高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1．定义运算             dfce bfae f e dc ba ，如           15 14 5 4 30 21 .已知   ， 2   ，则            sin cos sincos cossin （ ）. A. 0 0      B. 0 1      C. 1 0      D. 1 1      2．定义运算 a b ad bcc d   ,则符合条件 1 2 01 2 1 z i i i    的复数 z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3．矩阵 E =       1 0 0 1 的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4． 若行列式 2 1 2 4 1 0 1 3 9 x x   ，则 x ． 5．若 2 0 2 1 3 10 x y              ，则 x y  ． 6．已知一个关于 yx, 的二元一次方程组的增广矩阵为 1 1 2 0 1 2      ，则 x y  _______． 7．矩阵 1 1 4 1      的特征值为 ． 8．已知变换 1 0 0M b      ，点 (2, 1)A  在变换 M 下变换为点 ( ,1)A a ，则 a b  9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在 10 ml 到 110 ml 之间，用 0.618法 寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加 入量可以是 ； 10．已知 ， ，则 y= ． 11．若 2 2 1 1 x xx y y y   ，则 ______x y  12．计算矩阵的乘积              01 10 nm yx ______________ 13．已知矩阵 A－1 =       1 2 0 1 ，B－1 =       1 0 1 1 ，则 (AB)－1 = ； 评卷人 得分 七、解答题 14．已知矩阵 1 2 5 2 M x         的一个特征值为 2 ，求 2M . 15 ． 已 知 直 线 1 yxl： 在 矩 阵     10 nmA 对 应 的 变 换 作 用 下 变 为 直 线 1 yxl ： ，求矩阵 A . 16．[选修 4—2：矩阵与变换] 已知矩阵 1 2 1 4A      ，求矩阵 A 的特征值和特征向量． 17．已知二阶矩阵 M 有特征值  =3 及对应的一个特征向量 1 1 1      e ，并且矩阵 M 对应的 变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵 M． 18．（选修 4—2：矩阵与变换） 设 矩 阵 0 2 1 a     M 的 一 个 特 征 值 为 2 ， 若 曲 线 C 在 矩 阵 M 变 换 下 的 方 程 为 2 2 1x y  ，求曲线C 的方程． 19．已知矩阵 A＝ 3 3 c d ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α1＝ 1 1 ，属于特 征值 1 的一个特征向 量为α2＝ 3 －2 ．求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵． 20．选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 M＝ 1 2 b c      有特征值λ1＝4 及对应的一个特征向量 e1＝ 2 3      ． （1）求矩阵 M； （2）求曲线 5x2＋8xy＋4y2＝1 在 M 的作用下的新曲线的方程． 21．求直线 x＋y＝5 在矩阵 0 0 1 1      对应的变换作用下得到的图形． 22．已知变换 T 是将平面内图形投影到直线 y＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵． 23．求点 A(2，0)在矩阵 1 0 0 2      对应的变换作用下得到的点的坐标． 24．已知 N= 0 1 1 0      ,计算 N2. 25．已知矩阵 M＝ 1 2 3 4      ，N＝ 0 1 1 3      ． （1）求矩阵 MN； （2）若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q(0，1)，求点 P 的坐标． 26．已知矩阵 2 0 0 1      A ， 1 1 2 5      B ，求矩阵 1A B 27．已知矩阵 A  1 0   0 2   ， B  0 1   2 6   ，求矩阵 1A B . 28．求使等式 2 4 2 0 3 5 0 1 M          成立的矩阵 M ． 29．已知矩阵 A=    b a 1 2 有一个属于特征值 1 的特征向量        1 2 . (Ⅰ) 求矩阵 A； (Ⅱ) 若矩阵 B=     10 11 ，求直线 1 0x y   先在矩阵 A，再在矩阵 B 的对应变换作 用下的像的方程. 30．已知矩阵 A 的逆矩阵 1 1 3 4 4 1 1 2 2            A ,求矩阵 A 的特征值. 参考答案 1．