高中数学必修四导学案

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高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第一章 三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1、 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2、 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合 表示 【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题 1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题 2：在体操、跳水中，有“转体 0720 ”这样的动作名词，这里的“ 0720 ”，怎么刻画？ ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。 这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________ ， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。 4．象限角、轴线角的概念 我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合， 角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几 象限，我们就说这个角是__________________。 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。 象限角的集合 （1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________ 轴线角的集合 （1）终边在 x 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在 x 轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （3）终边在 y 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在 y 轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （5）终边在 x 轴上的角的集合：_______________________________________ （6）终边在 y 轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________ 三、课前练习 在同一直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。 0 0 0 0 0 030 ,150 , 60 ,390 , 390 , 120   【典型例题】 例 1 （1）钟表经过 10 分钟，时针和分针分别转了多少度？ （2）若将钟表拨慢了 10 分钟，则时针和分针分别转了多少度？ 例 2 在 00 3600 到 的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。 （1） 0650 （2） 0150 （3） 0240 （4） '015990 例 3 已知 0240与 角的终边相同，判断 2  是第几象限角。 例 4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。 例 5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界） （1） （2） （3） 【拓展延伸】 已知角 是第二象限角，试判断 2  为第几象限角？ 【巩固练习】 1、设 060 ，则与角 终边相同的角的集合可以表示为__________________ _. 2、把下列各角化成 ),3600(360 000 Zkk   的形式，并指出它们是第几象限的角。 （1） 01200 （2） 055 （3） 01563 （4） 01590 3、终边在 y 轴上的角的集合_______________，终边在直线 xy  上的角的集合 ________________，终边在四个象限角平分线上的角的集合_____________________ . 4、 终边在 030 角终边的反向延长线上的角的集合___________________________. 5、 若角 的终边与 045 角的终边关于原点对称，则a = 若角 , 的终边关于直线 0 yx 对称，且 060 ，则 b = 6、 集合 },3690|{ 00 ZkkA   ， }180180|{ 00  B ，则 A B = ______________________________ 7、 若 2  是第一象限角，则 的终边在______________________________ _ 8、（1）与 '30350 终边相同的最小正角是________; （2）与 0715 终边相同的最大负角是___________; （3）与 01000 终边相同且绝对值最小的角是__________; （4）与 01778 终边相同且绝对值最小的角是___________. 9、与 015 终边相同的在 00 3601080   之间的角  为_______________________. 10、已知角 , 的终边相同，则   的终边在___________________________. 11、若  是第四象限角，则 0180 是第_____象限角； 0180 是第____ 象限角。 12、若集合 },9018030180|{ 0000 ZkkkA   ， 集合 },4536045360|{ 0000 ZkkkB   ， 则 ._____________ BA 13、已知集合 }{锐角M ， }90{ 0的角小于N ， }{第一象限的角P . （1） NP  ，（2） MPN  ，（3） PM  ，（4） PNM  )( 其中正确的是_______ _. 14、角 小于 0180 而大于 0180 ，它的 7 倍角的终边又与自身终边重合，求角 。 15、已知 与 060 角的终边相同，分别判断  2,2 是第几象限角。 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.1.2 弧度制 【学习目标】 1、 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数 2、 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题 3、 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系 【学习重点、难点】 弧度的概念，弧度与角度换算 【自主学习】 一、复习引入 请同学们回忆一下初中所学的 01 的角是如何定义的？ 二、建构数学 1．度量角还可以用_______为单位进行度量，___________________________________ 叫做 1 弧度的角，用符号_____表示，读作________。 2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____ 如果半径为 r 的圆心角所对的弧的长为l ，那么，角 的弧度数的绝对值是____________ 这里， 的正负由___________________________决定。 3．角度制与弧度制相互换算 360°＝_________rad 180°＝_________rad 1°＝_________rad 1 rad＝_________°≈ _________° 4．角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应的 关系:每个角都有唯一的一个实数(即______________ _)与它对应;反过来,每一个实数也 都有________________(即_______________ )与它对应。 5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式： 角 的弧度数的绝对值| |  ______________ （l 为弧长， r 为半径） 弧长公式：____________________________ 扇形面积公式：____________________________ 【典型例题】 例 1．把下列各角从弧度化为度. （1） 5 3 （2） 12  （3） 6 5 （4） 7 12 p （5） 11 5 p- 例 2．把下列各角度化为弧度。 （1） 0750 （2） 01440 （3） 0 '67 30 （4） 0252 （5） '15110 例 3．（1）已知扇形的周长为 cm8 ，圆心角为 rad2 ，求该扇形的面积。 （2）已知扇形周长为 cm4 ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。 变式：已知一扇形周长为C （ 0C  ），当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？ 并求出最大面积。 【巩固练习】 1、特殊角的度数与弧度数的对应： 度 数 弧度数 2、若角 3 ，则角 的终边在第____象限；若 6 ，则角 的终边在第___ 象限. 3、圆的半径为10，则 2 rad 的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________. 4、将下列各角化成 )20(,2   k ， Zk  的形式，并指出终边所在位置. （1） 3 19  （2） 0315 （3） 3 22  （4） 2 23  5、用弧度制表示下列角终边的集合. （1）轴线角 （2）角平分线上的角 （3）直线 xy 3 上的角 6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____ . 7、已知角a 的终边与角 3 p 的终边相同，则在[ )0,2p 内与角 3 a 的终边相同的角为 8、若角a 和角 b 的终边关于 x 轴对称，则角a 可以用角 b 表示为（ ） A. ( )2k k Zp b+ Î B. ( )2k k Zp b- Î C. ( )k k Zp b+ Î D. ( )k k Zp b- Î 9、若 2 < <4p a p ，且角a 的终边与角 7 6 p- 的终边垂直，则 =a _________________ 10、已知集合 ( ){ }2k < < 2 1 ,A k k Za p a a= + Î ， { }5 5B a a= - ＃ ，求 A B 11、已知扇形的面积为 25，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？ 12、已知扇形 AOB 的圆心角a 为120 ，半径长为 6 ,求 （1）弧 AB 的长 （2）弧 AB 与弦 AB 围成的弓形的面积. 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.2.1 任意角的三角函数（1） 【学习目标】 1、 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2、 会用三角函数线表示任意角三角函数的值 3、 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】 一、复习旧知，导入新课 在初中，我们已经学过锐角三角函数： 角的范围已经推广，那么对任意角 是否也能定义其三角函数呢？ 二、建构数学 1.在平面直角坐标系中，设点 P 是角 终边上任意一点，坐标为 ( , )P x y ,它与原点的距离 2 2| |OP x y r   ，一般地，我们规定： ⑴比值___________叫做 的正弦,记作___________,即___________=___________； ⑵比值___________叫做 的余弦,记作___________,即___________=___________； ⑶比值___________叫做 的正切,记作___________,即___________=___________. 2.