2020年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷(文科)(A卷) (含答案解析)

2020年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷(文科)(A卷) (含答案解析)

2020 年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷(文科)(A 卷) 一、单项选择题（本大题共 12小题，共 60.0分） 1. 若集合 ൌ ሼ ݔ ሼ 晦 1i， ൌ ሼݔ 晦 ሼ i，则 ൌ 䁧 A. ሼ ݔ ሼ i B. ሼ ݔ ሼ 晦 iݔ C. ሼݔ 晦 ሼ 晦 1i D. ሼ1 晦 ሼ i . 若复数 ൌ 㠳㈮‵ 㠳1ݔ ，则 ൌ 䁧 A. ݔ 1 ㈮ ൅㠳 B. ݔ 1 ݔ ൅㠳 C. 1 ㈮ ൅㠳 D. 1 ݔ ൅㠳 ൅. 观察下列不等式： 1 ㈮ 1 晦 ൅ ， 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ 晦 ൅ ， 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ 晦 ‵ 照此规律，第五个不等式为䁧 A. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 晦 11 B. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 晦 1൅ C. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 晦 D. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 ㈮ 1 晦 1൅ E. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 晦 ݔ1 F. 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 晦 11 ‵. 三个数 ൌ logݔ.， ൌ ，൅.ݔ ൌ ൅的大小关系为䁧.ݔ A. 晦 晦 B. 晦 晦 C. 晦 晦 D. 晦 晦 . 某教育机构随机抽取某校 20个班级，调查各班级关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据 按照ݔ，ݔ1，1ݔ1，ݔ1，ݔ，൅ݔ，൅ݔ൅，൅‵ݔ进行分组，并绘制 成如图所示的频率分布直方图，则将所得数据绘制成的茎叶图可能是䁧 A. B. C. D. . 某多面体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该多面体的表面积为䁧 A. ㈮ ‵ ㈮ ൅ B. ㈮ ㈮ ‵ ൅ C. ㈮ ൅ D. ㈮ ‵ . 已知向量 ൌ 䁧 ൅൅在向量 ൌ 䁧䁪1方向上的投影为 3，则与的夹角为䁧 A. 30 B. ݔ C. ൅ݔ或 ݔ1 D. 或ݔ ݔ1 . 已知函数 的图象向左平移 个单位后得到 䁧ሼ ൌ cos䁧ሼ ㈮ 的图 象，则的值为䁧 A. ݔ ൅ B. ݔ ൅ C. ൅ D. ൅ . 在正方体 ݔܥ 1中，异面直线ܥ111 AC与11所成的夹角为䁧 A. ൅ݔ B. ‵ C. ݔ D. ݔ .ݔ1 设两个相互独立事件 A，B都不发生的概率为 1 ，则 A与 B都发生的概率的取值范围是䁧 A. ݔ B. 1 C. ൅ D. ݔ ‵ 11. 