高中数学人教a版选修2-2(课时训练):1.5 定积分的概念

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高中数学人教a版选修2-2(课时训练):1.5 定积分的概念

1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 1.5.3 定积分的概念 [学习目标] 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程. 3.了解定积分的概念. 4.了解定积分的几何意义和性质. [知识链接] 1.如何计算下列两图形的面积? 答 ①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解. 2.求曲边梯形面积时,对曲边梯形进行“以直代曲”,怎样才能尽量减小求得的曲边梯形 面积的误差? 答 为了减小近似代替的误差,需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”,而且分 割的曲边梯形数目越多,得到的面积的误差越小. 3.当 f(x)在区间[a,b]上且 f(x)<0 时,错误!f(x)dx 表示的含义是什么? 答 当 f(x)在区间[a,b]上值小于零时,错误!f(x)dx 表示由 y=f(x),x=a,x=b,y=0 所围 成的图形的面积的相反数. [预习导引] 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如 图①所示). (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形 “以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近 似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示). (3)求曲边梯形面积的步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限. 2.求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动,速度函数 v=v(t),那么也可以采用分割,近似代替,求和,取 极限的方法,求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. 3.定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0 ②< 1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤: (1)分割:n 等分区间[a,b]; (2)近似代替:取点ξi∈[xi-1,xi]; (3)求和:错误!(ξi)·b-a n ; (4)取极限:S=li mn→∞ 错误!(ξi)·b-a n .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形,为了 计算方便,可以取区间上的一些特殊点,如区间的端点(或中点). 2.定积分 错误!f(x)dx 是一个和式 错误!b-a n f(ξi)的极限,是一个常数. 3.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分;对于一些特殊函数,也可以利 用几何意义求定积分. 4.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算. 一、基础达标 1.当 n 很大时,函数 f(x)=x2 在区间 i-1 n ,i n 上的值,可以近似代替为( ) A.f 1 n B.f 2 n C.f i n D.f(0) 答案 C 2.一物体沿直线运动,其速度 v(t)=t,这个物体在 t=0 到 t=1 这段时间内所走的路程为 ( ) A.1 3 B.1 2 C.1 D.3 2 答案 B 解析 曲线 v(t)=t 与直线 t=0,t=1,横轴围成的三角形面积 S=1 2 即为这段时间内物体所 走的路程. 3.由直线 x=1,y=0,x=0 和曲线 y=x3 所围成的曲边梯形,将区间 4 等分,则曲边梯形 面积的近似值(取每个区间的右端点)是( ) A. 1 19 B.111 256 C.11 27 D.25 64 答案 D 解析 将区间[0,1]四等分,得到 4 个小区间:0,1 4 , 1 4 ,1 2 , 1 2 ,3 4 , 3 4 ,1 , 以每个小区间右端点的函数值为高,4 个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值 S= 1 4 3×1 4 + 1 2 3×1 4 + 3 4 3×1 4 +13×1 4 =25 64. 4.下列命题不正确的是( ) A.若 f(x)是连续的奇函数,则错误!-af(x)dx=0 B.若 f(x)是连续的偶函数,则错误!-af(x)dx=2错误!f(x)dx C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则 错误!f(x)dx>0 D.若 f(x) 在[a,b]上连续且 错误!f(x)dx>0,则 f(x)在[a,b]上恒正 答案 D 解析 对于 A,f(-x)=-f(x),错误!-af(x)dx=错误!