当 =___________________时,  的终边在 y 轴上，这时点 P 的横坐标等于_________, 所以_____________无意义。除此之外，对于确定的角 ，上面三个值都是______________. 所以正弦、余弦、正切都是以_______为自变量，以________________________________ 为函数值的函数,我们将它们统称为_________________. 3.由于_____________与____________之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是 自变量为_________的函数. 4.其中 siny x 和 cosy x 的定义域是__________； 而 tany x 的定义域是__________________ . 5.根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号: y sin y cos y tan 6. 单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以_______为圆心，以_______ 为半径的圆。 7．有向线段的概念： 规定了___________ （即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。 8．三角函数线的定义： 设任意角 的顶点在原点O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ( , )P x y ， 过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 (1,0)A 作单位圆的切线，设它与 的终边 （当 为第_______象限角时）或其反向延长线（当 为第______象限角时）相交于 点T ，根据三角函数的定义：sin y   _____； cos x   _____； tan y x    ____. 【典型例题】 例 1．已知角 的终边经过点  4, 3P  ，求 的正弦、余弦、正切的值. 变式题：已知角 的终边经过点  6, xP ，且 13 5cos  ，求 x 的值. 例 2．已知角 的终边在直线 xy 3 上，求 的正弦、余弦、正切的值 例 3．确定下列三角函数值的符号： （1）  12 7cos （2）   465sin （3）  3 11tan （4） 5tan4cos3sin  例 4．若 ABC 两内角 A 、 B 满足 0cossin  BA ，判断三角形的形状。 例 5．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：   31     6 52    3 23    64  例 6．利用三角函数线比较大小   30sin1 ______ 150sin   25sin2 ______ 150sin    3 2cos3 _____  5 4cos    3 2tan4 ______ 3tan 4 p 例 7．利用三角函数线求解下列三角方程（或三角不等式）   2 3sin1 x ( ) 12 cos 2x ³ 【巩固练习】 1、已知角α的终边过点 P（－1,2），cos 的值为 2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（ ） A．sin B．cos C．tan D． tan 1  3、填表：  0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 sin cos tan 4、已知角 的终边过点 P（4a,－3a）（a<0），求 2sin ＋cos  的值. 5、若点 P(－3，ｙ)是角 终边上一点，且 3 2sin  ，求ｙ的值. 6、 是第二象限角，P（x, 5 ） 为其终边上一点，且 cos = 4 2 x，求 sin 的值. 7、若 4 2    ，则比较sin 、 cos 、 tan 的大小； 8、利用三角函数线解不等式 tan x 1³ 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.2.2 同角三角函数的基本关系（1） 【学习目标】 1、 掌握同角三角函数的两个基本关系式 2、 能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值 3、 对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点看待角 4、 结合三角函数值的符号问题，求三角函数值 【重点难点】同角三角函数的两个基本关系式和应用 【自主学习】 一、数学建构： 同角三角函数的两个基本关系式：_______________________________________; _______________________________________. 二、课前预习： 1、 ),0(,5 4cos   ，则 tan 的值等于 2、化简：  tancos 【典型例题】 例 1、已知 2 1sin  ，并且 是第二象限角，求  tan,cos 的值 变式：已知 2 1sin  ，求  tan,cos 的值 例 2、已知 5 12tan  ，求  cos,sin 的值． 解题回顾与反思： 通过以上两个例题，你能简单归纳一下对于  cos,sin 和 tan 的“知一求二”问题的解 题方法吗？ 例 3、化简 （1） 21 sin 440  ． （2） 1 2sin 40 cos40   ． （3） 1 sin 1tan 2    （ 是第二象限角） （4）     sin1 sin1 sin1 sin1    【巩固练习】 1、已知 4cos 5    ，求 sin 和 tan 的值 2、化简 sin2 ＋sin2β－sin2 sin2β＋cos2 cos2β= ． 3、若 为二象限角，且 2cos2sin212sin2cos   ，那么 2  是第几象限角。 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.2.2 同角三角函数的基本关系（2） 【学习目标】 1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明 2、 掌握“知一求二”的问题 【重点难点】 奇次式的处理方法和“知一求二”的问题 【自主学习】 一、复习回顾： 1、 同角三角函数的两个基本关系式： 2、  cossin,cossin,cossin  有何关系？（用等式表示） 二、课前练习 1、已知 ,3 1cossin   则  cossin _________________________ 2、若 15tan  ，则 cos ； sin ． 【典型例题】 例 1、 已知 ,3tan  求下列各式的值 （1）   cos9sin4 cos3sin2   （2）   22 22 cos9sin4 cos3sin2   （3）  22 cos3sin2  例 2、求证：（1）     sin cos1 cos1 sin  （2）     sintan sintan sintan sintan    例 3、已知 ,0   5 1cossin   ，求 tan 的值 例 4、若 ),3(3 1cos,3 1sin    kk k k k  （1）求 k 的值； （2）求 1tan 1tan     的值 【巩固练习】 1、已知 ,0   sinαcosα = 25 12 ,则 cosα－sinα的值等于 2、已知 是第三象限角，且 9 5cossin 44   ，则  cossin 3、如果角 满足 2cossin   ,那么 1tan tan   的值是 4、若  cos,sin 是方程 024 2  mmxx 的两根，则 m 的值为 5、求证： 1tan 1tan cossin cossin21 22         高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.3 三角函数的诱导公式（1） 【学习目标】 1、 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式 2、 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值 3、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程 4、 准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值 口诀：函数名不变，符号看象限 【重点难点】诱导公式的推导与运用 【自主学习】 1、 利用单位圆表示任意角 的正弦值和余弦值： ),( yxP 为角 的终边与单位圆的交点，则 ___________cos_,__________sin   2、 诱导公式 由三角函数定义可以知道： (1) 终边相同的角的同一三角函数值相等。 公式一（  k2 ）：__________________________________________; __________________________________________; __________________________________________. (2) 当角 的终边与角  的终边关于原点对称时， 与  的关系为：_____________ 公式二（ ）：__________________________________________; __________________________________________; __________________________________________. (3) 当角 的终边与角  的终边关于 x 轴对称时， 与  的关系为：_____________ 公式三（ ）：__________________________________________; __________________________________________; __________________________________________. (4) 当角 的终边与角  的终边关于 y 轴对称时， 与  的关系为：_____________ 公式四（ ）：__________________________________________; __________________________________________; __________________________________________. 思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？ 【典型例题】 例 1、求下列三角函数值： （1）  240sin  ； （2）       4 11cos ； （3）  1560tan  ． 例 2、化简：（1）              180cos180sin 360sin180cos （2） 0 0 0 2 0 1 2sin 200 cos160 cos70 1 sin 20 - - - （3） )(cos)5sin()4sin( )3(sin)(cos)4cos( 2 22     例 3、在 ABC 中，若 ).sin()sin( CBACBA  试判断 ABC 的形状. 【巩固练习】 1、 求下列各式的的值 （1） )4 31sin(  （2） )6 31cos(  （3） )945tan( 0 2、若 ),2cos(2)sin(   求 )sin()cos(3 )2cos(5)sin(     的值. 3、化简： )3 4cos()3 22sin(   nn 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.3 三角函数的诱导公式（2） 【学习目标】 1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值 2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程 3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。 口诀：奇变偶不变，符号看象限 【重点难点】诱导公式的推导和应用 【自主学习】 1、复习四组诱导公式：函数名不变，符号看象限 2、已知： ,3tan  求 )2sin()cos(4 )sin(3)cos(2     的值 2、 若角 的终边与角  的终边关于直线 y=x 对称（如图）， a) 角 与角  的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？ b) 角 与角  有何关系？ c) 由（1），（2）你能发现什么结论？ 当角 的终边与角  的终边关于 y=x 对称时， 与  的关系为：_________________ 公式五（ ）：__________________________________________; __________________________________________. 由于 =2 2 p pa p a骣琪+ - -琪桫 ，由公式四及公式五可得： 公式六（ ）：__________________________________________; __________________________________________. 综合所学六组公式可以用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来帮助记忆，如何理解这一口诀？ 【典型例题】 例 1、求证：  cos2 3sin       ，  sin2 3cos       ． 例 2、化简：（1） 00 00 800cos260sin 440cos280sin21   （2） )2cos()2 3sin( )2 7cos()2sin( )2 3sin()sin( )3tan(          例 3、已知   3 175cos  ，且  90180   ，求  15cos ． 【巩固练习】 1、 ____________1)cos()cos()(sin 2   2、若 ,5 4)540sin( 0  则 ____________)270cos( 0  3、化简：（1）   790cos250sin 430cos610sin21 （2） )tan( )2 3cos()2sin( 1 )(tan 1 2        4、已知 4 1 6sin       x ，求            xx 3sin6 5sin 2  的值． 5、求值：   90sin89sin3sin2sin1sin 22222  ． 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 【学习目标】 1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的 图象； 2、会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图； 3、借助图象理解并运用正、余弦函数的定义域和值域。 【重点难点】五点法作正、余弦函数的图象；正、余弦函数的定义域和值域。 【预习指导】 （一） 平移正弦线画出正弦函数的图象： 1、 在单位圆中，作出对应于 11, , ,6 3 2 6    … 的角及对应的正弦线； 2、 作出 siny x 在[0,2 ] 区间上的图象：（1）平移正弦线到相应的位置；（2）连线 3、 作出 siny x 在 R 上的图象 （二） 用五点法画出正、余弦函数在[0,2 ] 区间上的简图 x 0 2   3 2  2 siny x cosy x （三）仔细观察正弦曲线和余弦曲线，总结正弦函数与余弦函数的性质： （1）定义域： （2）值域： 对于 siny x ：当且仅当 x  时， maxy  ； 当且仅当 x  时， miny  ； 对于 cosy x ；当且仅当 x  时， maxy  ； 当且仅当 x  时， miny  . 【典型例题】 例 1、 画出下列两组函数的简图： （1） 2cos ,y x x R  （2） sin 2 ,y x x R  例 2、 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量 x 的集合： （1） cos 3 xy  （2） 2 sin 2y x  例 3、 （1）求函数 sin 1 cos xy x   的定义域；（2）求函数 2 7sin 4sin 4y x x    的值域。 【巩固练习】 1、 下列等式有可能成立吗？为什么？ （1） 2cos 3x  （2） 2 1sin 2x  2、 画出下列函数的简图 （1） sin 1y x  （2） 2siny x 3、 求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量 x 的集合： （1） 2siny x  （2） 2 cos 3 xy   4、 求下列函数的定义域： （1） 2sin 1y x  （2）已知 ( )y f x 的定义域为 1[0, ]4 ，求 2(sin )f x 的定义域 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一） 【学习目标】 1、 理解三角函数的周期性的概念； 2、 理解三角函数的周期性与函数的奇偶性之间的关系； 3、 会求三角函数的最小正周期，提高观察、抽象的能力。 【重点难点】函数周期性的概念；三角函数的周期公式 一、预习指导 1、 对于函数 ( )f x ，如果存在一个___________T ，使得定义域内___________ x 的值， 都满足_______________________，那么函数 ( )f x 叫做___________，T 叫做这个 函数的_________。 思考：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？ 2、 对于一个周期函数 ( )f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正 数就叫做 ( )f x 的_____________。（注：今后研究函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指 函数的最小正周期） 思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？ 3、 sin( )y A x b    及 cos( )y A x b    （ 0, 0A   ）型的三角函数的周期公式 为_______________________。 二、典型例题 例 1、若摆钟的高度 h（mm）与时间 t (s) 之间的函数关系如图所示。 （1）求该函数的周期； （2）求 t =10s 时摆钟的高度。 例 2、求下列函数的周期： （1） cos2y x （2） 1sin 2y x （3） 12sin( )3 6y x   例 3、若函数 ( ) 2sin( )f x x   ， x R （其中 0,| | 2    ）的最小正周期是 ， 且 (0) 3f  ，求 ,  的值。 例 4、已知函数 ( ),y f x x R  ，满足 ( 2) ( )f x f x   对一切 x R 都成立， 求证：4 是 ( )f x 的一个周期。 三、巩固练习 1、 求下列函数的周期： （1） 2cos3y x （2） sin 3 xy  2、 若函数 ( ) sin( )5f x kx   的最小正周期为 2 3  ，求正数 k 的值。 3、若弹簧振子对平衡位置的位移 x ( )cm 与时间 ( )t s 之间的函数关系如图所示： (1)求该函数的周期； (2)求t ＝10.5 s 时弹簧振子对平衡位置的位移。 四、拓展延伸 1、 已知函数 ( ) sin( )10 3 kxf x   ，其中 0k  ，当自变量 x 在任何两整数间（包括整数本身） 变化时，至少含有一个周期，则最小的正整数 k 为_______________ 2、已知函数 *( ),f x x N ， (1) 1, (2) 6, ( 2) ( 1) ( )f f f n f n f n      ，求 (100)f 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二） 【学习目标】 1、 借助正、余弦函数的图像，说出正、余弦函数的图像性质； 2、掌握正、余弦函数的图像性质，并会运用性质解决有关问题； 【重点难点】正、余弦函数的图像与性质 一、预习指导 正弦函数与余弦函数的性质： （1）定义域： （2）值域： 对于 siny x ：当且仅当 x  时， maxy  ； 当且仅当 x  时， miny  ； 对于 cosy x ；当且仅当 x  时， maxy  ； 当且仅当 x  时， miny  . （3）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，并且周期都是 . （4）奇偶性： ① sin ( )y x x R  是 ，其图像关于 对称，它的对称中心坐标 是 ，对称轴方程是 ； ② cos ( )y x x R  是 ，其图像关于 对称，它的对称中心坐标 是 ，对称轴方程是 。 （5）单调性： ① sin ( )y x x R  在每一个闭区间 上，是单调增函数. 在每一个闭区间 上，是单调减函数. ② cos ( )y x x R  在每一个闭区间 上，是单调增函数. 在每一个闭区间 上，是单调减函数. 二、典型例题 例 1、判断下列函数的奇偶性. （1） 3 3( ) sin( )4 2f x x   (2) 2( ) lg(sin 1 sin )f x x x   (3) 1 sin cos( ) , .1 sin x xf x x Rx    例 2、比较下列各组中两个三角函数值的大小. （1）sin 250 、sin 260 （2） 15cos 8  、 14cos 9  例 3、求函数 sin(2 )3y x   的单调增区间. 思考： sin( 2 )3y x    的单调增区间怎样求呢？ 例 4、求下列函数的对称轴、对称中心. （1） 2sin( )3 3 xy   （2） 1 cos(3 ) 12 6y x    三、巩固练习 1、判断下列函数的奇偶性： （1） ( ) sin cosf x x x  （2） 2( ) lg( 1 sin sin )f x x x   2、下列函数的单调区间： （1） sin( )4y x   （2） 3cos 2 xy  3、函数 2sin ( )6 3y x x    的值域为 4、比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）sin14 、sin155 （2）sin194 、cos160 【拓展延伸】：求下列函数的值域： （1） 2cos 2sin 2y x x   （2） 22sin 3cos 3y x x   高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.4.3 正切函数的性质与图象 【学习目标】 1、能正确作出正切函数图像； 2、借助图像理解正切函数的性质； 【重点难点】 正切函数的图像与性质 三、预习指导 1、利用正切线来画出 tan ( ( , ))2 2y x x     的图像. 2、正切函数的图像： 3、定义域： ； 4、值域： ； 5、周期性： ； 6、奇偶性： tany x 是 函数，其图像关于 对称，它的对称中心 为__________ 7、单调性：正切函数在每一个开区间 上是单调增函数。 思考：正切函数在整个定义域内是单调增函数吗？ 答： 四、典型例题 例 1、求函数 tan(2 )4y x   的定义域、周期和单调区间. 例 2、已知   xxxf tan5tan 2        4 x 求 ( )f x 的最小值. 变式：已知   xaxxf tantan 2        4 x 的最小值-4，求 a 的值. 例 3、已知函数 tan( )( 0, 0, )2y A x A         的图象与 x 轴相交于两个相邻点的坐 标为 ( ,0)6  和 5( ,0),6  且经过点 (0, 3) ，求其解析式. 三、巩固练习 1、观察正切函数的图像，分别写出满足下列条件的 x 的集合 （1） tan 0x  （2） tan 1x  2、求下列函数的定义域: （1） tan3y x （2） tan( )3y x   3、函数 tan 1 cos xy x   的奇偶性是 . 4、函数 siny x 与 tany x 的图像在 1,1 上有 个交点. 5、求函数       xy 2tan        066 xx 且 的值域. 