已知双曲线 C：ሼ ݔ ൌ 1䁧 ݔ 的右焦点为ݔ F，虚轴的一个端点为 A，若 AF与双曲线 C 的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为䁧 A. ㈮ 1 B. C. 1㈮ D. ൅ 1. 已知 ሼ 是函数 ሼ 的导函数，且对任意实数 x都有 ሼ ൌ ሼ ሼ㈮ ൅ ㈮ ሼ 䁧是自然对数的 底数， ݔ ൌ 1，对于函数 ሼ ，下列说法正确的是䁧 A. 无极值 B. 有极大值，无极小值 C. 有极小值，无极大值 D. 既有极大值又有极小值 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分） 1൅. 等差数列䁪i中，已知‵ ㈮ ൌ ，则 ൌ ______ ． 1‵. 已知圆C：䁧ሼ ݔ 1 ㈮ 䁧 ݔ ൌ 1，若直线ሼ㈮ ݔ ൌ 与圆C相交于A，B两点，且ݔ ， 则实数 a的值为_______． 1. 已知三棱锥 ݔ 中，平面 ܥ 平面 BCD， ܥ ൌ ܥ ൌ ‵ ൌ ܥ ൌ ൅，则三 棱锥 ݔ ．________的外接球的大圆面积为ܥ 1. 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ ሼ ݔ ，若存在 ሼ 1，使得 䁧ሼ 晦 ，则实数 a的取值范围是______． 三、解答题（本大题共 7小题，共 82.0分） 1. 已知䁪是等差数列 䁪 的前 n项和，且൅ ൌ ൅䁪 ൌ 䁪 ㈮ 1䁧䁪 ᦙ 䁧1求数列 䁪 的通项公式； 䁧若䁪 ൌ ൅䁪1ݔ，令 䁪 ൌ 䁪䁪，求数列 䁪 的前 n项和䁪 18. 已知底面为正三角形的三棱柱 ݔ 111中，1 平面 ABC，D、E分别是11，1的中 点，F是 AB边上的点，且 ൌ ൅，连接 EF、DB、1B、1D. 䁧Ⅰ求证：平面 ܥ1 平面 11； 䁧Ⅱ在线段 AC上，是否存在一点 M，使得平面 平面ܯܯܧ 若存在，请找出点，ܥ1 M的位 置，并证明平面 平面ܯܯܧ ．若不存在，请说明理由，ܥ1 19. 某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区 部分师生进行调查，先将调查结果统计如下： 赞成反对总计 教师 120 学生 40 总计 280 120 䁧1请将表格补充完整，若该地区共有教师 30000人，以频率为概率，试估计该地区教师反对“高 考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数； 䁧按照分层抽样从“反对”的人中先抽取 6人，再从中随机选出 3人进行深入调研，求深入调 研中恰有 1名学生的概率． 20. 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ，䁧ሼ ൌݔ 䁧1 ㈮ 䁪ሼ䁧 ． 䁧1讨论函数 䁧ሼ的单调性； 䁧若对任意的 ሼ 1 ㈮ ，䁧ሼ 䁧ሼ恒成立，求实数 a的取值范围． 21. 在直角坐标系 xOy中，设点 䁧 ݔ Q为，ݔ䁧1，ݔ1 的外心．已知 ㈮ ൌ ．ܯܯ，ݔ 䁧1求点 C的轨迹的方程 䁧设经过 䁧ݔ 的直线交轨迹与 E，H，直线 EH与直线 l： ൌ ൅ 交于点 M，点 P是直线 ൌ 上异于点 F的任意一点．若直线 PE，PH，PM的斜率分别为1，，൅，问是否存在实 数 t，使得 1 1 ㈮ 1 ൌ ൅ ，若存在，求 t的值；若不存在，说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，曲线1： ሼ ൌ ൅ ㈮ ൅cosα ൌ sinα 䁧为参数经过伸缩变换 ሼ’ ൌ ሼ ൅ ’ ൌ 后的曲线为， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． 