2020-2021学年新高一新生入学分班考数学试卷(三)

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2020-2021学年新高一新生入学分班考数学试卷(三)

2020-2021 学年新高一新生入学分班考数学试卷(三) 一、单选题(共 8 小题,满分 40 分,每小题 5 分) 1、已知集合 { | 0}A x x a  ,若 2 A ,则 a 的取值范围为( ) A. ( , 2]  B. ( ,2] C.[2, ) D.[ 2, )  【答案】C 【解析】因为集合 { | 0}A x x a  ,所以  |A x x a , 又因为 2 A ,则 2a ,即 [2, )a  ,故选: C . 2、函数   12 1 2f x x x     的定义域为( ) A. 0,2 B. 2, C.  1 ,2 2,2      D.   ,2 2,  【答案】C 【解析】由 2 1 0 2 0 x x      ,解得 x≥ 1 2 且 x≠2. ∴函数   12 1 2f x x x     的定义域为  1 ,2 2,2      .故选:C. 3、下列命题正确的是( ) A.若 >a b ,则 1 1 a b  B.若 >a b ,则 2 2a b C.若 >a b , c d ,则 >a c b d  D.若 >a b , >c d ,则 >ac bd 【答案】C 【解析】A.若 >a b ,则 1 1 a b  ,取 1, 1a b   不成立 B.若 >a b ,则 2 2a b ,取 0, 1a b   不成立 C. 若 >a b , c d ,则 >a c b d  ,正确 D. 若 >a b , >c d ,则 >ac bd ,取 1, 1, 1, 2a b c d      不成立,故答案选 C 4、已知函数 2 ,0 1, ( ) 2,1 2, 1 , 2,2 x x f x x x           ,则 3[ ( )]2f f f    的值为( ) A.1 B.2 C. 3 D. 1 2 【答案】A 【解析】由题意得, 3( )=22f , 1(2)= 2f , 1( )=2 =11 2 2f  , 所以 3[ ( )] = [ (2)]= ( )=12 1 2f f f f f f    ,故选:A. 5、已知 2x  ,函数 4 2y xx   的最小值是( ) A.5 B.4 C.8 D.6 【答案】D 【解析】因为该函数的单调性较难求,所以可以考虑用不等式来求最小值, ,因为 ,由重要不等式可知 ,所以 ,本题正确选项为 D. 6、下列函数既是偶函数,又在  ,0 上单调递减的是( ) A. 2 xy  B. 2 3y x   C. 1y xx   D.  2ln 1y x  【答案】A 【解析】对于 A 选项, 2 xy  为偶函数,且当 0x  时, 12 2 x xy   为减函数,符合题意. 对于 B 选项, 2 3y x   为偶函数,根据幂函数单调性可知 2 3y x   在 ,0 上递增,不符合题意. 对于 C 选项, 1y xx   为奇函数,不符合题意. 对于 D 选项,  2ln 1y x  为偶函数,根据复合函数单调性同增异减可知,  2ln 1y x  在区间 ,0 上单调递减,符合题意.故选:A 7、若正数 ,x y 满足 2 2 0x xy   ,则3x y 的最小值是( ) A. 4 B. 2 2 C. 2 D. 4 2 【答案】A 【解析】因为正数 ,x y 满足 2 2 0x xy   ,所以 2 y xx , 所以 2 23 2 2 2 4     x y x xx x ,当且仅当 22x x  ,即 1x  时,等号成立. 故选:A 8、函数 ( )f x 在 ( , )  单调递减,且为奇函数.若 (1) 1f   ,则满足 1 ( 2) 1f x    的 x 取值范围是 ( ) A.[ 2,2] B.[ 1,1] C.[0,4] D.[1,3] 【答案】D 【解析】 ( )f x 为奇函数, ( ) ( )f x f x    . (1) 1f   , ( 1) (1) 1f f     . 故由 1 ( 2) 1f x    ,得 (1) ( 2) ( 1)f f x f    . 又 ( )f x 在 ( , )  单调递减, 1 2 1x    , 1 3x   .故选:D 二、多选题(共 4 小题,满分 200 分,每小题 5 分) 9、下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( ) A. 1 3( 1) 和 2 6( 1) B. 20 和 1 20 C. 1 22 和 4 1 4 D. 3 24  和 31 2      E. 3 4 3 和 4 3 1 3  【答案】CE 【解析】A 不符合题意, 1 3( 1) 和 2 6( 1) 均符合分数指数幂的定义,但 1 3 3( 1) 1 1     , 2 66 2( 1) ( 1) 1    ; B 不符合题意,0 的负分数指数幂没有意义; C 符合题意, 1 1 4 24 24 2 2  ; D 不符合题意, 3 24  和 31 2      均符合分数指数幂的定义,但 2 3 3 2 1 14 84    , 3 31 2 82       ; E 符合题意, 4 3 4 3 1 3 3   .