高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

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高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1.定义运算             dfce bfae f e dc ba ,如           15 14 5 4 30 21 .已知   , 2   ,则            sin cos sincos cossin ( ). A. 0 0      B. 0 1      C. 1 0      D. 1 1      2.定义运算 a b ad bcc d   ,则符合条件 1 2 01 2 1 z i i i    的复数 z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.矩阵 E =       1 0 0 1 的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4. 若行列式 2 1 2 4 1 0 1 3 9 x x   ,则 x . 5.若 2 0 2 1 3 10 x y              ,则 x y  . 6.已知一个关于 yx, 的二元一次方程组的增广矩阵为 1 1 2 0 1 2      ,则 x y  _______. 7.矩阵 1 1 4 1      的特征值为 . 8.已知变换 1 0 0M b      ,点 (2, 1)A  在变换 M 下变换为点 ( ,1)A a ,则 a b  9.配制某种注射用药剂,每瓶需要加入葡萄糖的量在 10 ml 到 110 ml 之间,用 0.618法 寻找最佳加入量时,若第一试点是差点,第二试点是好点,则第三次试验时葡萄糖的加 入量可以是 ; 10.已知 , ,则 y= . 11.若 2 2 1 1 x xx y y y   ,则 ______x y  12.计算矩阵的乘积              01 10 nm yx ______________ 13.已知矩阵 A-1 =       1 2 0 1 ,B-1 =       1 0 1 1 ,则 (AB)-1 = ; 评卷人 得分 七、解答题 14.已知矩阵 1 2 5 2 M x         的一个特征值为 2 ,求 2M . 15 . 已 知 直 线 1 yxl: 在 矩 阵     10 nmA 对 应 的 变 换 作 用 下 变 为 直 线 1 yxl : ,求矩阵 A . 16.[选修 4—2:矩阵与变换] 已知矩阵 1 2 1 4A      ,求矩阵 A 的特征值和特征向量. 17.已知二阶矩阵 M 有特征值  =3 及对应的一个特征向量 1 1 1      e ,并且矩阵 M 对应的 变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵 M. 18.(选修 4—2:矩阵与变换) 设 矩 阵 0 2 1 a     M 的 一 个 特 征 值 为 2 , 若 曲 线 C 在 矩 阵 M 变 换 下 的 方 程 为 2 2 1x y  ,求曲线C 的方程. 19.已知矩阵 A= 3 3 c d ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α1= 1 1 ,属于特 征值 1 的一个特征向 量为α2= 3 -2 .求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. 20.选修 42:矩阵与变换 已知矩阵 M= 1 2 b c      有特征值λ1=4 及对应的一个特征向量 e1= 2 3      . (1)求矩阵 M; (2)求曲线 5x2+8xy+4y2=1 在 M 的作用下的新曲线的方程. 21.求直线 x+y=5 在矩阵 0 0 1 1      对应的变换作用下得到的图形. 22.已知变换 T 是将平面内图形投影到直线 y=2x 上的变换,求它所对应的矩阵. 23.求点 A(2,0)在矩阵 1 0 0 2      对应的变换作用下得到的点的坐标. 24.已知 N= 0 1 1 0      ,计算 N2. 25.已知矩阵 M= 1 2 3 4      ,N= 0 1 1 3      . (1)求矩阵 MN; (2)若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q(0,1),求点 P 的坐标. 26.已知矩阵 2 0 0 1      A , 1 1 2 5      B ,求矩阵 1A B 27.已知矩阵 A  1 0   0 2   , B  0 1   2 6   ,求矩阵 1A B . 28.求使等式 2 4 2 0 3 5 0 1 M          成立的矩阵 M . 29.已知矩阵 A=    b a 1 2 有一个属于特征值 1 的特征向量        1 2 . (Ⅰ) 求矩阵 A; (Ⅱ) 若矩阵 B=     10 11 ,求直线 1 0x y   先在矩阵 A,再在矩阵 B 的对应变换作 用下的像的方程. 30.已知矩阵 A 的逆矩阵 1 1 3 4 4 1 1 2 2            A ,求矩阵 A 的特征值. 