䁧1求的极坐标方程； 䁧设曲线൅的极坐标方程为ρsin䁧 ݔ ൌ 1，且曲线൅与曲线相交于 P，Q两点，求PQ的 值． 23. 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ ㈮ 1 ݔ ‵ ݔ ሼ． 䁧1求不等式 䁧ሼ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1的解集； 䁧若函数 䁧ሼ的最大值为 m，且 ㈮ ൌ ܾ䁧 ݔ 求，ݔ ㈮ 1 的最小值． 【答案与解析】 1.答案：C 解析：解： ൌ ሼ ݔ ሼ 晦 1i， ൌ ሼݔ 晦 ሼ i， ൌ ሼݔ 晦 ሼ 晦 1i． 故选：C． 由 A与 B，求出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.答案：A 解析： 本题考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属基础题 解： ൌ 㠳㈮‵ 㠳1ݔ ൌ 䁧㠳㈮‵䁧ݔ㠳1ݔ 䁧㠳1ݔ䁧ݔ㠳1ݔ ൌ 㠳ݔݔ ൌݔ 1 ݔ ൅㠳，则 ൌݔ 1 ݔ ൅㠳． 故选 A． 3.答案：A 解析： 本题考查归纳推理及等差数列的通项公式，解题关键是把每一个不等式与之对应的自然数联系起来， 得到规律． 解析： 解：每个式子左边的项数就是最后一项分母的底数，也是右边分数的分母，右边分数的分母组成以 3为首项，2为公差的等差数列， 因此第 n个不等式是 1 ㈮ 1 ㈮㈮ 1 䁧䁪㈮1 晦 ൅㈮䁧䁪1ݔ 䁪㈮1 ൌ 䁪㈮1 䁪㈮1， 所以第五个不等式为 1 ㈮ 1 ㈮ 1 ൅ ㈮ 1 ‵ ㈮ 1 ㈮ 1 晦 11 ． 故选 A． 4.答案：A 解析： 本题考查利用指数对数函数的性质比较大小，属基础题． 根据指数对数函数的性质可得 ݔ 晦 晦 1， 晦 ，ݔ 1，进而得到结论． 解：根据指数函数 ൌ ݔ，൅ሼ是单调减函数.ݔ 晦 ൌ ൅.ݔ 晦 ݔ൅.ݔ ൌ 1， ݔ 晦 晦 1； 根据对数函数 ൌ logሼ是单调增函数， ， 晦 ；ݔ 根据 ൌ ሼ是单调增函数，ݔ.൅ ，ݔ ൌ ൅.ݔ ݔ ൌ 1，即 1， 所以 晦 晦 ． 故选 A． 5.答案：A 解析： 题主要考查茎叶图的识别和判断，利用频分布直方图计算相应的频数是解决本题的关键，比较基础． 根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论． 解析： 解：由频率分布直方图可知： 的频数为ݔ ݔ 1ݔ.ݔ ൌ 1 个， 的频数为ݔ1 ݔ 1ݔ.ݔ ൌ 1个， 1频数为ݔ1 ݔ ‵ݔ.ݔ ൌ ‵个， 频数为ݔ1 ݔ ݔ.ݔ ൌ 个， 频数为ݔ ݔ ‵ݔ.ݔ ൌ ‵个， ൅ݔ频数为 ݔ ൅ݔ.ݔ ൌ ൅个， ൅ݔ൅频数为 ݔ ൅ݔ.ݔ ൌ ൅个， ൅‵ݔ频数为 ݔ ݔ.ݔ ൌ 个， 则对应的茎叶图为 A， 故选 A． 6.答案：A 解析：解：由题意可知几何体的三棱锥，是正方体的一部分，棱长为 2， 所以，几何体的表面积为： 1 ㈮ 1 ㈮ 1 䁧 ݔ 䁧 ൌ ㈮ ‵ ㈮ ൅． 故选：A． 判断几何体的形状，画出直观图，然后求解表面积． 本题考查空间几何体的三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键． 7.答案：A 解析： 本题考查向量的投影，属于简单题． 