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.5 函数 sin( )y A x   的图像（1） 【学习目标】： 1、 了解函数 sin( )y A x   的实际意义； 2、 弄清 , ,A   与函数 sin( )y A x   的图像之间的关系； 3、 会用五点法画函数 sin( )y A x   的图像； 【重点难点】：五点法画函数 sin( )y A x   的图像 一、预习指导 1、函数 sin( )y A x   与函数 siny x 图像之间的关系： (1)函数   Rxxy  1sin 的图像是将 siny x 的图像向 平移 个单位长度而得到； (2)函数 ( )( )sin 1y x x R= - Î 的图像是将 siny x 的图像向 平移 个单位长度得到； 一般地，函数 sin( )y x   ( 0, )x R   的图像，可看作把正弦曲线上所有的点 向______( 0 )  时 或向_____ ( 0 )  时 平行移动_____个单位长度而得到，这种变换称 为相位变换(平移交换). 2、函数 siny A x 与函数 siny x 图像之间的关系： (1)函数 3sin ,y x x R  的图像是将 siny x 的图像上所有点的 __坐标变为原来的____ 倍（____坐标不变）而得到； (2)函数 xy sin3 1 ， Rx 的图像是将 xy sin 的图像上所有点的______坐标变为原来的 ____倍（____坐标不变）而得到； 一般地，函数 siny A x ， )1,0(  AARx 的图像，可看作把正弦曲线上所有点的 纵坐标变为原来的______倍（横坐标不变）而得到，这种变换关系称为______________. 因此 siny A x ， Rx 的值域为____________. 3、函数 xy sin 与 xy sin 图像之间的关系： (1)函数 Rxxy  ,2sin 的图像是将函数 xy sin 的图像上所有点的_____坐标变为原来的 ____倍（____坐标不变）而得到； (2) xy 2 1sin ， Rx 的图像是将函数 xy sin 的图像上所有点的_____坐标变为原来的 ____倍（____坐标不变）而得到； 一般地，函数 )1,0(,sin   wRxxy 的图象可以看作把正弦曲线上所有点的 横坐标变为原来的______倍(纵坐标不变)而得到的，这种变换称为____________. 4、函数 )sin(   xy 与 xy sin 图象之间的关系 (1)函数 )12sin(  xy 的图象是将函数 xy 2sin 的图象向___平移___个单位长度而得到； (2)函数 )12sin(  xy 的图象是将函数 xy 2sin 的图象向___平移___个单位长度而到. 一般地，函数 )sin(   xy 的图象可以看作是把 xy sin 的图象上所有的点向左 ( _________)或向右( ________)平移_________个单位长度而得到的. 二、典例分析： 例 1、(1)函数 )22sin(  xy 的图象可由函数 xy sin 的图象经过怎样的变换得到? (2)将函数 xy sin 的图象上所有的点______________________得 )3sin(  xy 的 图象；再将 )32 1sin(  xy 的图象上的所有点______ ___可得到 函数 )32 1sin(2 1  xy 的图像. (3)要得到 xy 2 1sin 的图像，只需将函数 )32 1sin(  xy 的图像______________. (4)要得到函数 )63cos(  xy 的图像，需将函数 xy 3sin 的图像_____________. (5)已知函数 )(xfy  ，若将 )(xf 的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原 来的 2 倍,然后将整个函数图象向上平移 2 个单位，得到曲线与 xy sin 的图象相 同 ,则 )(xf 的解析式是_____________________. 例 2、要得到 xy 2sin 的图象，需要将函数 )42cos(  xy 的图象进行怎样的变换? 例 3、已知函数 )2,0,0(),sin(   AxAy 在一个周期内，当 6 x 时， y 有最大值为 2，当 3 2x 时， y 有最小值为 —2. 求函数表达式，并画出函数 sin( )y A x   在一个周期内的简图。(用五点法列表描点) 三、巩固练习： 1、将函数 xy cos 的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后可得到函数 _____________________ 2、已知 )2sin()(  xxf ， )2cos()(  xxg ，则 )(xf 的图象 ( ) A. 与 ( )g x 图像相同 B. 与 ( )g x 图象关于 y 轴对称 C. 向左平移 2  个单位得到 )(xg 的图象 D. 向右平移 2  个单位得到 )(xg 的图象 3、将函数 )(xfy  图象上每一点的纵坐标变为原来的 2 1 ，横坐标变为原来的 2 1 ，再将整 个图象沿 x 轴向左平移 3  个单位，得到函数 xy sin 的图象，则函数 )(xf _______. 四、拓展延伸： 经过怎样的变换可由函数 xy 2sin 的图象得到 )4cos(  xy 的图象? 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 1.5 函数 sin( )y A x   的图像（2） 【学习目标】： 1. 能由正弦函数的图象通过变换得到 sin( )y A x   的图象； 2. 会根据函数图象写出解析式； 3. 能根据已知条件写出 sin( )y A x   中的待定系数 A， ， . 【重点难点】：根据函数图象写出解析式 一、预习指导 sin( )y A x     )0,0,,0(  Ax 表示一个振动量时，振幅为___________， 周期为__________，频率为__________ ，相位为__________，初相为____________ . 二、典例分析： 例 1、若函数 )32sin(3  xy 表示一个振动量： (1)求这个振动的振幅、周期、初相； (2)画出该函数的简图并说明它与 siny x 的图象之间的关系； (3)写出函数的单调区间. 例 2、已知函数 sin( )y A x   ( 0, 0, < 0)A w p j> > - < 一个周期内的部分图象， 如下图所示，求函数的一个解析式. 例 3、已知函数 cos( )y A x   ( 0, 0,0 )A       的最小值是 5 ，图象上 相邻两个最高点与最低点的横坐标相差 4  ，且图象经过点 )2 5,0( ，求这个函数的 解析式. 例 4、将函数 xy 2sin 的图象向右平移 )0(  个单位，得到的图象恰好关于直线 6 x 对称，求 的最小值. 三、巩固练习： 1、函数 )43sin(  xy 的图象可以看作是由函数 xy 3sin 的图象__________________ 得到的. 2、先将函数 )36sin(5 xy   的周期扩大为原来的 2 倍，再将新函数的图象向右平移 3  个 单位长度，则所得图象的函数解析式为__________________________ 3、若函数 ( ) sin( )f x A x   )0,0,0(  A 图象上的一个最高点是 (2, 2) ， 由这个最高点到相邻最低点的一段曲线与 x 轴交于点 (6,0) ，求这个函数的解析式. 4、已知函数 5)34cos(2)(  xkxf 的最小正周期不大于 2，求正整数 k 的最小值. 5、求函数 )64cos()34sin(   xxy 的周期、单调区间和最大值、最小值. 四、拓展延伸： 1、为了得到 )62sin(2  xy 的图象，可以将函数 xy 2cos2 的图象作如何变换？ 2、已知方程     12 13,6,1)32sin(2  xax 有两解，试求实数 a 的取值范围。 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 三角函数复习与小结 【学习目标】： 1. 掌握任意角的概念和弧度制； 2. 掌握任意角的三角函数，诱导公式及同角三角函数的基本关系； 3．掌握三角函数的图像和性质； 4．了解 )sin(   xAy 的实际意义； 5．能应用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描写周期变化现象的重要 教学模型. 【重点难点】：三角函数的综合应用 一、典例分析 例 1、已知角 的终边经过点 )0)(4,3(  mmmP ，求 sin ， cos ， tan 的值. 例 2、求下列函数的定义域： (1) xy tan3  (2) 2lgsin 25y x x   例 3、求证： 2 2cos sin 1 tan 1 2sin cos 1 tan          例 4、已知关于 x 的方程 22 ( 3 1) 0x x m    的两根为sin 和 cos ， (0,2 )  ， 求：（1） m 的值；（2）方程的两根以及此时 的值；（3）     sin1 cos cos1 sin  的值. 例 5、已知函数 ( ) sin( )( 0, 0, )f x A x A         ，在一周期内，当 12 x 时， y 取得最大值 3，当 12 7x 时， y 取得最小值 3 ，求函数的解析式. 例 6、设函数 mxxf  )62sin()(  （1）写出函数 ( )f x 的周期以及单调区间； （2）若     3,6 x 时，函数 ( )f x 的最小值为 2，求当 x 取何值时，函数 ( )f x 取最大值. （3）在（2）的条件下，怎样由 cosy x 变换到 ( )f x ? 二、巩固练习： 1、（1）若 是第四象限角，  是第_______象限角. （2）已知 为第三象限角，则 2  所在的象限为__________. （3）若 cos 0  ，且sin 2 0  ，则角 的终边在第_______象限. 2、若 5 1cos  ，且 为第四象限角，则 )2cos(   =______________. 3、定义在 R 上的函数 ( )f x 既是偶函数又是周期函数，若 ( )f x 得最小正周期是 ， 且当     2,0 x 时， xxf sin)(  ，则 )3 5( f ______________. 4、已知 2sin ( )cos(2 ) tan( )( ) sin( ) tan( 3 )f                   （1）化简 ( )f  ； （2）若 8 1)( f ，且 24   ，求 cos sin  的值； （3）若  4 47 ，求 ( )f  的值. 三、拓展延伸 1、是否存在实数 a ，使得函数 2 3 8 5cossin 2  axaxy 在闭区间     2,0  上的 最大值为 1? 若存在，求出对应的 a 值；若不存在，请说明理由. 2、设函数 ( ) sin(2 )( 0), ( )f x x y f x        图像的一条对称轴是直线 8 x . (1) 求 ； （2）求函数 ( )y f x 的单调递增区间； （3）画出函数 ( )y f x 在区间 ,0 上的图像. 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线 向量； 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。 【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 【自主学习】 1.向量的定义：______________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：____________________记作：__________ （2）零向量：___________________，记作：________ （3）单位向量：____________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例 1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的单位向量只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； （4）向量 a  和b  是共线向量， / /b c   ，则 a  和 c  是方向相同的向量； （5）相等向量一定是共线向量； 例 2.已知O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中： （1）试找出与 EF  共线的向量； （2）试找出与 EF  相等的向量； （3）OA  与 BC  相等吗？ 例 3.如图所示的为3 4 的方格纸（每个小方格都是边长为 1 的正方形），试问：起点和终点都 在小方格的顶点处且与向量 AB  相等的向量共有几个？与向量 AB  平行且模为 2 的向量共 有几个？