A 【来源】2012-2013 学年湖南省浏阳一中高一 6 月阶段性考试理科数学试题（带解析） 【解析】 试 题 分 析 ： 根 据 题 意 ， 由 于 根 据 新 定 义 可 知             dfce bfae f e dc ba ， 那 么 由 2   ,   sin cos cos sin cos cos sin s ( ) cos sin sin cos cos sin sin cos( ) in                                            = 0 0      ，故选 A. 考点：矩阵的乘法 点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用，属于基础题．考查 知识点比较多有一定的计算量 2．D 【来源】2012-2013 学年河北省邢台一中高二下学期第二次月考理科数学试题（带解析） 【解析】 试题分析： 按照所给法则直接进行运算，利用复数相等，可求得复数对应点所在象限．根据题意，由于 1 2 01 2 1 z i i i    ，即可知 z（1-i）-（1-2i）（1+2i）=0，∴z（1-i）=5 设 z=x+yi，∴z（1-i）=（x+yi）（1-i）=5，（x+y）+（y-x）i=5，x+y=5，y-x=0,那么可知 即 x=y= 5 2 ＞0 复数对应点在第一象限，故选 D. 考点：复数 点评：主要是考查了复数的基本概念和代数形式的混合运算，是高考常考点，也是创新题， 属于基础题。 3．A 【来源】2012-2013 学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题（带解析） 【解析】 试题分析：解：矩阵 M 的特征多项式 f（λ）= 0 0 -1 -1         =（λ-1）（λ-1）0 所以（λ-1） （λ-1）=0,可知λ-=1，故即为所求的特征值，因此选 A. 考点：矩阵的特征值 点评：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程 思想，属于基础题． 4．2 或 3 【来源】【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由题意得 0|31 1|4| 91 1|2| 93 | 22   xxxx ，所以 062  xx ，解得 x 2 或 3 ． 考点：三阶行列式的应用． 5．2 【来源】【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：因为 2 0 2 1 3 10 x y              ，所以      103 22 yx x 解得      3 1 y x ，所以 x y  2 考点：矩阵的含义． 6．2 【来源】【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由二元线性方程组的增广矩阵可得到 二元线性方程组的表达式      20 2 y yx 解得 x=4，y=2，故答案为：2． 考点：二元线性方程组的增广矩阵的含义． 7．3 或－1. 【来源】2013-2014 学年江苏省连云港高二下学期期末数学试卷（选修物理）（带解析） 【解析】 试题分析：矩阵 1 1 4 1      的特征多项式为 4 1   4)1(1 1 2    .令 04)1( 2  ，可 得 3 或 1 .故应填 3 或－1. 考点：矩阵特征值的定义. 8．1 【来源】2013-2014 学年江苏省阜宁中学高二下学期期中考试理科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由 1 0 2 0 1 1 a b                 得 2, 1, 1.a b a b     考点：矩阵运算 9．33.6ml 【来源】2013 届湖南省株洲市二中高三第五次月考文科数学试题（带解析） 【解析】 试题分析：根据公式 x1=小+0.618（大-小）=10+0.618（110-10）=71.8， x2=小+大-x 1=10+110-71.8=48.2， 此时 差点 将区 间分 成两 部分 ，一部 分是[10，71.8]，另 一部 分是[71.8，110]将 不包含好点的那部分去掉得存优部分为[10，71.8]， 根据公式 x3=小+大-x 2=10+71.8-48.2=33.6， 所以第三次实验时葡萄糖的加入量为 33.6mL， 故答案为 33.6ml 。 考点：黄金分割法--0.618 法 点评：简单题，熟练掌握黄金分割法的基本概念及步骤是解答的关键。 10．1 【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷带解析） 【解析】 试题分析：由已知 ， ， 所以 x﹣2=0，x﹣y=1 所以 x=2，y=1． 考点：二阶行列式的定义 点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题 【答案】0 【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析） 【解析】 2 2 2 0x y xy x y      ． 【考点定位】考查矩阵的运算，属容易题。 12． y x n m      【来源】2012-2013 学年江苏淮安市涟水县第一中学高一下学期期末考试数学题（带解析） 【解析】 试题分析：根据矩阵乘法法则得， 0 1 1 0 x y y x m n n m               。 考点：矩阵乘法法则。 