向量 ൌ 䁧 ൅൅在向量 ൌ 䁧䁪1方向上的投影为 cos ൌ ൅，求出 ，即可求解． 解：设与的夹角为， 由题知 cos ൌ ൅， 又 ൌ ൅ ㈮ ൅ ൌ ൅， cos ൌ ൅ ൅ ൌ ൅ ， ݔ1ݔ ， ൌ ൅ݔ． 故选 A． 8.答案：C 解析： 本题主要考查函数 ൌ 㠳䁪䁧ሼܣ ㈮ 的图象变换规律和诱导公式，属于基础题． 利用 ൌ 㠳䁪䁧ሼܣ ㈮ 的图象变换规律和诱导公式即可求得的值． 解：函数 的图象向左平移 个单位长度， 得到函数 的图象， 又 ， 所以 ， 晦 ，则 ൌ ൅， 故选 C． 9.答案：B 解析： 本题主要考查的是异面直线所成角的求法，属于基础题． 可根据正方体的特征得出异面直线 与11所成的角等于直线 与 AB所成的角，即可求解． 解：在正方体 ݔܥ 1中，由于ܥ111 ，11ܯܯ 所以异面直线 与11所成的角等于直线 AC与 AB所成的角， 即为异面直线 与11所成的角䁧或其补角， 在 中， ൌ ‵， 故异面直线 AC与11所成的夹角为 ‵， 故选 B． 10.答案：D 解析： 本题主要考查了对立事件、独立事件发生的概率计算及基本不等式的运用，属于中档题． 设事件 A，B发生的概率分别为 䁧 ൌ ሼ，䁧 ൌ ，则 䁧 ൌ 䁧䁧，代入由基本不等式求 解即可． 解：设事件 A，B发生的概率分别为 䁧 ൌ ሼ，䁧 ൌ ， 则 䁧 ൌ 䁧䁧 ൌ 䁧1 ݔ ሼ䁧1 ݔ ൌ 1 ， 即 1 ㈮ ሼ ൌ 1 ㈮ ሼ ㈮ 1 ㈮ ሼ，当且仅当 ሼ ൌ 时取“ൌ”， 所以 ሼ ൅ 或 ሼ ‵ ൅ 䁧舍去， 所以 ݔ ሼ ‵ ． 所以 䁧 ൌ 䁧䁧 ൌ ሼ ݔ ‵ ． 故选 D． 11.答案：C 解析： 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为 ݔ 1，考查运算能力，属于中档题． 设出 䁧ݔ，䁧ݔ，双曲线 C的一条渐近线 ൌ ሼ，运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件： 斜率之积为ݔ 1，结合双曲线的 a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值． 解：由题意可设 䁧ݔ，䁧ݔ， 若 AF与双曲线 C的一条渐近线 ൌ ሼ垂直， 可得 ݔݔ ݔݔ ൌݔ 1， 即为 ൌ ，由 ൌ ݔ ， 即有 ݔ ݔ ൌ ，ݔ 由 ൌ 可得 ݔ ݔ 1 ൌ ，ݔ 解得 ൌ 1㈮ 䁧负的舍去， 故选：C． 12.答案：D 解析： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值． 解：因为对任意实数 x都有 䁧ሼ ൌ ሼ䁧ሼ ㈮ ൅ ㈮ 䁧ሼ，即 ሼ ݔ ሼ ሼ ൌ ሼ㈮ ൅， 所以 ሼ ሼ ൌ ሼ ㈮ ൅，即 ሼ ሼ ൌ ሼ ㈮ ൅ሼ㈮ ，c为常数， 所以 ሼ ൌ ሼ ㈮ ൅ሼ㈮ ሼ． 又因为 䁧ݔ ൌ 1， 所以 ݔ ൌ ݔ ㈮ ൅ ݔ ㈮ ݔ ൌ 1，解得 ൌ 1， 所以 ሼ ൌ ሼ ㈮ ൅ሼ㈮ 1 ሼ，则 ሼ ൌ ሼ ㈮ ሼ㈮ ‵ ሼ． 当 ሼ ݔ ݔ ‵ ݔ 1 ㈮ 时， ሼ 当，ݔ ሼ ݔ ‵ ݔ 1 时， ሼ 晦 ，ݔ 所以函数 䁧ሼ在 ݔ ݔ ‵ ݔ 1 ㈮ 上单调递增，在 ݔ ‵ ݔ 1 上单调递减， 所以 ሼ ൌݔ ‵是极大值点，ሼ ൌݔ 1是极小值点， 所以函数 䁧ሼ既有极大值又有极小值． 故选 D． 13.答案：32 解析：解：等差数列䁪i中‵ ㈮ ൌ ， ൌ 䁧1㈮ ൌ ‵䁧1 ㈮ ൌ ‵䁧‵ ㈮ ൌ ൅ 故答案为：32 由等差数列的性质和求和公式可得 ൌ ‵䁧‵ ㈮ ，代值计算可得． 