与向量 AB  的方向相同且模为3 2 的向量共有多少个？ 【巩固练习】 1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正： （1）向量 AB  和CD  是共线向量， 则 A B C D、 、 、 四点必在一直线上； （2）单位向量都相等；（3）四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB CD  ； （4）共线向量，若起点不同，则终点一定不同； 2.平面直角坐标系 xOy 中，已知| | 2OA  ，则 A 点构成的图形是_______ 3.四边形 ABCD 中， 1 ,| | | |2AB DC AD BC     ，则四边形 ABCD 的形状是_________ 4.设 0a   ，则与 a  方向相同的单位向量是________ 5.若 E F M N、 、 、 分别是四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA、 、 、 的中点。 求证： / /EF NM   6.已知飞机从甲地北偏东30 的方向飞行 2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30 的方向 飞行 2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000 2km 到达丁地，问：丁地在甲地 的什么方向？丁地距甲地多远？ O D C BA F E B A 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 【学习目标】 1.掌握向量加法的定义； 2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量； 3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算 【学习重难点】 重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律； 难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律； 【自主学习】 1.向量的和、向量的加法： 已知向量 a  和b  ，__________________________________________________ 则向量OB  叫做 a  与b  的和，记作：__________________ _________________________________叫做向量的加法 注意：两个向量的和向量还是一个向量； 2.向量加法的几何作法： （1）三角形法则的步骤： ① ② ③ OA 就是所做的 a b  （2）平行四边形法则的步骤： ① ② ③ OC 就是所做的 a b  注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于两个不共线的向量相加； 而向量加法的三角形法则适用于任何两个向量相加。 3.向量加法的运算律： （1）向量加法的交换律：_________________________________ （2）向量加法的结合律：_________________________________ 思考：如果平面内有 n 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这 n 条向量的和是什么？ a  b  A B O b  a  例 1.如图，已知O 为正六边形 ABCDEF 的中心，求出下列向量： （1）OA OC  （2） BC EF  （3）OA FE  例 2.化简下列各式 （1） AB BC CD DA EA        （2） AB MB BO OM      （3） AB DF CD BC FA        （4） ( )AB CD BC DB BC        例 3.在长江南岸某处，江水以12.5 /km h 的速度向东流，渡船的速度为 25 /km h ，渡船 要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 【巩固练习】 1.已知 ,a b   ，求作： a b  （1） （2） 2.已知O 是平行四边形 ABCD 的对角线交点，下列结论正确的是_________ （1） AB CB AC    （2） AB AD AC    （3） AD CD BD    （4） 0AO CO OB OD        3.设点O 是 ABC 内一点，若 0OA OB OC      ，则点O 为 ABC 的______心； 4.对于任意的 ,a b   ，不等式| | | | | | | | | |a b a b a b          成立吗？请说明理由。 F E D C BA O b  a  b  a  高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 【学习目标】 1.理解向量减法的概念； 2.会做两个向量的差； 3.会进行向量加、减的混合运算 4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力 【学习重难点】 重点：三角形法则 难点：三角形法则，向量加、减混合运算 【自主学习】 1.向量的减法： ① a  与b  的差：若_______________，则向量 x  叫做 a  与b  的差，记为__________ ② 向量 a  与b  的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法； 注意：向量的减法是向量加法的逆运算. 2.向量 a b  的减法的作图方法： 作法：①_______________________________ ②_______________________________ ③_______________________________ 则 BA a b    3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 ( )a b a b       4.关于向量减法需要注意以下几点： ① 用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可； ② 以向量 ,AB a AD b     为邻边作平行四边形 ABCD ，则两条对角线的向量为 ,AC a b    BD b a    ，应加强理解； ③ 对于任意一点O ， AB OB OA    ，简记“终减起” 【例题讲解】 例 1.已知向量 , , ,a b c d     ，求作向量： ,a b c d     ； c  d  b  a  例 2.已知O 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点，若 , , ,AB a DA b OC c        试证明：b c a OA      本题还可以考虑如下方法： （1）OA OC CA OC CB CD          （2） c a OC AB OC DC OD OA AD                例 3.化简下列各式 （1） ( )AB BC BD AD      （2） AB DA BD BC CA        （3） ( ) ( )AB DC AC BD      【巩固练习】 1.在 ABC 中， 90C   ， AC BC ，下列等式成立的有_____________ （1）| | | |CA CB CA CB      （2）| | | |AB AC BA BC      （3）| | | |CA BA CB AB      （4） 2 2 2| | | | | |CA CB AB AC BA CA          2.已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于O 点，且 ,AO OC BO OD     ， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形。 3.如图， ABCD 是一个梯形， / / , 2AB CD AB CD ， ,M N 分别是 ,DC AB 的中点， 已知 , ,AB a AD b     试用 ,a b   表示 BC  和 MN  a  c  b  O BA CD N MD C BA 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义（1） 【学习目标】 1.掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模； 2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算； 3.通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想 【学习重难点】 重点：向量的数乘及运算律； 难点：向量的数乘及运算律； 【自主学习】 1.向量数乘的定义： 一般地，实数  与向量 a  的积是一个向量，记作：_______；它的长度和方向规定如下： （1）| | | || |a a   （2）当 0  时，_______________________； 当 0  时，_______________________； 当 0  时，_______________________； ______________________________叫做向量的数乘 2.向量的线性运算定义： ___________________________________________统称为向量的线性运算； 3.向量的数乘的作图： 已知 ,a  作b a  当 0  时，把 a  按原来的方向变为原来的  倍； 当 0  时，把 a  按原来的相反方向变为原来的 倍； 4.向量的数乘满足的运算律： 设 ,  为任意实数， ,a b   为任意向量，则 （1）结合律 ______________________________________ （2）分配律 _______________________________________ 【典型例题】 例 1.已知向量 ,a b   ，求作： （1） 2.5a  （2） 2 3a b  b  a  例 2.计算 （1）   a45  （2）5( ) 4( ) 3a b a b a        （3） 2(2 6 3 ) 3( 3 4 2 )a b c a b c           例 3.已知 ,OA OB   是不共线的向量， ,( )AP t AB t R   ，试用 ,OA OB   表示OP  例 4.已知： ABC 中， D 为 BC 的中点， ,E F 为 ,AC BA的中点， , ,AD BE CF 相交 于O 点，求证： （1） 1 ( )2AD AB AC    （2） 0AD BE CF      （3） 0OA OB OC      【巩固练习】 1.计算： （1）3(5 3 ) 2(6 )a b a b      （2） 4( 3 5 ) 2( 3 6 8 )a b c a b c           2.已知向量 ,a b   且3( ) 2( 2 ) 4( ) 0,x a x a x a b              求 x  3.在平行四边形 ABCD 中， , , 3 ,AB a AD b AN NC M        为 BC 的中点， 用 ,a b   来表示 MN  4.如图，在 ABC 中， , ,AB a BC b AD     为边 BC 的中线， G 为 ABC 的重心，求向量 AG  B P A O OF E D C B A b  a  G D CB A 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义（2） 【学习目标】 1.理解并掌握向量的共线定理； 2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题； 3.培养学生的逻辑思维能力 【学习重难点】 重点：向量的共线定理； 难点：向量的共线定理； 【自主学习】 1.向量的线性表示： 若果 ,( 0)b a a     ，则称向量b  可以用非零向量 a  线性表示； 2.向量共线定理： 思考：向量共线定理中有 0a   这个限制条件，若无此条件，会有什么结果？ 【典型例题】 例 1.如图， ,D E 分别是 ABC 的边 ,AB AC 的中点， （1）将 DE  用 BC  线性表示； （2）求证： BC  与 DE  共线. 