故选:CE. 10、对任意实数 a ,b , c ,给出下列命题,其中真命题是( ) A.“ a b ”是“ ac bc ”的充要条件 B.“ a b ”是“ 2 2a b ”的充分条件 C.“ 5a  ”是“ 3a  ”的必要条件 D.“ 5a  是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件 【答案】CD 【解析】对于 A,因为“ a b ”时 ac bc 成立, ac bc , 0c = 时, a b 不一定成立,所以“ a b ”是 “ ac bc ”的充分不必要条件,故 A 错,对于 B, 1a   , 2b   , a b 时, 2 2a b ; 2a   , 1b  , 2 2a b 时, a b ,所以“ a b ”是“ 2 2a b ”的既不充分也不必要条件,故 B 错,对于 C,因为“ 3a  ”时 一定有“ 5a  ”成立,所以“ 5a  ”是“ 3a  ”的必要条件,C 正确;对于 D“ 5a  是无理数”是“ a 是无理数” 的充要条件,D 正确.故选:CD 11、下面命题正确的是( ) A.“ 1a  ”是“ 1 1a  ”的充分不必要条件 B.命题“若 1x  ,则 2 1x  ”的否定是“ 存在 1x  ,则 2 1x  ”. C.设 ,x y R ,则“ 2x  且 2y  ”是“ 2 2 4x y  ”的必要而不充分条件 D.设 ,a bR ,则“ 0a  ”是“ 0ab  ”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】选项 A:根据反比例函数的性质可知:由 1a  ,能推出 1 1a  ,但是由 1 1a  ,不能推出 1a  ,例如当 0a  时,符合 1 1a  ,但是不符合 1a  ,所以本选项是正确的; 选项 B: 根据命题的否定的定义可知:命题“若 1x  ,则 2 1x  ”的 否 定 是“ 存 在 1x  ,则 2 1x  ”.所以本 选项是正确的; 选项 C:根据不等式的性质可知:由 2x  且 2y  能推出 2 2 4x y  ,本选项是不正确的; 选项 D: 因为b 可以等于零,所以由 0a  不能推出 0ab  ,再判断由 0ab  能不能推出 0a  ,最后判断本选 项是否正确.故选:ABD 12、已知函数    2lg 1f x x ax a    ,给出下述论述,其中正确的是( ) A.当 0a  时,  f x 的定义域为   , 1 1,  U B.  f x 一定有最小值; C.当 0a  时,  f x 的值域为 R ; D.若  f x 在区间 2, 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 4|a a   【答案】AC 【解析】对 A,当 0a  时,解 2 1 0x   有    , 1 1,x    ,故 A 正确 对 B,当 0a  时,    2lg 1f x x  ,此时    , 1 1,x    ,  2 1 0,x    , 此时    2lg 1f x x  值域为 R ,故 B 错误. 对 C,同 B,故 C 正确. 对 D, 若  f x 在区间 2, 上单调递增,此时 2 1y x ax a    对称轴 22 ax    . 解得 4a   .但当 4a   时    2lg 4 3f x x x   在 2x  处无定义,故 D 错误. 故选 AC 三、填空题(共 4 小题,满分 20 分,每小题 5 分,一题两空,第一空 2 分) 13、正实数 ,x y 满足: 2 1x y  ,则 2 1 x y  的最小值为_____. 【答案】9 【解析】  2 1 2 1 2 2 2 22 5 5 2 5 2 4 9y x y xx yx y x y x y x y                , 当且仅当 1 3x y  时取等号.故答案为:9. 14、若幂函数图像过点 (8,4) ,则此函数的解析式是 y  ________. 【答案】 2 3x 【解析】设幂函数的解析式为 y x , 由于函数图象过点 (8,4) ,故有 4 8 ,解得 2 3   , 所以该函数的解析式是 2 3y x ,故答案为: 2 3x . 15、函数   2 4 3 6 x xf x x    的值域为__________. 【答案】 ,16 6 7 16 6 7,      【解析】设 2 16 63 636 , 6, ( ) 16t tx t x t g t tt t          , 当 0t  时, ( ) 6 7 16g t   , 当且仅当 3 7, 3 7 6t x   时等号成立; 同理当 0t  时, ( ) 6 7 16g t    , 当且仅当 3 7, 3 7 6t x     时等号成立; 所以函数的值域为 ,16 6 7 16 6 7,      . 故答案为:  ,16 6 7 16 6 7,      . 16、已知函数     1 1 2 3 1 2 1x a x a xf x x       的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是_____. 