本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题． 14.答案：ݔ 1 解析： 本题考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系，由题求出圆 C的圆心，半径，由直线 ሼ㈮ ݔ ൌ ݔ 与圆 C相交于 A，B两点，且 ，得到 AB，由此利用圆心 1 到直线 ሼ㈮ ݔ ൌ 的距离ݔ 为 ൌ ㈮ݔ ㈮1 ൌ ，即可求出 a，属中档题． 解：由题知圆 C的圆心为 1 ，半径为 ൌ ‵， 直线 ሼ㈮ ݔ ൌ 与圆ݔ C相交于 A，B两点，且 ， ൌ ‵ ㈮ ‵ ൌ ‵ ， 圆心 1 到直线 ሼ㈮ ݔ ൌ 的距离为ݔ ൌ ㈮ݔ ㈮1 ൌ ， ൌݔ 1． 故答案为ݔ 1． 15.答案： 解析： 本题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利 用已知三棱锥的特点是解决问题关键，属于难题． 利用已知三棱锥 ݔ 的特点ܥ ൌ ൌ 先确定，ܥ 的外心ܥ O，及外接圆的半径，然后 证明 O也是三棱锥 ݔ ．的外接球的球心，即可解答ܥ 解析： 解：如图取 BD的中点 E，连接 AE，CE． 则 ܧ ܧ，ܥ ．ܥ 平面 ܥ 平面 BCD， 平面 ܥ 平面 ܥ ൌ ，ܥ ܧ 平面 BCD， 又 ܧ 平面 BCD， ܧ ．ܧ 设 的外接圆的圆心为ܥ O，半径为 r． ൌ ，ܥ 圆心 O在 AE所在的直线上． ൌ ܧ ㈮ ܧ ൌ ܧ ㈮ 䁧ݔ ．ܧ 在 ܥ，中ܥ ൌ 1㈮ 1 ൌ ‵ ， ܧ ൌ ܧ ൌ ． 在 ܧ，中ܧ ൌ ݔ1 ൌ ， ൌ ㈮ 䁧 ݔ ，解得 ൌ ൅． ܧ ൌ 1． 在 ，中ܧ ൌ ܧ ㈮ ܧ ൌ ൅， ൌ ൌ ൌ ܥ ൌ ൅． 点 O是三棱锥 ݔ 的外接球的球心，则球半径ܥ ൌ ൅． 大圆面积 ൌ ൌ ． 故答案为 ． 16.答案：䁧 ݔ 1 解析： 本题考查由导数求函数的单调性、最值，求解不等式存在性问题，属于中档题． 由题意可得 ሼ 晦 可得ݔ 晦 ሼ൅ ݔ ሼ 晦 ，即为ݔ ሼ ݔ ሼ 晦ݔ 晦ݔ ሼ ㈮ ሼ ，等价为 ݔ ሼ ݔ ሼ ܾ㠳䁪 晦 ݔ 晦 ݔ ሼ ㈮ ሼ ܾሼ ，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到 a的 范围． 解：当 ሼ 1 时， ሼ ൌ ሼ൅ ݔ ሼ ，由 ሼ 晦 可得ݔ 晦 ሼ൅ ݔ ሼ 晦 ， 即为ݔ ሼ ݔ ሼ 晦ݔ 晦ݔ ሼ ㈮ ሼ ， 设 ሼ ൌݔ ሼ ݔ ሼ ，导数为 ሼ ൌݔ ሼ㈮ ሼ ， 当 ሼ 1 时， ሼ 即，ݔ 䁧ሼ递减，䁧可由单调性的定义得到，可得 ሼ ܾ㠳䁪 ൌݔ ‵ ݔ 1 ൌݔ ， 即有ݔ ݔ ，即 晦 ； 设 ሼ ൌݔ ሼ ㈮ ሼ ，导数为 ሼ ൌݔ ሼݔ ሼ ， 当 ሼ 1 时， ሼ 晦 即，ݔ 䁧ሼ递减，䁧可由减㈮减ൌ减得到， 可得 ሼ ܾሼ ൌݔ 1 ㈮ ൌ 1.即有ݔ 晦 1，即 ݔ 1． 综上可得，a的范围是ݔ 1 晦 晦 ． 故答案为：䁧 ݔ 1． 17.答案：解：䁧1设等差数列 䁪 的公差为 d， 则有 ൅1 ㈮ ൅ ൌ ൅ 䁧1 ㈮ 1 ㈮ 䁪ݔ 1 ൌ 1 ㈮ 䁪ݔ 1 ㈮ 1 ，解得 1 ൌ ݔ ൌ 1 所以䁪 ൌ 1 ㈮ 䁪ݔ 1 ൌ 䁪 ݔ 1； 䁧由䁧1知，䁪 ൌ 䁪䁪 ൌ 䁪ݔ 1 ൅䁪1ݔ， 则䁪 ൌ 1 ㈮ ㈮ ൅ ㈮ ㈮ 䁪 ൌ ݔ ൅ݔ ㈮ 1 ൅1 ㈮ ൅ ㈮ ㈮ 䁪ݔ 1 ൅䁪1ݔ 所以 ൅䁪 ൌ ݔ ൅1 ㈮ 1 ൅ ㈮ ൅൅ ㈮ ㈮ 䁪ݔ ൅䁪1ݔ ㈮ 䁪ݔ 1 ൅䁪， 以上两式相减得： ݔ 䁪 ൌ ൅1 ㈮ ൅ ㈮ ㈮ ൅䁪1ݔ ݔ 䁪ݔ 1 ൅䁪 ൌ ൅ 1 ݔ ൅䁪1ݔ 1 ݔ ൅ ݔ 䁪 ݔ 1 ൅䁪 ൌ 1 ൅䁪 ݔ ൅ ݔ 䁪 ݔ 1 ൅䁪 ൌ ൅ ݔ 䁪 ൅䁪 ݔ ൅ ， 所以䁪 ൌ 䁪 ݔ ൅ ‵ ൅䁪 ㈮ ൅ ‵ ． 