例 2.设 1 2,e e   是两个不共线的向量，已知 1 2 1 2 1 22 , 3 , 2AB e ke CB e e CD e e              ， 若 A B D、 、 三点共线，求 k 的值. 变式：设 1 2,e e   是两个不共线的向量,已知 1 2 1 2 1 22 8 , 3 , 2AB e e CB e e CD e e              , 求证： A B D、 、 三点共线. E D C B A 例 3. OAB 中，C 为直线 AB 上一点，  1,  CBAC 求证： 1 OA OBOC       思考： （1）当 1  时，你能得到什么结论？ （2）上面所证的结论： 1 OA OBOC       表明：起点为O ，终点为直线 AB 上一点C 的 向量OC  可以用 ,OA OB   表示，那么两个不共线的向量 ,OA OB   可以表示平面上任意一 个向量吗？ 例 4.已知向量 1 2 1 22 3 , 2 3 ,a e e b e e         其中 1 2,e e   不共线，向量 1 22 9c e e    ，是否 存在实数 ,  ，使得 d a b     与 c  共线 例 5.平面直角坐标系中，已知 (3,1), ( 1,3),A B  若点C 满足 ,OC OA OB     其中 , ,R   , ,A B C 三点共线，求  的值； 【巩固练习】 1.已知向量 1 2 2 12 2 , 3( ),a e e b e e          求证： ,a b   为共线向量. 2.设 1 2,e e   是两个不共线的向量， 1 2 1 22 , ,a e e b ke e         若 ,a b   是共线向量，求 k 的值. 3.求证：起点相同的三个非零向量 , ,3 2a b a b    的终点在同一直线上. 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 2.3 平面向量基本定理 【学习目标】 1． 了解平面向量的基本定理及其意义； 2． 掌握三点（或三点以上）的共线的证明方法： 3． 提高学生分析问题、解决问题的能力。 【预习指导】 1、平面向量的基本定理 如果 1e ， 2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有 一对实数 1 ， 2 使 a = 1 1e + 2 2e 2、基底： 平面向量的基本定理中的不共线的向量 1e , 2e ，称为这一平面内所有向量的一组基底. 思考： （1）向量作为基底必须具备什么条件？ ______________ （2）一个平面向量的基底唯一吗？ ______________ 3、向量的分解、向量的正交分解： 一个平面向量用一组基底 1e , 2e 表示成 a = 1 1e + 2 2e 的形式，我们称它为向量的分解， 当 1e , 2e 互相垂直时，就称为向量的正交分解。 4、 点共线的证明方法：_____________________________. 【典例选讲】 例 1：如图：平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于一点 M ， AB = a , AD =b 试用 a ,b 表示 MC , MA , MB 和 MD . D C M b A B a 例 2： 设 1e ， 2e 是平面的一组基底，如果 AB =3 1e —2 2e ， BC =4 1e + 2e ， CD =8 1e —9 2e ，求证：A、B、D 三点共线. 例 3： 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上，且 BM= 2 1 AB，点 N 在 BC 上，且 BN= 3 1 BC ，用向量法证明： M、N、D 三点共线。 D C N A B M 【巩固练习】 1、若 1e ， 2e 是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（ ） A、 1e —2 2e 和 1e +2 2e B 、 1e 与 3 2e C、2 1e +3 2e 和 - 4 1e —6 2e D、 1e + 2e 与 1e 2、若 1e ， 2e 是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是______________ ① 若实数 1 ， 2 使 1 1e + 2 2e = 0 ，则 1 = 2 =0 ② 空间任意向量都可以表示为 a = 1 1e + 2 2e ， 1 ， 2 R ③ 1 1e + 2 2e ， 1 ， 2 R 不一定表示平面内一个向量 ④ 对于这一平面内的任一向量 a ，使 a = 1 1e + 2 2e 的实数对 1 ， 2 有无数对 3、三角形 ABC 中，若 D，E，F 依次是 AB 的四等分点，则以CB = 1e ，CA = 2e 为基底时，用 1e ， 2e 表示CF B F E · D · A C 4、若 a =- 1e +3 2e , b = 4 1e +2 2e , c = -3 1e +12 2e , 写出用 1 b + 2 c 的形式表示 a 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 2.3 平面向量的坐标表示及运算(1) 【学习目标】 1、 能正确的用坐标来表示向量； 2、 能区分向量的坐标与点的坐标的不同； 3、 掌握平面向量的直角坐标运算； 4、 提高分析问题的能力. 【预习指导】 1、 一般地，对于向量 a ，当它的起点移至_______时，其终点的坐标 ),( yx 称为 向量 a 的（直角）坐标，记作________________. 2、有向线段 AB 的端点坐标为 ),(,),( 2211 yxByxA ，则向量 AB 的坐标 为___________________________. 3、若 a = ),( 11 yx ， ),( 22 yxb  a +b =_________________________.  ba ________________________. 【典型例题选讲】 例 1：已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， 060,34  xOAOA ，求向量OA 的坐标 例 2：已知 A（-1，3），B（1，-3），C (4 ,1) , D (3 ,4), 求向量 CDAOOBOA ,,, 的坐标 例 3：平面上三点 A（-2,1），B（-1,3），C（3，4）,求 D 点坐标，使 A,B,C,D 这四个点构成 平行四边形的四个顶点。 例 4：已知 P1（ 11, yx ），P2（ 22 , yx ），P 是直线 P1P2 上一点，且 )1(21  PPPP ， 求点 P 的坐标 【巩固练习】 1、与向量 )5,12(a 平行的单位向量为__________________________________ 2、若 O（0,0）,B(-1,3) 且 /OB =3OB ，则 /B 点的坐标是：___________________ 3、已知 O 是坐标原点，点 A 在第二象限， OA =2， 0150xOA 求向量OA 的坐标 4、已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上，点 C 在第一象限， D 为 AC 的中点，分别求 BDBCACAB ,,, 的坐标。 【课堂小结】 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 2.3 平面向量的坐标表示及运算（2） 【学习目标】 1、 进一步掌握向量的坐标表示； 2、 理解向量平行坐标表示的推导过程； 3、 提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。 【预习指导】 1、 向量平行的线性表示是_____________________________ 2、向量平行的坐标表示是：设 ),( 11 yxa  ， )0)(,( 22  ayxb ，如果 a ∥b ， 那么________________________，反之也成立。 3、已知 A ，B ，C ，O 四点满足条件： OCOBOA   ，当 1  ， 则能得到_______________________________ 【典型例题选讲】 例 1：已知  0,1A ， )1,3( B ， )2,1(C 且 BCBFACAE 3 1,3 1  ,求证： EF ∥ AB 例 2：已知 )1,2(,)0,1(  ba ，当实数 k 为何值时，向量 bak  与 ba 3 平行？ 并确定此时它们是同向还是反向 例 3：已知点 O , A , B , C , 的坐标分别为（0，0），（3，4），（－1，2），（1，1），是否存在 常数t ， OCOBtOA  成立？解释你所得结论的几何意义。 【巩固练习】 1、 已知 ),,6(),3,2( yba  且 a ∥b ，求实数 y 的值 2、 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A (2, 1)， B (－1,3) ， C (3,4)， 求第四个顶点的 D 坐标 3、 已知 A (0, －2)，B (2, 2)，C (3, 4)，求证：A，B，C 三点共线 4、 已知向量 )4,3( a ，求与向量 a 同方向的单位向量 5、 若两个向量 )4,(,),1( xbxa  方向相同，求 ba 2 【课堂小结】 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 2.4 平面向量的数量积（1） 【学习目标】 1. 理解平面向量数量积的概念及其几何意义 2. 掌握数量积的运算法则 3. 了解平面向量数量积与投影的关系 【预习指导】 1. 已知两个非零向量 a 与b ，它们的夹角为 ，则把数量_________________叫做向量 a 与b 的数量积（或内积）. 规定：零向量与任何一向量的数量积为__________ 2. 已知两个非零向量 a 与b ，作 aOA  ， bOB  ，则______________________叫做向量 a 与b 的夹角 当 00 时， a 与b ___________，当 0180 时， a 与b _________； 当 090 时，则称 a 与b __________ 3. 对于 cosbaba  ，其中_____________叫做b 在 a 方向上的投影 4. 平面向量数量积的性质 若 a 与b 是非零向量， e 是与b 方向相同的单位向量， 是 a 与b 的夹角，则： ① cos aaeea ； ② baba  0 ； ③ baba  ； ④若 a 与b 同向，则 baba  ；若 a 与b 反向，则 baba  ； 2 aaa  或 aaa  ⑤设 是 a 与b 的夹角，则 ba ba cos 5. 数量积的运算律 ①交换律：_____________________________ ②数乘结合律：_________________________ ③分配律：_____________________________ 注：①、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异 ②、数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律 即 cba  )( 不一定等于 )( cba  ，也不适合消去律 【典型例题】 例 1： 已知向量 a 与向量b 的夹角为 ， a = 2， b = 3 ，分别在下列条件下求 a b ： （1） = 135 0 （2） a ∥ b （3） ba  例 2：已知 a = 4 ， b = 6 ， a 与b 的夹角为 60 0 求：（1） a  b （2） a  )( ba  （3） )3()2( baba  例 3：已知 a = 4 ， b = 8 ，且 a 与b 的夹角为 120 0 计算：（1） )2()2( baba  （2） ba 2 例 4：已知向量 a  e ， e =1 ，对任意 t R ,恒有 eta   ea  ，则（ ） A、 a  e B、 a  （ a )e C、 e  （ a )e D、（ )() eaea  【巩固练习】 1、 已知 a = 10 ， b = 12 ，且 36)5 1()3(  ba ，则 a 与b 的夹角为__________ 2、 已知 a 、b 、 c 是三个非零向量，试判断下列结论是否正确： （1）、若 baba  ，则 a ∥ b （ ） （2）、若 cbca  ，则 ba  （ ） （3）、若 baba  ，则 ba  （ ） 3、已知 0)()23(,3,2,0  babababa  ，求  4、正 ABC 边长为 a ，则  ABCACABCACAB __________ 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 2.4 平面向量的数量积（2） 【学习目标】 1、 能够理解和熟练运用模长公式，两点距离公式及夹角公式； 2、 理解并掌握两个向量垂直的条件。 