【答案】 10, 2     【解析】当 1x  时,   12xf x  ,此时值域为 1, 若值域为 R ,则当 1x  时.    1 2 3f x a x a   为单调递增函数,且最大值需大于等于 1,即 1 2 0 1 2 3 1 a a a       ,解得 10 2a  ,故答案为: 10, 2     四、解答题(共 6 小题,满分 70 分,第 17 题 10 分,其它 12 分) 17、已知集合 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x2+x-6≤0}.若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 【解析】 B={x|x2+x-6≤0} ={x|(x+3)(x-2)≤0} ={x|-3≤x≤2} =[-3,2]. 因为 A∪B=B,所以 A ⊆ B. ①当 A= ∅ 时,2a>a+3, 解得 a>3; ②当 A≠ ∅ ,即 a≤3 时, 因为 A=[2a,a+3], 所以 2a≥-3, a+3≤2, 解得-3 2≤a≤-1, 综上,实数 a 的取值范围为 -3 2 ,-1 ∪(3,+∞). 18、已知  2 2| 3 2 0, 0A x x ax a a     ,  2| 6 0B x x x    ,若 x A 是 x B 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【解析】解出  | 2 3B x x x   或 ,  | 2 0A x x a x a a   或 , 因为 x A 是 x B 的必要不充分条件,所以 B 是 A 的真子集. 所以 2 32 3 0 20 a a a a          故答案为: 30 2a  19、化简下列各式: 【解析】 (1) 原式=lg 1 100×10=-2×10=-20. (2) 原式=lg25 lg2 ×lg4 lg3×lg9 lg5 =2lg5 lg2 ×2lg2 lg3 ×2lg3 lg5 =8. (3) 原式=lg4 2 7 -lg4+lg7 5=lg(4 2 7 ×1 4×7 5)=1 2. 20、判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=xlg(x+ x2+1); (2) f(x)=(1-x) 1+x 1-x ; (3) f(x)= -x2+2x+1,x>0, x2+2x-1, x<0; (4) f(x)= 4-x2 |x+3|-3 . 【解析】 (1) 因为 x+ x2+1>0 恒成立, 所以函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 所以 f(x)-f(-x)=x[lg(x+ x2+1)+lg(-x+ x2+1)]=0, 所以 f(x)=f(-x),所以 f(x)为偶函数. (2) 由题意得, 1+x 1-x ≥0, 1-x≠0, 解得-1≤x<1, 所以定义域不关于原点对称, 所以 f(x)为非奇非偶函数. (3) f(x)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称. 不妨设 x>0, 所以 f(x)+f(-x)=-x2+2x+1+x2-2x-1=0, 所以 f(x)=-f(-x),所以 f(x)为奇函数. (4) 由题意得, 4-x2≥0, |x+3|≠3, 解得 x∈[-2,0)∪(0,2]关于原点对称, 所以 f(x)+f(-x)= 4-x2 x - 4-x2 x =0, 所以 f(x)=-f(-x), 所以 f(x)为奇函数. 21、已知函数   loga x bf x x b    0, 0, 0a a b   . (1)求函数  f x 的定义域; (2)判断函数  f x 的奇偶性,并说明理由; 【解析】(1)由 x b x b   0,化为:   0x b x b   . 当 0b  时,解得 x b 或 x b  ; 0b  时,解得 x b  或 x b . ∴函数  f x 的定义域为: 0b  时, ( ) ),(,x b b    , 0b  时, ( ) ),(,x b b    . (2)∵定义域关于原点对称, ( ) ( )loga a x b x bf x log f xx b x b           , ∴函数  f x 为奇函数. 22、已知奇函数   2 1 2 1 x x af x    的定义域为 2,3a b  . (1)求实数 a ,b 的值; (2)若  2,3x a b   ,方程    2 0f x f x m     有解,求 m 的取值范围. 【解析】(1)因为奇函数定义域关于原点对称,所以 2 3 0a b    . 又根据定义在 0x  有定义,所以   0 0 2 10 02 1 af    ,解得 1a  , 1b  . (2)  3,3x  ,令   2 1 2 1 x xf x t  , 7 7 9 9t      则方程    2 0f x f x m     有解等价于 2 0t t m   7 7 9 9t      有解 也等价于 2y t t  7 7 9 9t      与 y m 有交点. 画出图形根据图形判断: 由图可知: 1 112 4 81m   时有交点,即方程    2 0f x f x m     有解.
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