参考答案 1.A 【来源】2012-2013 学年湖南省浏阳一中高一 6 月阶段性考试理科数学试题(带解析) 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 根 据 新 定 义 可 知             dfce bfae f e dc ba , 那 么 由 2   ,   sin cos cos sin cos cos sin s ( ) cos sin sin cos cos sin sin cos( ) in                                            = 0 0      ,故选 A. 考点:矩阵的乘法 点评:此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用,属于基础题.考查 知识点比较多有一定的计算量 2.D 【来源】2012-2013 学年河北省邢台一中高二下学期第二次月考理科数学试题(带解析) 【解析】 试题分析: 按照所给法则直接进行运算,利用复数相等,可求得复数对应点所在象限.根据题意,由于 1 2 01 2 1 z i i i    ,即可知 z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0,∴z(1-i)=5 设 z=x+yi,∴z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5,(x+y)+(y-x)i=5,x+y=5,y-x=0,那么可知 即 x=y= 5 2 >0 复数对应点在第一象限,故选 D. 考点:复数 点评:主要是考查了复数的基本概念和代数形式的混合运算,是高考常考点,也是创新题, 属于基础题。 3.A 【来源】2012-2013 学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题(带解析) 【解析】 试题分析:解:矩阵 M 的特征多项式 f(λ)= 0 0 -1 -1         =(λ-1)(λ-1)0 所以(λ-1) (λ-1)=0,可知λ-=1,故即为所求的特征值,因此选 A. 考点:矩阵的特征值 点评:本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力及函数与方程 思想,属于基础题. 4.2 或 3 【来源】【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:由题意得 0|31 1|4| 91 1|2| 93 | 22   xxxx ,所以 062  xx ,解得 x 2 或 3 . 考点:三阶行列式的应用. 5.2 【来源】【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:因为 2 0 2 1 3 10 x y              ,所以      103 22 yx x 解得      3 1 y x ,所以 x y  2 考点:矩阵的含义. 6.2 【来源】【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:由二元线性方程组的增广矩阵可得到 二元线性方程组的表达式      20 2 y yx 解得 x=4,y=2,故答案为:2. 考点:二元线性方程组的增广矩阵的含义. 7.3 或-1. 【来源】2013-2014 学年江苏省连云港高二下学期期末数学试卷(选修物理)(带解析) 【解析】 试题分析:矩阵 1 1 4 1      的特征多项式为 4 1   4)1(1 1 2    .令 04)1( 2  ,可 得 3 或 1 .故应填 3 或-1. 考点:矩阵特征值的定义. 8.1 【来源】2013-2014 学年江苏省阜宁中学高二下学期期中考试理科数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:由 1 0 2 0 1 1 a b                 得 2, 1, 1.a b a b     考点:矩阵运算 9.33.6ml 【来源】2013 届湖南省株洲市二中高三第五次月考文科数学试题(带解析) 【解析】 试题分析:根据公式 x1=小+0.618(大-小)=10+0.618(110-10)=71.8, x2=小+大-x 1=10+110-71.8=48.2, 此时 差点 将区 间分 成两 部分 ,一部 分是[10,71.8],另 一部 分是[71.8,110]将 不包含好点的那部分去掉得存优部分为[10,71.8], 根据公式 x3=小+大-x 2=10+71.8-48.2=33.6, 所以第三次实验时葡萄糖的加入量为 33.6mL, 故答案为 33.6ml 。 考点:黄金分割法--0.618 法 点评:简单题,熟练掌握黄金分割法的基本概念及步骤是解答的关键。 10.1 【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(上海卷带解析) 【解析】 试题分析:由已知 , , 所以 x﹣2=0,x﹣y=1 所以 x=2,y=1. 考点:二阶行列式的定义 点评:本题考查了二阶行列式的展开式,考查了方程思想,是基础题 【答案】0 【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷带解析) 【解析】 2 2 2 0x y xy x y      . 【考点定位】考查矩阵的运算,属容易题。 12. y x n m      【来源】2012-2013 学年江苏淮安市涟水县第一中学高一下学期期末考试数学题(带解析) 【解析】 试题分析:根据矩阵乘法法则得, 0 1 1 0 x y y x m n n m               。 