解析：本题考查了等差数列通项公式，等差数列求和公式的运用，错位相减法求和，属于中档题． 䁧1根据 ，建立方程组，求出首项和公差即可得到数列 䁪 的通项公 式； 䁧由䁧1可得䁪 ൌ 䁪䁪 ൌ 䁪ݔ 1 ൅䁪1ݔ，然后用错位相减法求和即可得到答案． 18.答案：证明：䁧Ⅰ由题意可知，平面 11 平面111， 因为 111为等边三角形，且 D为11的中点， 故 C1ܥ 11. 因为平面 11 平面111 ൌ 11， 故 C1ܥ 平面 11， 因为1ܥ 平面 ，ܥ1 故平面 ܥ1 平面 11. 䁧Ⅱ当点 M为线段 AC的中点时，平面 平面ܯܯܧ 1D. 如图，取 AB中点 O，连接 CO，DO，取 AC中点 M，连接 EM，MF， 由三棱柱性质可知，四边形1ܥ为平面四边形， 因为 ൌ ൅，且 O为线段 AB中点， 故 F为线段 AO中点， 又 M为线段 AC中点，故 故，ܯܯܥ又1，ܯܯ ，ܥ1ܯܯ 因为 平面 ܥ1，ܥ1 平面 故，ܥ1 平面ܯܯ ，ܥ1 连接1，同理可得 平面ܯܯܧ ，ܥ1 因为 ܧ ൌ ܧ， 平面 FEM， 平面 FEM， 故平面 平面ܯܯܧ 1D. 解析：䁧Ⅰ由题意可证明1ܥ 11，又平面 11 平面111 ൌ 11，可证1ܥ 平面 11， 即可证明平面 ܥ1 平面 11． 䁧Ⅱ取 AB中点 O，连接 CO，DO，取 AC中点 M，连接 EM，MF，可证四边形1ܥ为平面四边 形，F为线段 AO中点，可证 平面ܯܯ有，ܥ1ܯܯ 连接1，同理可得，ܥ1 平面ܯܯܧ ，ܥ1 由 ܧ ൌ ܧ， 平面 FEM， 平面 FEM，即可证明平面 平面ܯܯܧ 1D. 本题主要考查了面面垂直的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，考 查了转化与化归思想，空间想象能力和推论论证能力，属于中档题． 19.答案：解：䁧1表格补充如下： 赞成反对总计 教师 120 80 200 学生 160 40 200 总计 280 120 400 故可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为 ൅ݔݔݔݔ ݔ ݔݔ ൌ ；ݔݔݔ1 䁧由分层抽样可知，所抽取的 6人中的 2名学生记为 a，b， 4名教师记为 1，2，3，4， 随机选出 3人进行深入调研，不同选法有： 䁧b，1，䁧b，，䁧b，൅，䁧b，‵，䁧1，， 䁧1，൅，䁧1，‵，䁧2，൅，䁧2，‵，䁧3，‵， 䁧1，，䁧1，൅，䁧1，‵，䁧2，൅，䁧2，‵， 䁧3，‵，䁧12，൅，䁧12，‵，䁧13，‵，䁧3，‵，共 20种， 恰有 1名学生的选法有： 䁧1，，䁧1，൅，䁧1，‵，䁧2，൅， 䁧2，‵，䁧3，‵，䁧1，，䁧1，൅， 䁧1，‵，䁧2，൅，䁧2，‵，䁧3，‵，共 12种， 故深入调研中恰有 1名学生的概率 ൌ 1 ݔ ൌ ൅ ． 解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 䁧1表格补充完整，由此可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数． 