点评：简单题，应用矩阵乘法法则直接计算，属于基础题。 13．       3 2 1 1 【来源】2012-2013 学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题（带解析） 【解析】 试题分析：设 A= a b c d        ，则可知 a b c d              1 2 0 1 = 1 0 0 1        ，可知得到 A= 1 2 0 1       ，同理可 知 B= 1 1 1 0       ，则可知(AB)－1 =       3 2 1 1 考点：矩阵的乘法，逆矩阵 点评：利用矩阵的乘法法则及逆矩阵的求解，即可得到答案．属于基础题。 14． 2 6 4 5 14M      【来源】2016 届江苏省泰州市高三第一次模拟考试理科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由矩阵特征多项式得 2 ( 1) ( 5) 0x x      一个解为 2 ，因此 3x  ，再根 据矩阵运算得 2 6 4 5 14M      试题解析：解： 2   代入 2 1 2 ( 1) ( 5) 05 2 x x x               ，得 3x  矩阵 1 2 5 32 M         ∴ 2 6 4 5 14M      考点：特征多项式 15． 1 2 0 1A      【来源】2016 届江苏省扬州市高三上学期期末调研考试数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：利用转移法求轨迹方程，再根据对应求相关参数：设直线 : 1l x y  上任意一 点 ( , )M x y 在矩阵 A 的变换作用下，变换为点 ( , )M x y   ，则有 x mx ny y y       ，因为 1x y   所以 ( ) 1mx ny y   与 1 yxl： 重合，因此 1 1 1 m n     ． 试题解析：解：设直线 : 1l x y  上任意一点 ( , )M x y 在矩阵 A 的变换作用下，变换为点 ( , )M x y   ． 由 ' ' 0 1 x m n x mx ny y y y                        ,得 x mx ny y y       又点 ( , )M x y   在l上,所以 1x y   ,即 ( ) 1mx ny y   依题意 1 1 1 m n     ,解得 1 2 m n    ， 1 2 0 1A       考点：矩阵变换 16．属于特征值 1 2  的一个特征向量 1 2 1       属于特征值 2 3  的一个特征向量 2 1 1       【来源】2016 届江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由特征多项式为   21 2 5 61 4f        + =0 解得两个特征值 1 2  ， 2 3  ．再代入得对应特征方程组，因此属于特征值 1 2  的一个特征向量 1 2 1       ，属于 特征值 2 3  的一个特征向量 2 1 1       ． 试题解析：矩阵 A 的特征多项式为   21 2 5 61 4f        + ， 由   0f   ，解得 1 2  ， 2 3  ． 当 1 2  时，特征方程组为 2 0, 2 0, x y x y      故属于特征值 1 2  的一个特征向量 1 2 1       ； 当 2 3  时，特征方程组为 2 2 0, 0, x y x y      故属于特征值 2 3  的一个特征向量 2 1 1       ． 考点：特征值及特征向量 17． 1 4 3 6      【来源】2016 届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷（带解析） 【解析】 试 题 分 析 ： 列 方 程 组 1 1 331 1 3 a b c d                        ， 1 9 2 15 a b c d                 解 得 1, 4, 3, 6a b c d      试题解析：解：设 a b c d      M ,则 1 1 331 1 3 a b c d                        ,故 3, 3 a b c d    + + ． 1 9 2 15 a b c d                 ,故 2 9, 2 15 a b c d     + + ． 联立以上两方程组解得 1, 4, 3, 6a b c d      ,故 M = 1 4 3 6      ． 考点：矩阵特征值及特征向量 18． 2 28 4 1x xy y   【来源】2016 届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：实质利用转移法求轨迹方程：先确定矩阵 M ，由矩阵 M 有一个特征值为 2，得 矩阵 M 的特征多项式 ( ) ( )(( 1)f a     有一个解 2，所以 2a  ．再设曲线C 在矩阵 M 变换下点 ( , )x y 变换为点 ( , )x y  ，由 2 0M 2 1 x x x y y y                        得 2 2 x x y x y       ，代入 2 2 1x y   得 2 28 4 1x xy y   试题解析：由题意，矩阵 M 的特征多项式 ( ) ( )(( 1)f a     ， 因矩阵 M 有一个特征值为 2， (2) 0f  ，所以 2a  ． 