人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业五
课时提升作业 五
绝对值不等式的解法
基础过关
一、选择题(每小题 6 分,共 18 分)
1. >0 的解集为 ( )
A.
B.
C.
D.{x|x∈R 且 x≠-3}
【解析】选 C.原不等式可化为
解得 x> 或 x<- 且 x≠-3.
2.不等式|x-2|+|x-1|≤3 的最小整数解是 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
【解析】选 A.根据绝对值的几何意义,
得不等式|x-2|+|x-1|≤3 的解为 0≤x≤3.
所以不等式|x-2|+|x-1|≤3 的最小整数解为 0.
3.若关于 x 的不等式|x-2|+|x-a|≥a 在 R 上恒成立,则 a 的最大值是 ( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
【解析】选 B.|x-2|+|x-a|=|x-2|+|a-x|≥
|x-2+a-x|=|a-2|,所以|a-2|≥a,解得 a≤1,
所以 a 的最大值为 1.
二、填空题(每小题 6 分,共 12 分)
4. 已 知 集 合 A={x||x-4|+|x-1|<5},B={x|a
0,b>0 且 a+b=1,
所以 + =(a+b) =5+ + ≥9,
故 + 的最小值为 9,因为对任意的 a,b∈(0,+∞),
使 + ≥|2x-1|-|x+1|恒成立,
所以|2x-1|-|x+1|≤9,
当 x≤-1 时,2-x≤9,所以-7≤x≤-1;
当-12 时,f(x)=
由①②可得 f(x)min=f = =3,
解得 a=-4 或 8.
能力提升
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是 ( )
A.(-∞,4) B.(-∞,1)
C.(1,4) D.(1,5)
【解题指南】可以分段讨论去掉绝对值符号,也可以利用绝对值的几何意义,还
可以结合选择题的特点利用特殊值排除错误答案.
【解析】选 A.方法一:当 x<1 时,原不等式化为 1-x-(5-x)<2,即-4<2,不等式恒
成立;当 1≤x<5 时,原不等式即 x-1-(5-x)<2,解得 x<4;当 x≥5 时,原不等式化
为 x-1-(x-5)<2,即 4<2,显然不成立,综上可得不等式的解集为(-∞,4).
方法二:由绝对值的几何意义可得数轴上的点 x 到 1,5 两点(距离为 4)的距离之
差小于 2 的点满足 x<4,所求不等式的解集为(-∞,4).
方法三:用排除法,令 x=0 符合题意,排除 C,D;令 x=2 符合题意,排除 B.
2.设函数 f(x)= 则使 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围是
( )
A.(-∞,-2]∪[0,4] B.(-∞,-2]∪[0,1]
C.(-∞,-2]∪[1,4] D.[-2,0]∪[1,4]
【解析】选 A.由题意知,当 x<1 时,f(x)≥1 等价于(x+1)2≥1,解得 x≤-2 或 0≤
x<1;
当 x≥1 时,f(x)≥1 等价于 4- ≥1,解得 1≤x≤4.
综上所述,满足题设的 x 的取值范围是
(-∞,-2]∪[0,4].
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.若关于 x 的不等式|ax-2|<3 的解集为 ,则 a=__________.
【解析】由|ax-2|<3 得到-32, 则 关 于 实 数 x 的 不 等 式 |x-a|+|x-b|>2 的 解 集 是
________.
【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识|x-a|+|x-b|表示数轴上某点到 a,b
的距离之和即可得解.
【解析】函数 f(x)=|x-a|+|x-b|的值域为:
[|a-b|,+∞).因此,当∀x∈R 时,f(x)≥|a-b|>2.所以,不等式|x-a|+|x-b|>2 的
解集为 R.
答案:R
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)-1,且当 x∈ 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围.
【解析】(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)-1,且当 x∈ 时,
f(x)=1+a,不等式化为 1+a≤x+3,
故 x≥a-2 对 x∈ 都成立.
故- ≥a-2,解得 a≤ ,
故 a 的取值范围为 .
6.设函数 f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的
解集为 N.
(1)求 M.
(2)当 x∈M∩N 时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤ .
【解析】(1)f(x)=2|x-1|+x-1=
当 x≥1 时,由 f(x)≤1 得 x≤ ,故 1≤x≤ ;
当 x<1 时,由 f(x)≤1 得 x≥0,故 0≤x<1;
综上可知,f(x)≤1 的解集为 M= .
(2)由 g(x)=16x2-8x+1≤4 得 16 ≤4,
解得- ≤x≤ .因此 N= ,
故 M∩N= .
当 x∈M∩N 时,f(x)=1-x,
于是 x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)(x+f(x))=xf(x)
=x(1-x)= - ≤ .