䁧由分层抽样可知，所抽取的 6人中的 2名学生记为 a，b，4名教师记为 1，2，3，4，随机选出 3 人进行深入调研，利用列举法能求出深入调研中恰有 1名学生的概率． 20.答案：解：䁧1易知函数 䁧ሼ ൌ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ的定义域为 R， 则 䁧ሼ ൌ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ， 当ݔ 䁧㈮ 即，ݔ ݔ 时，䁧ሼ 对任意ݔ ሼ 恒成立， 故函数 䁧ሼ为 R上的增函数； 当ݔ 䁧㈮ 晦 即，ݔ ݔ 时，令 䁧ሼ 晦 得，ݔ ， 令 䁧ሼ 得，ݔ ， 故函数 䁧ሼ在 上单调递减，在 上单调递增， 综上，当 ݔ 时，䁧ሼ在 R上单调递增； 当 ݔ 时，䁧ሼ在 上单调递减， 在 上单调递增； 䁧由 䁧ሼ 䁧ሼ，即 ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ ݔ 䁧1 ㈮ 䁪ሼ， 得 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ ㈮ ，ݔ 令 䁧ሼ ൌ 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ ㈮ ， 则 䁧ሼ ൌ ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ൌ ሼሼݔ1ݔ䁧㈮ሼ㈮ ሼ ， 由䁧1知，函数 ൌ ሼ1ݔ ݔ ሼ在区间1 ㈮上单调递增， 当 ሼ 1时，ሼ1ݔ ݔ ሼ ݔ ݔ ൌ 即在1，ݔ ㈮ 上恒有ሼ1ݔ ሼ， 在1 ㈮ 上， ሼ ሼݔ䁧㈮ሼ㈮ ሼ ൌ ሼݔ ሼ1ݔ ሼ ， 当 时，䁧ሼ 在区间1ݔ ㈮上恒成立， 即 䁧ሼ在1 ㈮上单调递增， 䁧ሼ 䁧1 ൌ ；䁧符合题意ݔ 当 时，由 ሼ ൌ ሼሼݔ1ݔ䁧㈮ሼ㈮ ሼ ， 设 ሼ ൌ ሼሼݔ1ݔ䁧㈮ሼ㈮ ሼ ， 得 ሼ ൌݔ ሼ ㈮ ሼ1ݔ， 可知 ሼ 在1 ㈮上单调递增， 又 1 ൌ ݔ 晦 ，ݔ ൌ 1ݔ ݔ 1 ，ݔ 故 ሼ 在 1 上存在唯一零点ሼݔ， 当 ሼ 䁧1ሼݔ时， ሼ 晦 即，ݔ 䁧ሼ在䁧1ሼݔ上单调递减， 此时 ሼ 晦 1 ൌ ，ݔ 所以 䁧ሼ在 ሼ 䁧1ሼݔ上单调递减， 此时 䁧ሼ 晦 䁧1 ൌ ；与已知矛盾䁧不符合题意ݔ 综上，实数 a的取值范围为䁧 ݔ ． 解析：本题主要考查了导数的运用，运用导数研究函数的单调性和最值，涉及导数中的不等式恒成 立问题，考查了分类讨论思想，属于较难题． 䁧1先求出函数 䁧ሼ的导函数，然后对 a分类讨论，确定导函数符号即可得到函数 䁧ሼ的单调性； 䁧根据 䁧ሼ 䁧ሼ，得到 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ ㈮ 令，ݔ 䁧ሼ ൌ 䁪ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ሼ ㈮ ， 则 䁧ሼ ൌ ሼ ㈮ ሼ1ݔ ݔ 䁧㈮ ൌ ሼሼݔ1ݔ䁧㈮ሼ㈮ ሼ ，然后对 a分类讨论，讨论函数的单调性和最值，即 可得到实数 a的取值范围． 21.答案：解：䁧1设 䁧ሼ， ㈮ ൌ 则，ݔ 䁧 ሼ ൅ ൅ ，䁧ݔ ൅ ， 根据 ൌ ， 可得ሼ ㈮ ൅ ൌ 1䁧 ．ݔ 䁧当直线 EF的斜率不存在时， ൌ ． 当直线 EF的斜率存在时，设斜率为 .则直线 EH的方程为 ൌ ሼ㈮ ，点 M的坐标为䁧 ൅ ． 把直线方程代入椭圆方程可得䁧 ㈮ ൅ሼ ㈮ ሼ ݔ 1 ൌ 设，ݔ 䁧ሼ11，䁧ሼ，䁧ܧ 䁧 ．