所以 2 0M 2 1 x x x y y y                        ，即 2 2 x x y x y       ， 代入方程 2 2 1x y  ，得 2 2(2 ) (2 ) 1x x y   ，即曲线C 的方程为 2 28 4 1x xy y   ．… 10 分 考点：矩阵特征值 19．A＝ 3 3 2 4 ， A 的逆矩阵是 2 3 －1 2 －1 3 1 2 ． 【来源】【百强校】2016 届江苏省扬州中学高三 12 月月考数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由矩阵特征值的特征向量定义知 3 3 c d 1 1 ＝6 1 1 ， 3 3 c d 3 －2 ＝ 3 －2 ， 解得关于 ,c d 方程组，联立即可． 试题解析：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α1＝ 1 1 可得， 3 3 c d 1 1 ＝6 1 1 ， 即 c＋d＝6； 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为α2＝ 3 －2 ，可得 3 3 c d 3 －2 ＝ 3 －2 ， 即 3c－2d＝－2． 解得 c＝2， d＝4．即 A＝ 3 3 2 4 ， A 的逆矩阵是 2 3 －1 2 －1 3 1 2 ． 考点：矩阵的运算． 20．（1） 1 2 3 2      （2）x2＋y2＝2． 【来源】【百强校】2016 届江苏省苏州中学高三上学期初考试数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：（1）由特征值与对应特征向量关系得： 1 2 b c      2 3      ＝ 8 12      ，即 2＋3b＝8,2c＋6 ＝12，b＝2，c＝3，所以 M＝ 1 2 3 2      ．（2）由转移法求轨迹得，先设曲线上任一点 P（x，y） 在 M 作用下对应点 P′（x′，y′），则 x y      ＝ 1 2 3 2      x y      ，解之得 2 3 4 y xx x yy       代入 5x2＋8xy＋4y2＝1 得 x′2＋y′2＝2，即曲线 5x2 ＋8xy＋4y2＝1 在 M 的作用下的新曲线的方程是 x2＋y2＝2． 试题解析：解：（1）由已知 1 2 b c      2 3      ＝ 8 12      ，即 2＋3b＝8,2c＋6＝12，b＝2，c＝3， 所以 M＝ 1 2 3 2      ．（4 分） （2）设曲线上任一点 P（x，y），P 在 M 作用下对应点 P′（x′，y′），则 x y      ＝ 1 2 3 2      x y      ， 解之得 2 3 4 y xx x yy       代入 5x2＋8xy＋4y2＝1 得 x′2＋y′2＝2， 即曲线 5x2＋8xy＋4y2＝1 在 M 的作用下的新曲线的方程是 x2＋y2＝2．（10 分） 考点：特征值，特征向量，矩阵变换 21．点(0，5) 【来源】2014 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修 4－2 第 1 课时练习卷（带解析） 【解析】设点(x，y)是直线 x＋y＝5 上任意一点，在矩阵 0 0 1 1      的作用下点变换成(x′，y ′)，则 0 0 1 1      x y      ＝ ' ' x y      ，所以 ' 0 ' x y x y     .因为点(x，y)在直线 x＋y＝5 上，所以 y ′＝x＋y＝5，故得到的图形是点(0，5)． 22． 1 0 2 0      【来源】2014 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修 4－2 第 1 课时练习卷（带解析） 【解析】将平面内图形投影到直线 y＝2x 上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵 M 作用 变换为(x，2x)，则有 0 0 a b      x y      ＝ 2 x x      ，解得 1 2. a b    ＝， ＝ ∴T＝ 1 0 2 0      . 23．A′(2，0) 【来源】2014 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修 4－2 第 1 课时练习卷（带解析） 【解析】矩阵 1 0 0 2      表示横坐标保持不变，纵坐标沿 y 轴负方向拉伸为原来的 2 倍的伸 压变换，故点 A(2，0)变为点 A′(2，0) 24． 1 0 0 1      【来源】2014 年高考数学全程总复习课时提升作业七十五选修 4-2 第二节练习卷（带解析） 【解析】N2= 0 1 1 0      0 1 1 0      = 1 0 0 1      25．（1）MN＝ 1 2 3 4      0 1 1 3      ＝ 2 5 4 9      ；（2）P( 5 2 ， 1). 【来源】2014 届江苏南京金陵中学高三第一学期期中考试理科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用 2 5 4 9      x y      ＝ 0 1      ， 转化为关于 ,x y 的二元一次方程，解出 ,x y ，即点 P 的坐标；法二，求出 MN 的逆矩阵，直 接计算 ,x y . 