn aaa ,求 na . 答案: n na 311 . 练习 2.已知数列 :,}{ 且满足的各项都是正数na Nnaaaa nnn   ),4(2 1,1 10 , 求数列 }{ na 的通项公式 an. 解: ],4)2([2 1)4(2 1 2 1  nnnn aaaa 所以 2 1 )2()2(2  nn aa nn nnnnnnn bbbbbab 22212 1 222 2 2 1 12 )2 1()2 1(2 1)2 1(2 1 2 1,2    则令 又 bn=-1,所以 1212 )2 1(22,)2 1(   nn nnn bab 即 . 方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法 3:设 c nn b ,则 c 2 12 1  nn c ,转化为上面类型(1)来解 五、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例 9 已知数列{ }na 满足 1 1 2 , 12 n n n aa aa   ,求数列{ }na 的通项公式。 解:求倒数得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, ,2 2n n n n n na a a a a a              为等差数列,首项 1 1 1a  , 公差为 1 2 , 1 1 2( 1),2 1n n n aa n       六、对数变换法 适用于 r nn paa 1 (其中 p,r 为常数)型 p>0, 0na 例 10. 设正项数列 na 满足 11 a , 2 12  nn aa (n≥2).求数列 na 的通项公 式. 解:两边取对数得: 1 22 log21log  nn aa , )1(log21log 1 22  nn aa ,设 1log 2  na nb , 则 12  nn bb  nb 是以 2 为公比的等比数列, 11log1 21 b 11 221   nn nb , 1 2 21log  nan , 12log 1 2  nan ,∴ 12 1 2   n na 练习 数列 na 中, 11 a , 12  nn aa (n≥2),求数列 na 的通项公式. 答案: n na  2222 例 11 已知数列{ }na 满足 5 1 2 3n n na a    , 1 7a  ,求数列{ }na 的通项公式。 解:因为 5 1 12 3 7n n na a a    , ,所以 10 0n na a  , 。 两边取常用对数得 1lg 5lg lg3 lg 2n na a n    设 1lg ( 1) 5(lg )n na x n y a xn y       (同类型四) 比较系数得, lg3 lg3 lg 2,4 16 4x y   由 1 lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2lg 1 lg7 1 04 16 4 4 16 4a           ,得 lg3 lg3 lg 2lg 04 16 4na n    , 所以数列 lg3 lg3 lg 2{lg }4 16 4na n   是以 lg3 lg3 lg 2lg7 4 16 4    为首项,以 5 为公比 的等比数列,则 1lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2lg (lg7 )54 16 4 4 16 4 n na n        ,因此 1 1 1 1 11 1 1 116 164 4 4 4 1 11 1 1 516 164 4 4 4 5 4 1 5 1 5 1 16 4 lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2lg (lg7 )54 16 4 4 6 4 [lg(7 3 3 2 )]5 lg(3 3 2 ) lg(7 3 3 2 ) lg(3 3 2 ) lg(7 3 2 ) n n n n n n n n n n a n                                 则 1 1 5 4 1 5 1 5 16 47 3 2 n n n n na         。 七、换元法 适用于含根式的递推关系 例 12 已知数列{ }na 满足 1 1 1 (1 4 1 24 ) 116n n na a a a     , ,求数列{ }na 的通项 公式。 解:令 1 24n nb a  ,则 21 ( 1)24n na b  代入 1 1 (1 4 1 24 )16n n na a a     得 2 2 1 1 1 1( 1) [1 4 ( 1) ]24 16 24n n nb b b      即 2 2 14 ( 3)n nb b   因为 1 24 0n nb a   , 则 12 3n nb b   ,即 1 1 3 2 2n nb b   , 可化为 1 13 ( 3)2n nb b    , 所以{ 3}nb  是以 1 13 1 24 3 1 24 1 3 2b a         为首项,以 2 1 为公比的等 比数列,因此 1 21 13 2( ) ( )2 2 n n nb     ,则 21( ) 32 n nb   ,即 211 24 ( ) 32 n na    , 得 2 1 1 1( ) ( )3 4 2 3 n n na    。 八、逐差法 2(逐项相减法) 1、递推公式中既有 nS ,又有 na 分析:把已知关系通过 1 1 , 1 , 2n n n S na S S n     转化为数列 na 或 nS 的递推关系,然 后采用相应的方法求解。 例 13 已知数列{ }na 的各项均为正数,且前 n 项和 nS 满足 1 ( 1)( 2)6n n nS a a   , 且 2 4 9, ,a a a 成等比数列,求数列{ }na 的通项公式。 解:∵对任意 n N  有 1 ( 1)( 2)6n n nS a a   ⑴ ∴当 n=1 时, 1 1 1 1 1 ( 1)( 2)6S a a a    ,解得 1 1a  或 1 2a  当 n≥2 时, 1 1 1 1 ( 1)( 2)6n n nS a a     ⑵ ⑴-⑵整理得: 1 1( )( 3) 0n n n na a a a     ∵{ }na 各项均为正数,∴ 1 3n na a   当 1 1a  时, 3 2na n  ,此时 2 4 2 9a a a 成立 当 1 2a  时, 3 1na n  ,此时 2 4 2 9a a a 不成立,故 1 2a  舍去 所以 3 2na n  练习。已知数列 }{ na 中, 0na 且 2)1(2 1  nn aS ,求数列 }{ na 的通项公式. 答案: nnn aSS  1 2 1 2 )1()1(  nn aa 12  nan 2、对无穷递推数列 例 14 已知数列{ }na 满足 1 1 2 3 11 2 3 ( 1) ( 2)n na a a a a n a n       , ,求{ }na 的通项公式。 