2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（文科）
2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集U={0, 1, 2, 3, 4}，集合A={1, 2, 3}，B={2, 4}，则(∁UA)∪B为( )
A.{1, 2, 4} B.{2, 3, 4} C.{0, 2, 4} D.{0, 2, 3, 4}
2. “x=1”是“x2=1”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知函数f(x)=log3x，x>02x，x≤0，则f[f(19)]=( )
A.4 B.14 C.−4 D.−14
4. 设平面向量a→=(1,2)，b→=(3,−1)，则|2a→+b→|=( )
A.5 B.6 C.17 D.34
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2−1，则a3等于（ ）
A.−10 B.6 C.10 D.14
6. 函数y=xln|x||x|的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 为了得到函数y＝sin2x的图象，可将函数y＝sin(2x+π6)的图象（ ）
A.向左平移π12个长度单位 B.向左平移π6个长度单位
C.向右平移π6个长度单位 D.向右平移π12个长度单位
8. 已知点A(−1, 0)、B(1, 3)，向量a→=(2k−1, 2)，若AB→⊥a→，则实数k的值为（ ）
A.−2 B.−1 C.1 D.2
9. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=( )
A.−4 B.−6 C.−8 D.−10
10. 设a=log36，b=log510，c=log714，则( )
A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c
11. 在△ABC中，A=60∘，b=16，面积S=2203，则c=( )
A.106 B.75 C.55 D.49
12. 设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0, 1]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0, 2)且x≠1时，x(x−1)f′(x)<0．则方程f(x)=lg|x|根的个数为（ ）
A.12 B.1 6 C.18 D.20
二、填空题（本题共4小题，共16分）
设集合M={x|(x+3)(x−2)<0}，N={x|1
0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)=(3−2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
已知二次函数f(x)=ax2−4x+c．若f(x)<0的解集是(−1, 5)
(1)求实数a，c的值；
(2)求函数f(x)在x∈[0, 3]上的值域．
设函数f(x)=3sin2x+2cos2x．
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求函数f(x)的单调递增区间．
已知数列{an}是等比数列，首项a1=2，a4=16．
(l)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列bn=lgan，证明数列{bn}是等差数列并求前n项和Tn．
在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且a2＝b2+c2+bc．
（1）求A的大小；
（2）若sinB+sinC＝1，b＝2，试求△ABC的面积．
已知函数f(x)＝xlnx．
(l)求f(x)的单调区间和极值；
若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥−x2+mx−32恒成立，求实数m的最大值．
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参考答案与试题解析
2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
找出全集U中不属于A的元素，求出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，确定出所求的集合．
【解答】
解：∵ 全集U={0, 1, 2, 3, 4}，集合A={1, 2, 3}，
∴ ∁UA={0, 4}，又B={2, 4}，
则(∁UA)∪B={0, 2, 4}．
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
先判断由x=1能否推出“x2=1”，再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立，利用充要条件的定义判断出结论．
【解答】
解：当x=1成立则“x2=1”一定成立
反之，当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立
∴ “x=1”是“x2=1”的充分不必要条件
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
分段函数的解析式求法及其图象的作法
函数的求值
【解析】
将函数由内到外依次代入，即可求解
【解答】
解：根据分段函数可得：
f(19)=log319=−2，
则f(f(19))=f(−2)=2−2=14，
故选B
4.
【答案】
D
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
【解析】
先求2a→+b→的坐标表示，再求它的模．
【解答】
解：∵ 平面向量a→=(1,2)，b→=(3,−1)，
∴ 2a→+b→=2(1, 2)+(3, −1)=(5, 3)；
∴ |2a→+b→|=52+32=34；
故选：D．
5.
【答案】
C
【考点】
数列的函数特性
【解析】
利用a3=S3−S2即可得出．
【解答】
解：∵ Sn=2n2−1，∴ a3=S3−S2=(2×32−1)−(2×22−1)=17−7=10．
故选：C．
6.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
当x>0时，y=xln|x||x|=xlnxx=lnx，当x<0时，y=xln|x||x|=xln(−x)−x=−ln(−x)，作出函数图象为B．
【解答】
函数y=xln|x||x|的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)关于原点对称．
当x>0时，y=xln|x||x|=xlnxx=lnx，
当x<0时，y=xln|x||x|=xln(−x)−x=−ln(−x)，此时函数图象与当x>0时函数y=xln|x||x|=xlnxx=lnx的图象关于原点对称．
7.
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【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
利用函数y＝sin(2x+π6)的图象变换即可求得答案．
【解答】
令y＝f(x)＝sin(2x+π6)，
则f(x−π12)＝sin[2(x−π12)+π6]＝sin2x，
∴ 为了得到函数y＝sin 2x的图象，可将函数y＝sin(2x+π6)的图象向右平移π12个单位．
8.