试题解析：（1）MN＝ 1 2 3 4      0 1 1 3      ＝ 2 5 4 9      ； 5 分 （2）设 P(x，y)，则 解法一： 2 5 4 9      x y      ＝ 0 1      ，即 2 5 0 4 9 1 x y x y      解得 5 2 1 x y      即 P( 5 2 ， 1)． 10 分 解法二： 因为 12 5 4 9      ＝ 9 5 2 2 2 1       ．所以 x y      ＝ 9 5 2 2 2 1       0 1      ＝ 5 2 1        ． 即 P( 5 2 ， 1)． 10 分 考点：矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算. 26． 1 1 2 2 2 5        【来源】2014 届江苏省苏州市高三暑假自主学习测试理科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：先用待定系数法求出 1A ，再求出 1A B . 试题解析：设矩阵 A 的逆矩阵为 a b c d      ，则 2 0 1 0 0 1 0 1 a b c d                 ， 1 分 即 2 2 1 0 0 1 a b c d           ， 4 分 故 1 , 0, 0, 12a b c d    ，从而 A 的逆矩阵为 1 1 0 2 10 A     ． 7 分 所以 1 1 1 10 1 1 2 2 21 2 50 2 5 A B                  ． 10 分 考点：矩阵的乘法、逆矩阵. 27． 1 0   2 3    【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷带解析） 【解析】设矩阵 A 的逆矩阵为 a c   b d   ，则 1 0   0 2   a c   b d   1 0   0 1   ，即 2 a c   1 2 0 b d      0 1   ， ∴ 1a  ， 0b  ， 0c  ， 1 2d  ，从而， A 的逆矩阵为 1 1 0 A     0 1 2     ， ∴ 1 1 0 A B     0 1 2     1 0   2 6   1 0   2 3    . 【考点定位】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力. 28． 1 2 3 5M      【来源】2012 届江苏省涟水中学高三上学期期中考试数学试题（带解析） 【解析】 试题分析：解：设 m nM p q      ，则由 2 4 2 0 3 5 0 1 M          2 2m n p q      （5 分） 则 2 2 2 4 3 5 m n p q       1 2 3 5 m n p q        ，即 1 2 3 5M      . （10 分） 考点：矩阵 点评：主要是考查了矩阵的求解的运用，属于基础题。 29．（1）A=    31 22 .（2） 2 0x y   【来源】2013 届福建省福建师大附中高三 5 月高考三轮模拟理科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：(Ⅰ)由已知得                   1 211 2 1 2 b a ，所以      ， ， 12 222 b a 2 分 解得      ， ， 3 2 b a 故 A=    31 22 . ……………………………………………………3 分 (Ⅱ) BA=     10 11    31 22 = 1 1 1 3      ，因为矩阵 BA 所对应的线性变换将直线变成直线（或 点），所以可取直线 1 0x y   上的两点（0，1），（-1，2）， 4 分 1 1 0 1 1 3 1 3              ， 1 1 0 1 1 3 1 1               ，由得：（0，1），（-1，2）在矩阵 A 所对应的线 性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1） 6 分 从而直线 1 0x y   在矩阵 BA 所对应的线性变换下的像的方程为 2 0x y   . 7 分 考点：矩阵的概念和变换 点评：主要是考查了矩阵的计算以及变换的运用，属于基础题。 30．（1）   22 3= = 3 42 1 f            . 令  =0f  ,解得矩阵 A 的特征值 1 2= 1 =4  ， . 【来源】2013 届福建省高三高考压轴理科数学试题（带解析） 【解析】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 解 :∵ 1A A = E ,∴   11 A = A . ∵ 1 1 3 4 4 1 1 2 2            A ,∴   11 2 3 2 1       A = A . ∴矩阵 A 的特征多项式为   22 3= = 3 42 1 f            . 令  =0f  ,解得矩阵 A 的特征值 1 2= 1 =4  ， . 考点：本题主要考查矩阵、逆矩阵、矩阵特征值的概念。 点评：简单题，作为选考内容，难度不大，关键是掌握基本的概念及计算方法。