山东省聊城市2021届高三第一学期期中考试数学试卷

山东省聊城市2021届高三第一学期期中考试数学试卷

２０２０—２０２１ 学年度第一学期期中教学质量检测 高三数学试题 本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题)两部分.满分 １５０ 分.考试用时 １２０ 分钟. 注意事项: １． 答题前,考生务必用 ０．５ 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到 答题卡和试卷规定的位置上. ２． 第 Ⅰ 卷每小题选出答案后,用 ２B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. ３． 第 Ⅱ 卷必须用 ０．５ 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应 的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带. 不按以上要求作答的答案无效. 第 Ⅰ 卷 　 选择题( ６０ 分) 一、单项选择题:本题共 ８ 小题,每小题 ５ 分,共 ４０ 分 ． 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 ． １． 已知集合 A＝{x|x－１＞０},B＝{y|y＝２ x －１},则 A∪B＝ (　　) A．(１,＋∞)　　　　B．(－１,＋∞)　　　　C．(－∞,－１)　　　　D．(－∞,１) ２． 如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若复数z＝１＋ai ２i 为“等部复 数”,则实数a 的值为 (　　) A．－１ B．０ C．１ D．２ ３． 已知条件 p:x２ ＋x－２＞０,条件q:x＜a,若 p 是 q 的必要不充分条件,则a 的取值范围是 (　　) A．a≥１ B．a≤１ C．a≥－２ D．a≤－２ ４． 已知函数y＝f(x)的图象如图所示,则此函数可能是 (　　) A．f(x)＝cosxŰlnx B．f(x)＝cosxŰln|x| C．f(x)＝－cosxŰln|x| D．f(x)＝|cosxlnx| ５． 刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家,他提出“割圆求周”方法:当n 很 大时,用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很 )页 ６ 共(页 １ 第题试学数三高 高的圆周率 π≈３．１４１６． 在«九章算术注»中总结出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不 可割,则与圆周合体而无所失矣”的极限思想,可以说他是中国古代极限思想的杰出代表 ． 运 用此思想,当 π 取 ３．１４１６ 时可得 cos８９° 的近似值为 (　　) A．０．００８７３ B．０．０１７４５ C．０．０２６１８ D．０．０３４９１ ６． 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞０,|φ|＜ π ２)的图象如图所示,为了得到g(x)＝sin(３x－ π ４)的 图象,只需将f(x)的图象 (　　) A． 向右平移π ６ 个单位长度 B． 向左平移π ６ 个单位长度 C． 向右平移π ２ 个单位长度 D． 向左平移π ２ 个单位长度 ７． 若函数f(x)为 定义在 R 上的偶函数,且 在 (０,＋ ∞)内 是 增 函 数,又 f(２)＝０,则 不 等 式 xf(x－１)＞０ 的解集为 (　　) A．(－∞,－２)∪(０,２) B．(－１,１)∪(３,＋∞) C．(－１,０)∪(３,＋∞) D．(－２,０)∪(２,＋∞) ８． 已知a,b∈R,ex ≥ax＋b 对任意的x∈R 恒成立,则ab 的最大值为 (　　) A．１e B．１ C．２ D． e ２ 二、多项选择题:本题共 ４ 小题,每小题 ５ 分,共 ２０ 分 ． 在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求 ． 全部选对的得 ５ 分,部分选对的得 ３ 分,有选错的得 ０ 分 ． ９． 已知a,b∈R,下列说法正确的有 (　　) A． 若a＞b,则１a２＜１b２ B． 若a＞b,则a３ ＞b３ C． 若ab＝１,则a＋b≥２ D． 若a２ ＋b２ ＝１,则ab≤１ ２ １０． 某大学进行强基计划招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试 ． 学校对参加测 试的 ２００ 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名 ． 其中甲、 乙、丙三位同学的排名情况如图所示: )页 ６ 共(页 ２ 第题试学数三高 则下面判断中一定正确的是 (　　) A． 甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B． 乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 C． 