-af(x)dx+错误!f(x)dx=-∫a0f(x)dx+ 错误!f(x)dx=0,同理 B 正确;由定积分的几何意义知,当 f(x)>0 时,错误!f(x)dx>0 即 C 正 确;但 错误!f(x)dx>0,不一定有 f(x)恒正,故选 D. 5.已知 错误!xdx=2,则错误!-txdx 等于________. 答案 -2 解析 ∵f(x)=x 在[-t,t]上是奇函数, ∴错误!-txdx=0.而错误!-txdx=错误!-txdx+错误!xdx, 又 错误!xdx=2,∴错误!-txdx=-2. 6.由 y=sin x,x=0,x=-π,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 S=________. 答案 -错误!-πsin xdx 解析 由定积分的意义知,由 y=sin x,x=0,x=-π,y=0 围成图形的面积为 S=-错误! -π sin xdx. 7.求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的面积. 解 令 f(x)=x2. (1)分割 将区间[0,2]n 等分,分点依次为 x0=0,x1=2 n ,x2=4 n ,…,xn-1=2n-1 n ,xn=2. 第 i 个区间为 2i-2 n ,2i n (i=1,2,…,n),每个区间长度为Δx=2i n -2i-2 n =2 n. (2)近似代替、求和 取ξi=2i n(i=1,2,…,n), Sn=错误! 2i n ·Δx=错误! 2i n 2·2 n = 8 n3 错误!2 = 8 n3(12+22+…+n2) = 8 n3·nn+12n+1 6 =4 3 2+3 n + 1 n2 . (3)取极限 S=li mn→∞Sn=li mn→∞ 4 3 2+3 n + 1 n2 =8 3 , 即所求曲边梯形的面积为8 3. 二、能力提升 8.已知 f(x)=x3-x+sin x,则错误!-2f(x)dx 的值为( ) A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.不确定 答案 A 解析 易知 f(x)为奇函数,由奇函数的性质错误!-2f(x)dx=-错误!f(x)dx,而错误!-2f(x)dx =错误!-2f(x)dx+错误!f(x)dx=0. 9.设 a=错误!x1 3dx,b=错误!x2 dx,c=错误!x3 dx,则 a,b,c 的大小关系是( ) A.c>a>b B.a>b>c C.a=b>c D.a>c>b 答案 B 解析 根据定积分的几何意义,易知 错误!x3dx<错误!x2dx<错误!x1 3dx,a>b>c,故选 B. 10.设 f(x)是连续函数,若 错误!f(x)dx=1,错误!f(x)dx=-1,则 错误!f(x)dx=________. 答案 -2 解析 因为 错误!f(x)dx=错误!f(x)dx+错误!f(x)dx, 所以 错误!f(x)dx=错误!f(x)dx-错误!f(x)dx=-2. 11.已知∫π 20sin xdx=错误!sin xdx=1,∫π 20x2dx=π3 24 ,求下列定积分: (1)错误!sin xdx;(2)∫π 20(sin x+3x2)dx. 解 (1)错误!sin xdx=∫π 20sin xdx+错误!sin xdx=2. (2)∫π 20(sin x+3x2)dx=∫π 20sin xdx+3∫π 20x2dx=1+π3 8 . 12.已知函数 f(x)= x3,x∈[-2,2 2x,x∈[2,π cos x,x∈[π,2π] ,求 f(x)在区间[-2,2π]上的定积分. 解 由定积分的几何意义知 错误!-2x3dx=0,错误!2xdx=π-22π+4 2 =π2-4, ∫2ππ cos xdx=0, 由定积分的性质得 错误!f(x)dx=错误!-2x3dx+错误!2xdx+∫2ππ cos xdx =π2-4. 三、探究与创新 13.利用定积分的定义计算错误!(-x2+2x)dx 的值,并从几何意义上解释这个值表示什么. 解 令 f(x)=-x2+2x. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个分点,把区间[1,2]等分为 n 个小区间 1+i-1 n ,1+i n (i =1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx=i n -i-1 n =1 n. (2)近似代替、作和 取ξi=1+i n(i=1,2,…,n),则 Sn=错误! 1+i n ·Δx =错误! - 1+i n 2+2 1+i n ·1 n =- 1 n3 [n+12+n+22+n+32+…+2n2]+ 2 n2[(n+1)+(n+2)+(n+3)+…+2n] =- 1 n3 2n2n+14n+1 6 -nn+12n+1 6 + 2 n2·nn+1+2n 2 =-1 3 2+1 n 4+1 n +1 6 1+1 n 2+1 n +3+1 n , (3)取极限 错误!(-x2+2x)dx=li mn→∞Sn=li mn→∞ -1 3 2+1 n 4+1 n + 1 6 1+1 n 2+1 n +3+1 n =2 3 , 错误!(-x2+2x)dx=2 3 的几何意义为由直线 x=1,x=2,y=0 与曲线 f(x)=-x2+2x 所围成的 曲边梯形的面积.
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