【预习指导】 1、若 ),(),,( 2211 yxbyxa  则  ba ________________ 2、向量的模长公式： 设 ),( yxa  则 2 a = a a cos = 22 yxaa   a __________ 3、 两点间距离公式 设 A（ ), 11 yx B ),( 22 yx 则  BAyyxxBA ,),( 1212 __________ 4、 向量的夹角公式： 设 a =（ ), 11 yx ， ),( 22 yxb  ， a 与b 的夹角为 ，则有  ba bacos ________ 5、 两个向量垂直：设 a =（ ), 11 yx ， ),( 22 yxb  ， 0,0  ba  ba ____________________ 注意：对零向量只定义了平行，而不定义垂直。 【典例选讲】 例 1：已知 a =（2, )1 ， )2,3( b ，求 )2()3( baba  例 2：在 ABC 中，设 ),1(),3,2( kACAB  且 ABC 为直角三角形，求 k 的值 例 3：设向量 2121 34, eebeea  ，其中 1e =（1，0）， 2e =（0，1） （1）试计算 ba  及 ba  的值 （2）求向量 a 与b 夹角的余弦值的大小 【巩固练习】 1、已知 )2,1(),2,2(  ba ，求： ).23()( baba  2、已知向量 )3,2(),1,1(  ba ，若 bak 2 与 a 垂直，则实数 k =__________ 3、已知 )1,(),2,1( xba  若 ba 2 与 ba 2 平行，则 x __________ 4、已知 A、B、C 是平面上的三个点，其坐标分别为 )1,0(),1,4(),2,1( CBA 那么 ACAB  =_________， ACB _________， ABC 的形状为__________ . 5、已知 )2,12(),3,2(  mmbmma ，且 a 与b 的夹角为钝角，求实数 m 的取值范围。 平面向量强化试题 （一） 一、选择题 1）．下列命题正确的个数是（ ） ① 0AB BA    ；② 0 0AB    ；③ AB AC BC    ；④ 0 0AB  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2）．在△ABC 中，AB＝AC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则（ ） A．BD→ ＝CE→ B．BD→ 与CE→共线 C．BE→＝BC→ D．DE→ 与BC→共线 3）．已知 (1,2)a  , (2 , 3)b x  且 a  ∥b  ,则 x  （ ） A．－3 B． 3 4  C．0 D． 3 4 4）．在△ABC 中，∠C＝90°，AB→＝(k,1)，AC→＝(2,3)，则 k 的值是（ ） A．5 B．－5 C．3 2 D．－3 2 5）．已知点 A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB→在CD→ 方向上的投影为（ ） A．3 2 2 B．3 15 2 C．－3 2 2 D．－3 15 2 6）．两个大小相等的共点力 F1、F2，当它们的夹角为 90°时，合力大小为 20 N，当它们 的夹角为 120°时，合力大小为（ ） A．40 N B．10 2N C．20 2N D．40 2N 7）．若 M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB→ －MC→ )·(MB→ ＋MC→ －2MA→ )＝0，则 △ABC 为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8）．在四边形 ABCD 中，AC→＝(1,2)，BD→ ＝(－4,2)，则该四边形的面积为（ ） A． 5 B．2 5 C．5 D．10 9）．已知点 O、N、P 在△ABC 所在的平面内，且|OA→ |＝|OB→ |＝|OC→ |，NA→＋NB→＋NC→ ＝0， PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点 O、N、P 依次是△ABC 的（ ） A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心 C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心 10）．设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→ |＝4.若点 M，N 满足BM→ ＝3MC→ ，DN→ ＝2NC→ ， 则AM→ ·NM→ ＝（ ） A．20 B．15 C．9 D．6 二、填空题 11）．若 A(-1,-2)、B(4,8)、C(5,x)三点共线，则 x＝ ． 12）．已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若 ka－2b 与 a 垂直，则实数 k 等于________． 13）．某人从点 O 向正东走 30 m 到达点 A，再向正北走 30 3m 到达点 B，则此人的位移 的大小是________m，方向是东偏北________． 14）．作用于同一点的两个力 F1、F2 的夹角为2π 3 ，且|F1|＝3，|F2|＝5，则 F1＋F2 的大小 为____________． 三、解答题 15）．已知向量 a＝(1，2)，b＝(x，1)的夹角为q (1) 若q 为锐角，求 x 的范围； (2) 当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求 x 的值． 16）．如图 ABCD 中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝π 3 ，求对角线 AC 和 BD 的长． （二） 一、填空题 1）．与向量  3,1 a 平行的单位向量是____________________. 2）．已知 4a ， 8b ，且  aba  2 ，则 ba与 夹角的余弦值为______. 3）．已知  3,0 A ，  3,3B ，  1,xC ，且 AB ∥ BC ，则 x ____________. 4）．若 10a ， 12b ，且   365 13      ba ，则 ba与 的夹角为_______________. 5）．已知向量  2,3 OM ，  1,5 ON ，则 MN2 1 ______________. 6）．已知 0ba ， 2a ， 3b ，且     023  baba  ，则  ______. 7）．已知向量 a 、b 满足 3a ， 5 ba ， 5 ba ，则 b _______ . 8）．若向量  43,3  yxxa 与 AB 相等，且  2,1A ，  2,3B ，则 x _____ y _____. 9）．已知  ,0a ， e 为单位向量，当 ea  时， e ________________. 10）．若 A 、 B 、C 三点共线，且 CBAC 3 2 ，则 AB _____CA . 11）．在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 DBAD 2 ， CBCACD  3 1 ， 则  ___________. 12）．设      sin,2 3a ，      3 1,cosb ，且 a ∥b ，则锐角  __________. 二、解答题 13）．已知   sin,cosa ，   sin,cosb ， 5 52 ba ⑴ 求   cos ⑵ 若 20   ， 02   且 13 5sin  ，求 sin 14）．设线段 MN 的端点  5,xM ，  yN ,2 ，点  1,1P 是直线 MN 上的点，且 NPMP 2 ， 求点 M 和点 N 的坐标. 15）．已知 OP = )1,2( ，OA = )7,1( ，OB = )1,5( ，设 M 是直线 OP 上一点，O 是坐标原点 （1）求使 MBMA 取最小值时的 OM ； （2）对（1）中的点 M ，求 AMB 的余弦值 16）．已知 ( 3sin , cos )a x m x  r ， (cos , cos )b x m x   r , 且 ( )f x a b  r r (1) 求函数 ( )f x 的解析式; (2) 当 ,6 3x       时, ( )f x 的最小值是－4 , 求此时函数 ( )f x 的最大值， 并求出相应的 x 的值. 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦公式 【学习目标】 1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式,并能初步运用解决具体问题； 2、应用公式 C )(   ，求三角函数值. 3、培养探索和创新的能力和意见. 【学习重点难点】 向量法推导两角和与差的余弦公式 【学习过程】 （一）预习指导 探究 cos(α+β)≠cosα+cosβ 反例： cos cos cos cos2 3 6 3 6 p p p p p骣琪= + ¹ +琪桫 问题：cos(α+β),cosα,cosβ的关系 （二）基本概念 1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆 及单位圆中的三角函数线 2.探究：在坐标系中α、β角构造α+β角 3.探究：作单位圆，构造全等三角形 探究：写出 4 个点的坐标 P1(1,0), P2(cosα,sinα) P3(cos(α+β),sin(α+β)) P4(cos(-β),sin(-β)) 4.计算 31 pp ， 42 pp 31 pp = 42 pp = 5.探究：由 31 pp = 42 pp 导出公式 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2 展开并整理 得 所以 记为 C )(   6.探究：cos(α-β)的公式: 以-β代β得： 记为 C )(   （三）典型例题： 例 1：不查表，求下列各式的值. (1)cos105° （2）cos15° (3) 3 3cos cos sin sin5 10 5 10 p p p p- (4)cos80°cos20°+sin80°sin20° (5)cos215°-sin215° (6)cos80°cos35°+cos10°cos55° 例 2：已知 sinα= 4 5 ，α 2 p p骣琪琪桫 ， ，cosβ= 5 13 - ，β是第三象限角， 求 cos（α-β）的值. 例 3：已知 cos(2α-β)= 11 14 - ，sin(α-2β)= 4 3 7 ，且 < <4 2 p pa ， 0< < 4 pb 求 cos(α+β)的值. 例 4：cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且 ＜α＜π，0＜β＜ ， 求 cos 的值. 【巩固练习】 1.求 cos75°的值 2.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115° 3.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20° 4.sinα-sinβ=- ,cosα-cosβ= , α(0, ), β(0, ),求 cos(α-β)的值. 5.已知锐角α，β满足 cosα= ,sin(α-β)=- ,求 cosβ. 2  9 1 2  3 2 2  2  2   2 1 2 1 2  2  2  5 3 13 5 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 3.1.2（1） 两角和与差的正弦公式 【学习目标】 1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。 2、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。 