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 D． 甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,丙同学更靠前 １１． 已知向量e１,e２ 是平面α 内的一组基向量,O 为α 内的定点,对于α 内任意一点P,当OP→＝x e１＋ye２ 时,则称有序实数对(x,y)为点 P 的广义坐标．若点 A、B(异于点O)的广义坐标分 别为(x１,y１),(x２,y２),关于下列命题正确的是 (　　) A． 线段 A、B 的中点的广义坐标为( x１＋x２ ２ , y１＋y２ ２ ) B．A、B 两点间的距离为 (x１－x２)２ ＋(y１－y２)２ C． 向量OA→平行于向量OB→的充要条件是x１y２＝x２y１ D． 向量OA→垂直于OB→的充要条件是x１x２＋y１y２＝０ １２． 已知 △ABC 的内角A,B,C 的对边长a,b,c 成等比数列,cos(A－C)＝cosB＋１ ２,延长BA 至D．则下面结论正确的是 (　　) A．A＝π ６ B．B＝π ３ C． 若CD＝３,则 △ACD 周长的最大值为 ２ ３＋３ D． 若BD＝４,则 △ACD 面积的最大值为 ３ )页 ６ 共(页 ３ 第题试学数三高 第 Ⅱ 卷 　 非选择题( ９０ 分) 三、填空题:本题共 ４ 小题,每小题 ５ 分,共 ２０ 分 ． １３． 若曲线f(x)＝xsinx 在x＝ π ２ 处的切线与直线ax－y＋１＝０ 平行,则实数a＝ ． １４． 已 知 △ABC 中,AC ＝１,BC ＝ ３,AB ＝２,点 M 是 线 段 AB 的 中 点,则CM→ ŰCA→ ＝ ． １５．２０２０ 年疫情期间,某医院 ３０ 天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{an },己 知a１＝１,a２＝２,且满足an＋２－an ＝１－(－１) n ,则该医院 ３０ 天内因患新冠肺炎就诊的人数 共有 ． １６． 设f(x)＝ |１nx|,０＜x≤３ f(６－x),３＜x＜６ { ,若方程f(x)＝m 有四个不相等的实根xi(i＝１,２,３,４),则 m 的取值范围为 ;x２ １ ＋x２ ２ ＋x２ ３ ＋x２ ４ 的最小值为 ． (第一空 ２ 分,第二 空 ３ 分) 四、解答题:本题共 ６ 小题,共 ７０ 分 ． 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ． １７． (本小题满分 １０ 分) 在 △ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a(cosB＋cosC)＝(b＋c)cosA,S△ABC ＝１０ ３． (１)若 △ABC 还同时满足下列三个条件中的两个:①a＝７,②b＝１０,③c＝８,请指出这两个 条件,并说明理由; (２)若a＝２ ６,求 △ABC 的周长． )页 ６ 共(页 ４ 第题试学数三高 １８． (本小题满分 １２ 分) Sn 为等差数列{an }的前n 项和,且a１＝２,S７＝３５,记bn ＝[lgan ],其中[x]表示不超过x 的 最大整数,如[０．９]＝０,[１g９９]＝１． (１)求b１,b１１,b１０１; (２)求数列{bn }的前 ２０２０ 项和． １９． (本小题满分 １２ 分) 已知函数f(x)＝log３(３ x ＋１)＋kx(k∈R)是偶函数． (１)求k 的值; (２)若不等式f(x)－１ ２ x－a≤０ 对x∈[０,＋∞)恒成立,求实数a 的取值范围． ２０． (本小题满分 １２ 分) 已知函数f(x)＝２sin(ωx＋φ)(ω＞０,|φ|＜ π ２)的图像与直线y＝２ 两相邻交点之间的距离 为π,且图像关于x＝ π １２ 对称． (１)求y＝f(x)的解析式; (２)令函数g(x)＝f(x)＋１,且y＝g(x)在[０,a]上恰有 １０ 个零点,求a 的取值范围． )页 ６ 共(页 ５ 第题试学数三高 ２１． (本小题满分 １２ 分) 　　 某一企业为了进一步增加市场竞争力,计划在 ２０２１ 年利用新技术生产某款智能手机 ． 通 过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本 ２００ 万元,每生产x(千部)手机,需另投入 成本P(x)万 元,且 P (x)＝ ５x２ ＋１００x,０＜x＜５０ ５０１x＋８１００x －１０３８０,x≥５０ ì î í ïï ïï ,由 市 场 调 研 知,每 部 手 机 售 价 ５０００ 元,且全年内生产的手机若不超过 １００(千部)则当年能全部销售完． (１)求出 ２０２１ 年的利润y(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润 ＝ 销售额 － 成本); (２)２０２１ 年年产量x(千部)为多少时,企业所获利润最大? 