【答案】
B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
先用B的坐标减去A即得AB→ 的坐标，再利用两个向量垂直，数量积等于0求出实数k的值．
【解答】
解：∵ AB→=(2, 3)，向量a=(2k−1, 2)，∵ AB→⊥a→，∴ AB→⋅a→=(2, 3)⋅(2k−1, 2)=2(2k−1)+6=0，
∴ k=−1，
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
等差数列的性质
【解析】
利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．
【解答】
解：∵ a4=a1+6，a3=a1+4，
a1，a3，a4成等比数列，
∴ a32=a1⋅a4，
即(a1+4)2=a1×(a1+6)，
解得a1=−8，
∴ a2=a1+2=−6．
故选B．
10.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用loga(xy)=logax+logay(x、y>0)，化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．
【解答】
解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，
因为y=log2x是增函数，
所以log27>log25>log23.
因为log27=1log72，log25=1log52，log23=1log32，
所以log32>log52>log72，
所以a>b>c.
故选D．
11.
【答案】
C
【考点】
三角形求面积
【解析】
利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S=12bcsinA，把sinA，已知的面积和b的值代入求出c的值
【解答】
解：∵ A=60∘，b=16，面积S=2203，
由S=12bcsinA=43c=2203，
得c=55，
故选：C
12.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
抽象函数及其应用
根的存在性及根的个数判断
【解析】
依据函数的周期性，画出函数y=f(x)的图象，再在同一坐标系下画出y=lg|x|的图象（注意此函数为偶函数），数形结合即可数出两图象交点的个数
【解答】
解：∵ f(x+2)=f(x)，∴ 函数y=f(x)的周期是2，
又∵ 当x∈(0, 2)且x≠1时，x(x−1)f′(x)<0，
∴ 当00，函数在[0, 1]上是增函数
又由当x∈[0, 1]时，0≤f(x)≤1，
则f(0)=0，f(1)=1．
而y=lg|x|是偶函数，当x>0时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数，
由于x=10时，y=lg10=1，
∴ 其图象与f(x)的图象在[0, 2]上有一个交点，在每个周期上各有两个交点，
∴ 在y轴右侧共有9个交点．
∵ y=lg|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴ 在y轴左侧也有
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9个交点
∴ 两函数图象共有18个交点．
故选：C．
二、填空题（本题共4小题，共16分）
【答案】
{x|10，在区间[−π2，0]上f′(x)<0，由此知函数f(x)在区间[0,π2]上单调递增，在区间[−π2，0]上单调递减，故④正确．
故答案为：①④
三、解答题（本题共6小题，共74分）
【答案】
解：∵ p∨q为真，p∧q为假，∴ p为真，q为假，或p为假，q为真．
①当p为真，q为假时，
△=4a2−16<00<3−2a<1，解得11，解得a≤−2
综上，实数a的取值范围是{a|a≤−2或11，解得a≤−2
综上，实数a的取值范围是{a|a≤−2或10有 x>1e，∴ 函数f(x)在(1e,+∞)上递增，f′(x)<0有 00，
∴ m≤2x⋅lnx+x2+3x，
令h(x)=2x⋅lnx+x2+3x，
h(x)=(2x⋅lnx+x2+3)⋅x−(2x⋅lnx+x2+3)⋅x′x2=2x+x2−3x2
令h′(x)＝0，解得x＝1或x＝−3（舍）
当x∈(0, 1)时，h′(x)<0，函数h(x)在(0, 1)上递减
当x∈(1, +∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在(1, +∞)上递增，
∴ h(x)min＝h(1)＝4．
∴ m≤4，
即m的最大值为4．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数恒成立问题
【解析】
(l)求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f(x)的单调区间和极值；
（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．
【解答】
解 （1）∵ f(x)＝xlnx，
∴ f′(x)＝lnx+1，
∴ f′(x)>0有 x>1e，∴ 函数f(x)在(1e,+∞)上递增，f′(x)<0有 00，
∴ m≤2x⋅lnx+x2+3x
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，
令h(x)=2x⋅lnx+x2+3x，
h(x)=(2x⋅lnx+x2+3)⋅x−(2x⋅lnx+x2+3)⋅x′x2=2x+x2−3x2
令h′(x)＝0，解得x＝1或x＝−3（舍）
当x∈(0, 1)时，h′(x)<0，函数h(x)在(0, 1)上递减
当x∈(1, +∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在(1, +∞)上递增，
∴ h(x)min＝h(1)＝4．
∴ m≤4，
即m的最大值为4．
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