高中数学人教a版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评21 word版含答案

高中数学人教a版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评21 word版含答案

学业分层测评（二十一） (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．圆心为(1，－2)，半径为 3 的圆的方程是( ) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 【解析】 由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9. 【答案】 D 2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 过原点，则( ) A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2 C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0 【解析】 由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即 a2＋b2＝r2. 【答案】 B 3．(2016·湖南师大附中高一检测)圆 x2＋y2＝1 上的点到点 M(3,4)的距离的最 小值是( ) A．1 B．4 C．5 D．6 【解析】 圆心(0,0)到 M 的距离|OM|＝ 32＋42＝5，所以所求最小值为 5－1 ＝4. 【答案】 B 4．若直线 y＝ax＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1 的圆心 位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】 (－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到 a＜0， b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D 正确． 【答案】 D 5．(2016·兰州高一检测)当 a 为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0 恒过定 点 C，则以 C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( ) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 【解析】 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0. 由 x＋1＝0， －x－y＋1＝0， 得 x＝－1， y＝2， ∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋ (y－2)2＝5. 【答案】 C 二、填空题 6．若点 P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1 的外部，则 a 的取值范围为________． 【解析】 ∵P 在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2> 1 169 ，∴|a|> 1 13 ， 即 a> 1 13 或 a<－ 1 13. 【答案】 a> 1 13 或 a<－ 1 13 7．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 上的点到直线 x－y＝2 的距离的最大值是________． 【解析】 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 的圆心为(1,1)，圆心到直线 x－y＝2 的距离 为|1－1－2| 1＋1 ＝ 2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离， 即最大距离为 1＋ 2. 【答案】 1＋ 2 三、解答题 8．已知圆 C 过点 A(4,7)，B(－3,6)，且圆心 C 在直线 l：2x＋y－5＝0 上，求 圆 C 的方程. 【导学号：09960131】 【解】 法一：设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， ∵A，B∈圆 C，C∈l， ∴ 4－a2＋7－b2＝r2， －3－a2＋6－b2＝r2， 2a＋b－5＝0， 解得 a＝1， b＝3， r＝5. 故圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25. 法二：设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵C∈l， ∴2a＋b－5＝0，则 b＝5－2a， ∴圆心为 C(a,5－2a)． 由圆的定义得|AC|＝|BC|， 即 a－42＋5－2a－72 ＝ a＋32＋5－2a－62. 解得 a＝1，从而 b＝3，即圆心为 C(1,3)，半径 r＝|CA|＝ 4－12＋7－32＝ 5. 故圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25. 9．求圆 x－1 2 2＋(y＋1)2＝5 4 关于直线 x－y＋1＝0 对称的圆的方程． 【解】 圆 x－1 2 2＋(y＋1)2＝5 4 的圆心为 M 1 2 ，－1 ，半径 r＝ 5 2 .设所求圆的 圆心为(m，n)， ∵它与 1 2 ，－1 关于直线 x－y＋1＝0 对称， ∵ n＋1 m－1 2 ×1＝－1， m＋1 2 2 －n－1 2 ＋1＝0， 解得 m＝－2， n＝3 2. ∴所求圆的圆心坐标为 －2，3 2 ，半径 r＝ 5 2 . ∴对称圆的方程是(x＋2)2＋ y－3 2 2＝5 4. [能力提升] 10．已知两点 A(－1,0)，B(0,2)，点 P 是圆(x－1)2＋y2＝1 上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( ) A．2，1 2(4－ 5) B.1 2(4＋ 5)，1 2(4－ 5) C. 5，4－ 5 D.1 2( 5＋2)，1 2( 5－2) 【解析】 点 A(－1,0)，B(0,2)所在的直线方程为 2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2 ＝1 的圆心到直线的距离为 |2－0＋2| 22＋－12 ＝4 5 5 ，又|AB|＝ 5，所以△PAB 面积的最 大值为1 2 × 5× 4 5 5 ＋1 ＝1 2(4＋ 5)，最小值为1 2 × 5× 4 5 5 －1 ＝1 2(4－ 5)，选 B. 【答案】 B 11．设 P(0,0)，Q(5,0)，R(0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方 程. 【导学号：09960132】 【解】 |PQ|＝5，|PR|＝12，|QR|＝13， ∴|PQ|2＋|PR|2＝|QR|2， ∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角， ∴内切圆的半径 r1＝5＋12－13 2 ＝2， 圆心为 C1(2，－2)． ∴内切圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4. ∵外接圆的半径 r2＝13 2 ， 圆心为 C2 5 2 ，－6 ， ∴外接圆的方程为 x－5 2 2＋(y＋6)2＝169 4 .