考点:矩阵乘法法则。 点评:简单题,应用矩阵乘法法则直接计算,属于基础题。 13.       3 2 1 1 【来源】2012-2013 学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题(带解析) 【解析】 试题分析:设 A= a b c d        ,则可知 a b c d              1 2 0 1 = 1 0 0 1        ,可知得到 A= 1 2 0 1       ,同理可 知 B= 1 1 1 0       ,则可知(AB)-1 =       3 2 1 1 考点:矩阵的乘法,逆矩阵 点评:利用矩阵的乘法法则及逆矩阵的求解,即可得到答案.属于基础题。 14. 2 6 4 5 14M      【来源】2016 届江苏省泰州市高三第一次模拟考试理科数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:由矩阵特征多项式得 2 ( 1) ( 5) 0x x      一个解为 2 ,因此 3x  ,再根 据矩阵运算得 2 6 4 5 14M      试题解析:解: 2   代入 2 1 2 ( 1) ( 5) 05 2 x x x               ,得 3x  矩阵 1 2 5 32 M         ∴ 2 6 4 5 14M      考点:特征多项式 15. 1 2 0 1A      【来源】2016 届江苏省扬州市高三上学期期末调研考试数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:利用转移法求轨迹方程,再根据对应求相关参数:设直线 : 1l x y  上任意一 点 ( , )M x y 在矩阵 A 的变换作用下,变换为点 ( , )M x y   ,则有 x mx ny y y       ,因为 1x y   所以 ( ) 1mx ny y   与 1 yxl: 重合,因此 1 1 1 m n     . 试题解析:解:设直线 : 1l x y  上任意一点 ( , )M x y 在矩阵 A 的变换作用下,变换为点 ( , )M x y   . 由 ' ' 0 1 x m n x mx ny y y y                        ,得 x mx ny y y       又点 ( , )M x y   在l上,所以 1x y   ,即 ( ) 1mx ny y   依题意 1 1 1 m n     ,解得 1 2 m n    , 1 2 0 1A       考点:矩阵变换 16.属于特征值 1 2  的一个特征向量 1 2 1       属于特征值 2 3  的一个特征向量 2 1 1       【来源】2016 届江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:由特征多项式为   21 2 5 61 4f        + =0 解得两个特征值 1 2  , 2 3  .再代入得对应特征方程组,因此属于特征值 1 2  的一个特征向量 1 2 1       ,属于 特征值 2 3  的一个特征向量 2 1 1       . 试题解析:矩阵 A 的特征多项式为   21 2 5 61 4f        + , 由   0f   ,解得 1 2  , 2 3  . 当 1 2  时,特征方程组为 2 0, 2 0, x y x y      故属于特征值 1 2  的一个特征向量 1 2 1       ; 当 2 3  时,特征方程组为 2 2 0, 0, x y x y      故属于特征值 2 3  的一个特征向量 2 1 1       . 考点:特征值及特征向量 17. 1 4 3 6      【来源】2016 届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷(带解析) 【解析】 试 题 分 析 : 列 方 程 组 1 1 331 1 3 a b c d                        , 1 9 2 15 a b c d                 解 得 1, 4, 3, 6a b c d      试题解析:解:设 a b c d      M ,则 1 1 331 1 3 a b c d                        ,故 3, 3 a b c d    + + . 1 9 2 15 a b c d                 ,故 2 9, 2 15 a b c d     + + . 联立以上两方程组解得 1, 4, 3, 6a b c d      ,故 M = 1 4 3 6      . 考点:矩阵特征值及特征向量 18. 2 28 4 1x xy y   【来源】2016 届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:实质利用转移法求轨迹方程:先确定矩阵 M ,由矩阵 M 有一个特征值为 2,得 矩阵 M 的特征多项式 ( ) ( )(( 1)f a     有一个解 2,所以 2a  .再设曲线C 在矩阵 M 变换下点 ( , )x y 变换为点 ( , )x y  ,由 2 0M 2 1 x x x y y y                        得 2 2 x x y x y       ,代入 2 2 1x y   得 2 28 4 1x xy y   试题解析:由题意,矩阵 M 的特征多项式 ( ) ( )(( 1)f a     , 因矩阵 M 有一个特征值为 2, (2) 0f  ,所以 2a  . 