并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 3、掌握诱导公式 sin =cosα， sin = cosα, sin =- cosα, sin =- cosα, 【学习重点难点】 （一）预习指导：两角和与差的余弦公式： （二）基本概念：两角和的正弦公式的推导 sin(α+β)= 结论：    sin （三）、典型例题： 例 1：求值 sin( x+60°)+2sin( x -60°)- 3 cos(120°- x ) 例２：已知 sin(2α+β)=3sinβ,tanα=1，求 tan(α+β)的值. 例３：已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ，求 的值. 【巩固练习】 1.在△ABC 中，已知 1cos 3A = ， 4cosB= 5 ，则 cosC 的值为 2.已知 3< <4 4 p pa ， 0< < 4 pb ， 3cos 4 5 p a骣琪 + = -琪桫 ， 3 5sin 4 13 p b骣琪 + =琪桫 ， 求 sin(α+β)的值.       2       2       2 3       2 3 3 2 5 2   tan tan 3.已知 sinα+sinβ= ,求 cosα+cosβ的范围. 4.已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值. 5.已知 sinα+sinβ= cosα+cosβ= 求 cos(α-β) 6.化简: 2 cos x - 6 sin x 我们得到一组有用的公式： （1）sinα±cosα= 2 sin （2）sinα 3 cosα=2sin （3） a sin +b cos = 22 ba  sin（α+ ）= 22 ba  cos(α- ) 7.化简： 3 cos xx sin 8.已知 ，求函数у=cos（ ）-cos 的值域. 9.求 的值. 2 2 2 1 10 1   tan tan 5 3 5 4       4        3      2,0 x x 12        x12 5   20cos 20sin10cos2 高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 3.1.2（2） 两角和与差的正切公式 【学习目标】 1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。 2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。 3.能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 【学习重点难点】 能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 【学习过程】 （一）预习指导： 1.两角和与差的正、余弦公式 cos(α+β)= cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= 2.新知 tan(α+β)的公式的推导： 注意： 1°必须在定义域范围内使用上述公式 tanα，tanβ,tan(α+β)只要有一个不存在就不能使用 这个公式，只能用诱导公式。 2°注意公式的结构，尤其是符号。 （二）典型例题选讲： 例 1：已知 tanα= ,tanβ=-2 ， ( )0 90a Î  ， ， ( )90 180b Î  ， 求 tan(α+β),tan(α-β) 及α+β的值. 3 1 例 2：求下列各式的值： （1） （2）tan17°+tan28°+tan17°tan28° （3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20° 例 3：已知 sin(2α+β)+2sinβ=0 求证：tanα=3tan(α+β) 例 4：已知 tan 和 tan( - )是方程 x 2+p x +q=0 的两个根，证明：p-q+1=0. 【巩固练习】 1. 在△ABC 中，若 tan  tan  =tan  +tan +1，则 cos(  +  )的值为 . 2.在△ABC 中，若 0＜tanA·tanB＜1 则△ABC 一定是 . 3.在△ABC 中，tanA+tanB+tanC=3 3 ,tan2B=tanAtanC,则∠B 等于 . 4. = . 5.已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.   75tan1 75tan1 4    40tan20tan 120tan40tan20tan 2 1 3 1 )tan(tan tantan)tan( 2     高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 3.1.3 二倍角的三角函数（1） 【学习目标】 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。 【学习重点难点】 重点：1.二倍角公式的推导； 2.二倍角公式的简单应用。 难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。 【学习过程】 （一）预习指导： 复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式： sin(α+β)= (S   ) cos(α+β)= (C   ) tan(α+β)= (T   ) (α,β, α+β≠Kπ+ , K ZÎ ) (二)基本概念 二倍角公式的推导 在公式（S   ），（C   ），（T   ）中，当α=β时，得到相应的一组公式： sin2α= (S 2 ) cos2α= (C 2 ) tan2α= (T 2 ) 注意：1°在（T 2 ）中 2α≠ + ,α≠ + (  ) 2°在因为 sin2α+cos2α=1，所以公式（C 2 ）可以变形为 cos2α= 或 cos2α= (C′ 2 ) 公式（S 2 ），（C 2 ），（C′ 2 ），（T 2 ）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式 2  2  2  （三）典型例题： 例 1 不查表，求下列各式的值 (1)( ) (2) (3) (4) 1+2  2coscos 2  例 2 求 tan =3，求 sin2 -cos2 的值 例 3 已知 sin (0＜ ＜ ),求 cos2 ,cos( + )的值。 例 4 已知 sin +cos = ,  ,求 sin2 ,cos2 ,sin ,cos 的值 例 5 求 的值 【巩固练习】 1.若 270°＜α＜360°，则 = 2. 求值： （1）sin22°30＇cos22°30＇= （2）2 = （3） = （4） = （5）cos20°cos40°cos60°cos80°= 3.已知 5 3sin  ，       ,2 ，求 2sin ， 2cos ， 2tan 的值 4.已知 9 1 2cos        ， 3 2 2sin        ，且 ＜α＜π,0＜β＜ ， 求   cos 的值 12 5cos12 5sin   )12 5cos12 5(sin   2sin2cos 44    tan1 1 tan1 1  13 5)4(  4  4  5 1       4 3,2  9 4cos9 2cos9cos  2cos2 1 2 1 2 1 2 1  18cos 2  8cos8sin 22   12cos24cos48cos48sin8  2  2  高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 3.1.3 二倍角的三角函数（2） 【学习目标】 1.熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 2.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： ， 这两个形式今后常用 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力 【学习重点难点】 重点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍欠的三角函数 难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 【学习过程】 （一）预习指导 有关公式： 2sin 2 a = __________； 2cos 2 a = __________； 2tan 2 a = __________ （二）典型例题： 例 1 化简： 2 1 sin8 2 2cos8- + + 例 2 求函数 xxxy sincoscos 2  的值域 例 3 化简： 例 4 化简：sin50°(1+ 10tan3 ) 2 2cos1cos 2   2 2cos1sin 2       sincos1 sincos1 sincos1 sincos1    【巩固练习】 1.若 ≤α≤ ，则 1 sin 1 sin =a a+ + - . 2. 22 sin 2 cos4=- + . 3.sin6°cos24°sin78°cos48°= . 4. = . 5.已知 ，则 = . 6.已知 （0＜α＜ ），则 2sin = . 7.求值 tan70°cos10°( 3 tan20°-1). 8.求 的值 9.已知 ， ，求 sin4α的值 2 5 2 7 9 4cos9 3cos9 2cos9cos  2 15sin x )4(2sin x 13 5)4sin(  4   10cos 3 10sin 1 6 1)4sin()4sin(   ),2(   《三角恒等变换》单元测试题 班级 姓名 _ 一、选择题(5 分×7=35 分) 1．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ） A． 2 3 B． 2 1 C． 2 3 D． 2 1 2．在△ABC 中， cos cos sin sinA B A B ，则△ABC 为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 3．函数 y＝sin(x－ 12  )·cos(x－ 12  )，下列结论正确的是（ ） A．T＝2π，对称中心为( 12  ，0) B．T＝π，对称中心为( 12  ，0) C．T＝2π，对称中心为( 6  ，0) D．T＝π，对称中心为( 6  ，0) 4. 下列各式中值等于 1 2 的是（ ） A. sin15 cos15  B. 2 tan 22.5 1 tan 22.5   C. 2 2cos sin12 12   D. 1 cos 3 2  5. 函数 sin 3 cos2 2 x xy   的图像的一条对称轴方程是（ ） A. x  11 3  B. x  5 3  C. 5 3x   D. 3x   6．已知 2cos2 3   ，则 4 4sin cos  的值为（ ） A． 18 13 B． 18 11 C． 9 7 D． 1 7．下列坐标不是函数       62tan xy 的图像的对称中心的是( ) A．      0,3  B．      0,3 5 C．      0,3 4 D．      0,3 2 二、填空题（5 分×4=20 分） 8． cos75 cos15×  的值是 9．     ._________sinsincoscos   10． tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 =     . 11．已知 1cos( ) 3    ， 2    ，则sin 2 = 三、解答题（共 45 分） 12.（10 分）化简：［2sin50°+sin10°（1+ 3 tan10°）］· 2sin 80 ． 13.（10 分）已知 2 π ＜β＜α＜ 4 π3 ，cos（α－β）= 13 12 ，sin（α+β）=－ 5 3 ，求 sin2α的值 14.（12 分）已知函数  2 2sin cos 2cosy x x x   （1）求此函数的最小正周期 （2）求此函数的单调递减区间 15.( 13 分) 已知 f (x)＝2sin(x＋ 2  )cos(x＋ 2  )＋2 3 cos2(x＋ 2  )－ 3 ⑴ 化简 f (x)的解析式 ⑵ 若 0≤θ≤π，求θ使函数 f (x)为偶函数 ⑶ 在⑵成立的条件下，求满足 f (x)＝1，x∈[－π，π]的 x 的集合.