ݔ 则ሼ1 ㈮ ሼ ൌ ݔ ㈮൅ ，ሼ1ሼ ൌ 1ݔ ㈮൅ ， 1 1 ൌ ሼ1ݔ ݔ1 ൌ ሼ1ݔ ሼ1 ， 1 ൌ ሼݔ ሼ ， 1 ൅ ൌ 1 ݔ ． 又 1 1 ㈮ 1 ൌ ൅ ， ሼ1ݔ ሼ1 ㈮ ሼݔ ሼ ൌ ݔ ． 故存在常数 ൌ 满足条件． 解析：䁧1设 䁧ሼ， ㈮ ൌ 可得，ݔ 䁧 ሼ ൅ ൅ ，䁧ݔ ൅ ，根据 ൌ ，即可得出． 䁧当直线 EF的斜率不存在时， ൌ .当直线 EF的斜率存在时，设斜率为 .则直线 EH的方程为 ൌ ሼ㈮ ，点 M的坐标为䁧 ൅ .把直线方程代入椭圆方程可得䁧 ㈮ ൅ሼ ㈮ ሼݔ 1 ൌ 设，ݔ 䁧ሼ11，䁧ሼ，䁧ܧ 䁧 利用根与系数的关系可得.ݔ 1 1 ൌ ሼ1ݔ ݔ1 ൌ ሼ1ݔ ሼ1 ， 1 ൌ ሼݔ ሼ ， 1 ൅ ൌ 1 ݔ .又 1 1 ㈮ 1 ൌ ൅ ，即可得出． 本题综合考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切转化为方程联立可得根与系数的关 系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．题目应该为 ㈮ ൌ 平行于ݔ AB 22.答案：解：䁧1 ሼ ൌ ሼ ൅ ൌ ， ሼ ൌ ൅ሼ ൌ ． ሼ ൌ ൅ ㈮ ൅ܣ ൌ 㠳䁪ܣ 䁧为参数， ൅ሼ ൌ ൅ ㈮ ൅ܣ ൌ 㠳䁪ܣ ， ሼ ൌ 1 ㈮ ܣ ൌ 㠳䁪ܣ ， 普通方程为 ሼ ݔ 1 ㈮ ൌ 1， 即的极坐标方程为 ൌ ；ܣ 䁧 㠳䁪ܣ ݔ ൌ 1， ൅直角坐标方程为 ሼ ݔ ൅ ݔ ൌ ，ݔ 是以䁧1ݔ为圆心，1为半径的圆， 圆心到直线൅的距离为： ൌ ݔݔݔ1 ൌ 1 ， ൌ 1 ݔ 1 ൌ ൅. 解析：本题考查坐标系及参数方程． 䁧1求出的参数方程，即可求 C2的极坐标方程； 䁧是以䁧1ݔ为圆心，2为半径的圆，曲线൅的极坐标方程为ܣ㠳䁪䁧 ݔ ൌ 1，直角坐标方程为 ሼ ݔ ൅ ݔ ൌ ．求出圆心到直线的距离，即可求的值，ݔ 23.答案：解：䁧1䁧ሼ ൌ ሼ ㈮ 1 ݔ ‵ ݔ ሼ ൌ ሼ ݔ ሼ 晦ݔ 1 ൅ሼݔ ൅ ݔ 1 ሼ ݔ ሼ ㈮ ሼ ， 因为 䁧ሼ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1， 所以 ሼ 晦ݔ 1 ሼ ݔ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1或 ݔ 1 ሼ ൅ሼݔ ൅ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1或 ሼ ݔ ሼ ㈮ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1， 解得 1 ሼ 或 晦 ሼ ‵． 故不等式 䁧ሼ 1 ൅ 䁧ሼ ݔ 1的解集为1‵． 䁧由䁧1可知 䁧ሼ的最大值 ܾ ൌ 䁧 ൌ ൅． 因为 ㈮ ൌ ൅䁧 ݔ 所以，ݔ ㈮ 1 ൌ 1 ൅ 䁧 ㈮ 䁧 ㈮ 1 ൌ 1 ൅ 䁧 ㈮ ㈮ 1 ൅ 䁧 ㈮ ൌ ൅， 当且仅当 ൌ ൌ 1时，等号成立， 故 ㈮ 1 的最小值是 3． 解析：䁧1将函数 䁧ሼ化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到 解集； 䁧由䁧1知，㈮ ൌ ൅，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值． 本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．