所以 2 0M 2 1 x x x y y y                        ,即 2 2 x x y x y       , 代入方程 2 2 1x y  ,得 2 2(2 ) (2 ) 1x x y   ,即曲线C 的方程为 2 28 4 1x xy y   .… 10 分 考点:矩阵特征值 19.A= 3 3 2 4 , A 的逆矩阵是 2 3 -1 2 -1 3 1 2 . 【来源】【百强校】2016 届江苏省扬州中学高三 12 月月考数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:由矩阵特征值的特征向量定义知 3 3 c d 1 1 =6 1 1 , 3 3 c d 3 -2 = 3 -2 , 解得关于 ,c d 方程组,联立即可. 试题解析:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α1= 1 1 可得, 3 3 c d 1 1 =6 1 1 , 即 c+d=6; 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为α2= 3 -2 ,可得 3 3 c d 3 -2 = 3 -2 , 即 3c-2d=-2. 解得 c=2, d=4.即 A= 3 3 2 4 , A 的逆矩阵是 2 3 -1 2 -1 3 1 2 . 考点:矩阵的运算. 20.(1) 1 2 3 2      (2)x2+y2=2. 【来源】【百强校】2016 届江苏省苏州中学高三上学期初考试数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:(1)由特征值与对应特征向量关系得: 1 2 b c      2 3      = 8 12      ,即 2+3b=8,2c+6 =12,b=2,c=3,所以 M= 1 2 3 2      .(2)由转移法求轨迹得,先设曲线上任一点 P(x,y) 在 M 作用下对应点 P′(x′,y′),则 x y      = 1 2 3 2      x y      ,解之得 2 3 4 y xx x yy       代入 5x2+8xy+4y2=1 得 x′2+y′2=2,即曲线 5x2 +8xy+4y2=1 在 M 的作用下的新曲线的方程是 x2+y2=2. 试题解析:解:(1)由已知 1 2 b c      2 3      = 8 12      ,即 2+3b=8,2c+6=12,b=2,c=3, 所以 M= 1 2 3 2      .(4 分) (2)设曲线上任一点 P(x,y),P 在 M 作用下对应点 P′(x′,y′),则 x y      = 1 2 3 2      x y      , 解之得 2 3 4 y xx x yy       代入 5x2+8xy+4y2=1 得 x′2+y′2=2, 即曲线 5x2+8xy+4y2=1 在 M 的作用下的新曲线的方程是 x2+y2=2.(10 分) 考点:特征值,特征向量,矩阵变换 21.点(0,5) 【来源】2014 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修 4-2 第 1 课时练习卷(带解析) 【解析】设点(x,y)是直线 x+y=5 上任意一点,在矩阵 0 0 1 1      的作用下点变换成(x′,y ′),则 0 0 1 1      x y      = ' ' x y      ,所以 ' 0 ' x y x y     .因为点(x,y)在直线 x+y=5 上,所以 y ′=x+y=5,故得到的图形是点(0,5). 22. 1 0 2 0      【来源】2014 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修 4-2 第 1 课时练习卷(带解析) 【解析】将平面内图形投影到直线 y=2x 上,即是将图形上任意一点(x,y)通过矩阵 M 作用 变换为(x,2x),则有 0 0 a b      x y      = 2 x x      ,解得 1 2. a b    =, = ∴T= 1 0 2 0      . 23.A′(2,0) 【来源】2014 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修 4-2 第 1 课时练习卷(带解析) 【解析】矩阵 1 0 0 2      表示横坐标保持不变,纵坐标沿 y 轴负方向拉伸为原来的 2 倍的伸 压变换,故点 A(2,0)变为点 A′(2,0) 24. 1 0 0 1      【来源】2014 年高考数学全程总复习课时提升作业七十五选修 4-2 第二节练习卷(带解析) 【解析】N2= 0 1 1 0      0 1 1 0      = 1 0 0 1      25.(1)MN= 1 2 3 4      0 1 1 3      = 2 5 4 9      ;(2)P( 5 2 , 1). 【来源】2014 届江苏南京金陵中学高三第一学期期中考试理科数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:(1)利用矩阵乘法公式计算即可;(2)两种方法:法一,利用 2 5 4 9      x y      = 0 1      , 转化为关于 ,x y 的二元一次方程,解出 ,x y ,即点 P 的坐标;法二,求出 MN 的逆矩阵,直 接计算 ,x y . 