解:因为 1 2 3 12 3 ( 1) ( 2)n na a a a n a n       ① 所以 1 1 2 3 12 3 ( 1)n n na a a a n a na        ② 用②式-①式得 1 .n n na a na   则 1 ( 1) ( 2)n na n a n    故 1 1( 2)n n a n na     所以 1 3 2 2 2 1 2 2 ![ ( 1) 4 3] .2 n n n n n a a a na a n n a aa a a                ③ 由 1 2 3 12 3 ( 1) ( 2)n na a a a n a n       , 2 1 22 2n a a a  取 得 ,则 2 1a a ,又 知 1 1a  ,则 2 1a  ,代入③得 !1 3 4 5 2n na n       。 所以,{ }na 的通项公式为 !.2n na  数列的通项公式与求和 1 1 2 3 4 2 4 2 1{ } , 1 ( 1,2,3, )3 (1) , , { } . (2) n n n n n n a n S a a S n a a a a a a a         数列 的前 项为 且 , 求 的值及数列 的通项公式 求 1 1 1 2{ } , 1 ( 1,2, ). : (1) { } ; (2) 4 n n n n n n n na n S a a S nn S n S a        数列 的前 项和记为 已知 , 证明 数列 是等比数列 * 1 2 1{ } ( 1)( )3 (1) , ; (2) : { } . n n n n n a n S S a n N a a a    已知数列 的前 项为 , 求 求证 数列 是等比数列 练习 1 练习 2 练习 3 1 1 2 1 1{ } , , .2n n n na a a a an n    已知数列 满足 求 1 1 2{ } , , , .3 1n n n n na a a a an   已知数列 满足 求 1 1 1 5 1 1{ } , , ( ) .6 3 2 n n n n na a a a a    已知数列 中 ,求 1 1 1 { } : 1, { } .3 1 n n n n n aa a a aa      已知数列 满足 , 求数列 的通项公式 练 8 若等比数列{ }na 的前 n 项和 Sn=2n-1,则 22 3 2 2 2 1 naaaa   练习 4 练习 5 练 习 6 练习 7 练习 9 求和:5,55,555,5555,…, 5 (10 1)9 n  ,…; 练习 10 求和: 1 1 1 1 4 4 7 (3 2) (3 1)n n        练习 11 已知求和: 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 n             练 习 12 设{ }na 是等差数列,{ }nb 是各项都为正数的等比数列,且 1 1 1a b  , 3 5 21a b  , 5 3 13a b  (Ⅰ)求{ }na ,{ }nb 的通项公式; (Ⅱ)求数列 n n a b      的前 n 项和 nS . 答案 练习 1 答案: 练习 2 证明: (1) 注意到:a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得: S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又 S(1)/1=a(1)/1=1 不等于 0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2) 由(1)知, {S(n)/n}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列。 所以 S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即 S(n)=n*2^(n-1) (*) 代入 a(n+1)=S(n)*(n+2)/n 得 2 3 4 2 1 4 16, ,3 9 27 1 1 1 4( ) 23 3 n n a a a n a n              23 4[( ) 1]7 3 n  a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n 属于 N) 即 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N 且 n>1) 又当 n=1 时上式也成立 所以 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N) 由(*)式得: S(n+1)=(n+1)*2^n =(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4 对比以上两式可知:S(n+1)=4*a(n 练习 3 答案: 1) a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2 a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2) 3Sn=an-1 3S(n-1)=a(n-1)-1 相减: 3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1) an/a(n-1)=-1/2 所以{an}为等比数列! 练习 4 累加法,答案: 练习 5 累乘法,答案: 练习 6 待定系数法,答案: 练习 7 倒数法,答案: nan 1 2 3  nan 3 2 1 13( ) 2( )2 3 n n na   1 3 2na n   4 1 3 n  练习 8 公式法,答案: 练习 9 答案: 5 55 555 55 5 n nS         个 5 (9 99 999 99 9)9 n         个 2 35[(10 1) (10 1) (10 1) (10 1)]9 n         2 35 50 5[10 10 10 10 ] (10 1)9 81 9 n nn n         . 练习 10 ,列项相消法,答案 3 1 n n  练习 11,,列项相消法 1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1) 练习 12 (错位相减法) 答案:解:(Ⅰ)设 na 的公差为 d , nb 的公比为 q , 则依题意有 0q  且 4 2 1 2 21 1 4 13 d q d q        , , 解得 2d  , 2q  .所以 1 ( 1) 2 1na n d n     , 1 12n n nb q    .(Ⅱ) 1 2 1 2 n n n a n b   . 1 2 2 1 3 5 2 3 2 11 2 2 2 2n n n n nS          , ① 3 2 5 2 3 2 12 2 3 2 2 2n n n n nS          ,② ②-①得 2 2 1 2 2 2 2 12 2 2 2 2 2n n n nS          , 2 2 1 1 1 1 2 12 2 1 2 2 2 2n n n              1 1 11 2 122 2 1 21 2 n n n        1 2 36 2n n    .
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