最大利润是多少? ２２． (本小题满分 １２ 分) 已知函数f(x)＝ex －１－asinx(a∈R)． (１)当a＝１ 时,判断f(x)在(０,＋∞)的单调性; (２)当x∈[０,π]时,f(x)≥０ 恒成立,求实数a 的取值范围． )页 ６ 共(页 ６ 第题试学数三高 ２０２０—２０２１ 学年度第一学期期中教学质量检测 高三数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题: BADC　BACD二、多项选择题: ９．BD　１０．ABC　１１．AC　１２．BCD三、填空题: １３．１　１４．１ ２　１５．２５５　１６．(０,ln３),５０ 四、解答题 １７． 解:因为a(cosB＋cosC)＝(b＋c)cosA,所以 sinA(cosB＋cosC)＝(sinB＋sinC)cosA,所 以 sin(A－B)＝sin(C－A)．又因为A,B,C∈(０,π),所以A－B＝C－A,即 ２A＝B＋C,所 以 A＝ π ３ ．因为S△ABC ＝１０ ３,所以S△ABC ＝１ ２ bcsinA＝１ ２ bc× ３ ２ ＝１０ ３,所以bc＝４０． ２ 分 ƺ ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 选条件 ①②:因为 a sinA＝ b sinB,所以 ７ ３ ２ ＝ １０ sinB,所以 sinB＝５ ３ ７ ＞１,这不可能,所以 △ABC 不能同时满足 ①③, ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ选条件 ②③:这与bc＝４０ 矛盾．所以 △ABC 不能同时满足 ②③． ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ选条件 ①③:因为a２ ＝b２ ＋c２ －２bccosA, 所以 ７ ２ ＝b２ ＋８ ２ －２×b×８×cos π ３,所以b＝３ 或b＝５,又因为bc＝４０,所以b＝５,所以 △ABC 同时满足 ①②． ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)由(２ ６)２ ＝b２ ＋c２ －２bccos π ３＝(b＋c)２ －３bc＝(b＋c)２ －１２０, ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以b＋c＝１２, ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以周长为 １２＋２ ６． １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １８．解:(１)由题意得,所以S７＝７(a１＋a７) ２ ＝７a４＝３５,所以a４＝５ 又因为a１＝２,所以d＝１,所 以an ＝n＋１． ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以bn ＝[lg(n＋１)],所以b１＝０,b１１＝１,b１０１＝２． ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)bn ＝[lg(n＋１)],当an ∈[２,１０)时,bn ＝０; ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当an ∈[１０,１００)时,bn ＝１; ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当an ∈[１００,１０００)时,bn ＝２; ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当an ∈[１０００,２０２０]时,bn ＝３; ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以T２０２０＝０×８＋１×９０＋２×９００＋３×１０２１＝４９５３． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １９．解:(１)因为y＝f(x)偶函数,所以 ∀x∈R,f(－x)＝f(x),即 log３(３ －x ＋１)－kx＝log(３ x ＋１)＋kx 对 ∀x∈R 恒成立． ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 于是 ２kx＝log(３ －x ＋１)－log３(３ x ＋１)＝log３３ －x ＋１ ３ x ＋１ ＝log３３ －x ＝－x 恒成立, 而x 不恒为零,所以k＝－１ ２ ． ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)因为不等式f(x)－１ ２ x－a≤０ 对x∈[０,＋∞)恒成立, 即a≥log３(３ x ＋１)－x 在区间[０,＋∞)上恒成立, 令g(x)＝log３(３ x ＋１)－x＝log３(１＋１ ３ x ), １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ )页 ２ 共(页 １ 第案答考参题试学数三高 因为 １＜１＋１ ３ x ≤２,所以g(x)＝log３(１＋１ ３ x )≤log３２,所以a≥log３２, 所以a 的取值范围是[log３２,＋∞) １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２０．解:(１)由已知可得T＝π,２π ω ＝π,∴ω＝２ ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又f(x)的图象关于x＝ π １２ 对称,所以 ２× π １２＋φ＝kπ＋ π ２,k∈Z ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∵－ π ２＜φ＜ π ２,∴φ＝ π ３ ． ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以f(x)＝２sin(２x＋ π ３) ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)令g(x)＝０,求得 sin(２x＋ π ３)＝－１ ２, 要使y＝g(x)在[０,a]上恰有 １０ 个零点,则 ５×２π－ π ６≤２a＋ π ３＜５×２π＋π＋ π ６, １０ 分ƺƺƺ 解得１９π ４ ≤a＜６５π １２ ． 所以a 的取值范围是[１９π ４ ,６５π １２ )． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２１．解:(１)当 ０＜x＜５０ 时,y＝５００x－(５x２ ＋１００x)－２００＝－５x２ ＋４００x－２００; ２ 分ƺƺƺ 当 ５０≤x≤１００ 时,y＝５００x－(５０１x＋８１００x －１０３８０)－２００＝－(x＋８１００x )＋１０１８０, ４ 分 ƺƺ ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴y＝ －５x２ ＋４００x－２００,０＜x＜５０ －(x＋８１００x )＋１０１８０,５０≤x≤１００{ ． ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)若 ０＜x＜５０,y＝－５(x－４０)２ ＋７８００,当x＝４０ 时,ymax＝７８００ 万元． ８ 分ƺƺƺƺƺ 若 ５０≤x≤１００,y＝－(x＋８１００x )＋１０１８０≤１０１８０－２ ８１００＝１００００, 当且仅当x＝８１００x 时,即x＝９０ 时,ymax＝１００００ 万元． １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴２０２１ 年年产量为 ９０ 千部时,企业所获利润最大,最大利润是 １００００ 万元． １２ 分ƺƺƺƺ ２２．解:(１)当a＝１ 时,f(x)＝ex －１－sinx,所以f′(x)＝ex －cosx １ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ当x∈(０,＋∞)时,ex ＞１,cosx≤１,所以f′(x)＞０． ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ所以f(x)在(０,＋∞)上单调递增． ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)因为f(x)＝ex －１－asinx(a∈R),所以f′(x)＝ex －acosx,设h(x)＝f′(x),h′(x)＝ex ＋asinx,当a≤０ 时,即 －a≥０ 时,因为x∈[０,π],sinx≥０,所以 －asinx≥０,而ex －１≥０,所以ex －１－asinx≥０,即f(x)≥０ 恒成立, ６ 分ƺƺƺƺ当 ０＜a≤１ 时,h′(x)＝ex ＋asinx≥０,所以f′(x)在[０,π]上递增,而f′(０)＝１－a≥０,所以f′(x)≥f′(０)＝０,所以f(x)在[０,π]上递增,即f(x)≥f(０)＝０ 成立, ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 当a＞１ 时,h′(x)＝ex ＋asinx≥０,所以f′(x)在[０,π]上递增,而f′(０)＝１－a＜０,f′( π ２) ＝e π ２ ＞０,所以存在x０∈[０,π],有f′(x０)＝０,当 ０＜x＜x０ 时,f′(x)＜０,f(x)递减,当x０＜x＜π 时,f′(x)＞０,f(x)递增,所以当x＝x０ 时,f(x)取得最小值,最小值为f(x０),而f(x０)＜f(０)＝０,不成立． １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ综上:实数a 的取值范围是(－∞,１]． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ )页 ２ 共(页 ２ 第案答考参题试学数三高