试题解析:(1)MN= 1 2 3 4      0 1 1 3      = 2 5 4 9      ; 5 分 (2)设 P(x,y),则 解法一: 2 5 4 9      x y      = 0 1      ,即 2 5 0 4 9 1 x y x y      解得 5 2 1 x y      即 P( 5 2 , 1). 10 分 解法二: 因为 12 5 4 9      = 9 5 2 2 2 1       .所以 x y      = 9 5 2 2 2 1       0 1      = 5 2 1        . 即 P( 5 2 , 1). 10 分 考点:矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算. 26. 1 1 2 2 2 5        【来源】2014 届江苏省苏州市高三暑假自主学习测试理科数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:先用待定系数法求出 1A ,再求出 1A B . 试题解析:设矩阵 A 的逆矩阵为 a b c d      ,则 2 0 1 0 0 1 0 1 a b c d                 , 1 分 即 2 2 1 0 0 1 a b c d           , 4 分 故 1 , 0, 0, 12a b c d    ,从而 A 的逆矩阵为 1 1 0 2 10 A     . 7 分 所以 1 1 1 10 1 1 2 2 21 2 50 2 5 A B                  . 10 分 考点:矩阵的乘法、逆矩阵. 27. 1 0   2 3    【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析) 【解析】设矩阵 A 的逆矩阵为 a c   b d   ,则 1 0   0 2   a c   b d   1 0   0 1   ,即 2 a c   1 2 0 b d      0 1   , ∴ 1a  , 0b  , 0c  , 1 2d  ,从而, A 的逆矩阵为 1 1 0 A     0 1 2     , ∴ 1 1 0 A B     0 1 2     1 0   2 6   1 0   2 3    . 【考点定位】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法,考查运算求解能力. 28. 1 2 3 5M      【来源】2012 届江苏省涟水中学高三上学期期中考试数学试题(带解析) 【解析】 试题分析:解:设 m nM p q      ,则由 2 4 2 0 3 5 0 1 M          2 2m n p q      (5 分) 则 2 2 2 4 3 5 m n p q       1 2 3 5 m n p q        ,即 1 2 3 5M      . (10 分) 考点:矩阵 点评:主要是考查了矩阵的求解的运用,属于基础题。 29.(1)A=    31 22 .(2) 2 0x y   【来源】2013 届福建省福建师大附中高三 5 月高考三轮模拟理科数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由已知得                   1 211 2 1 2 b a ,所以      , , 12 222 b a 2 分 解得      , , 3 2 b a 故 A=    31 22 . ……………………………………………………3 分 (Ⅱ) BA=     10 11    31 22 = 1 1 1 3      ,因为矩阵 BA 所对应的线性变换将直线变成直线(或 点),所以可取直线 1 0x y   上的两点(0,1),(-1,2), 4 分 1 1 0 1 1 3 1 3              , 1 1 0 1 1 3 1 1               ,由得:(0,1),(-1,2)在矩阵 A 所对应的线 性变换下的像是点(1,-3),(-1,-1) 6 分 从而直线 1 0x y   在矩阵 BA 所对应的线性变换下的像的方程为 2 0x y   . 7 分 考点:矩阵的概念和变换 点评:主要是考查了矩阵的计算以及变换的运用,属于基础题。 30.(1)   22 3= = 3 42 1 f            . 令  =0f  ,解得矩阵 A 的特征值 1 2= 1 =4  , . 【来源】2013 届福建省高三高考压轴理科数学试题(带解析) 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 解 :∵ 1A A = E ,∴   11 A = A . ∵ 1 1 3 4 4 1 1 2 2            A ,∴   11 2 3 2 1       A = A . ∴矩阵 A 的特征多项式为   22 3= = 3 42 1 f            . 令  =0f  ,解得矩阵 A 的特征值 1 2= 1 =4  , . 考点:本题主要考查矩阵、逆矩阵、矩阵特征值的概念。 点评:简单题,作为选考内容,难度不大,关键是掌握基本的概念及计算方法。
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