高考数学考点05函数性质试题解读与变式
考点 5 函数的基本性质
一、 知识储备汇总与命题规律展望
1.知识储备汇总:
1.1 函数的奇偶性
（1）函数的奇偶性的定义：
对于函数 )(xf 定义域内定义域内任意一个 x ，若有 ( ) ( )f x f x ，则函数 )(xf 为奇
函数；若有 ( ) ( )f x f x ，那么函数 )(xf 为偶函数
（2）奇偶函数的性质：
①定义域关于原点对称；
②偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称；
③ 奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇 偶=奇．
④ ( )f x 为偶函数 ( ) (| |)f x f x ．
⑤若奇函数 ( )f x 的定义域包含 0 ，则 (0) 0f ．
⑥奇函数在相对的区间上具有相同的单调性，偶函数在相对的区间上具有相反的单调性.
1.2 函数的单调性
（1）单调性定义：一般地，设函数 )(xfy 的定义域为 A . 区间 AI .
如果对于区间 I 内的任意两个值 ,, 21 xx 当 1 2x x＜ 时，都有 1 2( ) ( ),f x f x＜ 那么就说 ( )y f x＝
在区间 I 上是单调增函数， I 称为 ( )y f x＝ 的单调增区间．
如果对于区间 I 内的任意两个值 ,, 21 xx 当 1 2x x＜ 时，都有 )()( 21 xfxf ，那么就说
( )y f x＝ 在区间 I 上是单调减函数， I 称为 ( )y f x＝ 的单调减区间．
（2）函数单调性判定方法
①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论
②运算法则法：如果函数 )(xf 和 )(xg 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函
数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数
是减函数；
③导数法：设函数 )(xfy 在某个区间内可导，如果 0)( xf ，则 )(xf 为增函数；
如果 0)( xf ，则 )(xf 为减函数.
④复合函数的单调性：同增异减，即内外单调性相同时，为增函数，不同时，为减函数.
⑤图像法：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区
间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减.
(3)单调性应用：已知含参数的可导函数 ( )f x 在某个区间上单调递增（减）求参数范围，
利用函数单调性与导数的关系，转化为在该区间上 ( )f x ＞0（＜0）恒成立问题，通过参
变分离或分类讨论求出参数的范围，再验证参数取等号时是否符合题意，若满足加上.
1.3 对称性与周期性
（1）周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何
值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
数就叫做 f(x)的最小正周期．
（2）关于函数周期性常用的结论
①若满足 ( )f x a f x＋ ＝－ ，则 ( 2 ) [( ) ] ( )f x a f x a a f x a f x＋ ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＝ ，所以 2a 是
函数的一个周期( 0a )；
②若满足 1( ) ( )f x a f x
＋ ＝ ，则 ( 2 ) [( ) ]f x a f x a a＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 1
( )f x a
＝ ( )f x ，所以 2a 是
函数的一个周期( 0a )；
③若函数满足 1( ) ( )f x a f x
＝- ，同理可得 2a 是函数的一个周期( 0a ).
④如果 )(xfy 是 R 上的周期函数，且一个周期为 T，那么 ))(()( ZnxfnTxf ．
⑤函数图像关于 bxax , 轴对称 )(2 baT ．
⑥函数图像关于 0,,0, ba 中心对称 )(2 baT ．
⑦函数图像关于 ax 轴对称，关于 0,b 中心对称 )(4 baT ．
（3）函数 ( )y f x 的图象的对称性结论
①若函数 )(xfy 关于 x a 对称 对定义域内任意 x 都有 ( )f a x = ( )f a x
对定义域内任意 x 都有 ( )f x = (2 )f a x ( )y f x a 是偶函数；
② 函 数 )(xfy 关 于 点 （ a ， 0 ） 对 定 义 域 内 任 意 x 都 有 ( )f a x = －
( )f a x (2 )f a x =－ ( )f x ( )y f x a 是奇函数；
③若函数 )(xfy 对定义域内任意 x 都有 )()( xbfaxf ,则函数 )(xf 的对称
轴是
2
bax ；
④若函数 )(xfy 对定义域内任意 x 都有 ( ) ( )f x a f b x ,则函数 )(xf 的对称
轴中心为 ( ,0)2
a b ；
⑤函数 (| |)y f x a 关于 x a 对称.
1.4.函数图像及其应用
（1）函数 )(xfy 的图象变换
①将函数 ( )y f x 图像 0)( ( 0)) | |a a a 向左( 向右 单位 ( ( ))y f x a 的图
象；
②将函数 )(xfy 图像 0)( ( 0)) | |b b b 向上( 向右 单位 ( )y f x b 的图象；
③将函数 )(xfy 图像 x x x轴下方部分沿 轴对折到 轴上方 | ( )|y f x 的图象；
④将函数 )(xfy 图像 y擦除 轴左侧部分将y轴部分沿y轴对折 (| |)y f x 的图象；
⑤将函数 )(xfy 图上 1
所有点的横坐标变为原来的 倍 ( )y f x 的图象;
⑥将函数 )(xfy 图上 A所有点的纵坐标变为原来的 倍 ( )y Af x 的图象.
（2）函数图象的识别策略：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从
函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函
数的周期性，判断图象的循环往复；⑤利用特殊点进行排除.
2.命题规律展望：对函数性质的考查是高考命题的重点和热点，主要考查单调性、奇偶性、
对称性、周期性、函数的图像以及几方面的综合，且常以复合函数或分段函数的形式出现，
达到一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题，属中低档题，或者结合导数研究函数性
质的大题，也应为同学们必须得分的题目.
二、题型与相关高考题解读
1.函数单调性的判定与性质应用
1.1 考题展示与解读
例 1【2017 北京，理 5】已知函数 1( ) 3 ( )3
x xf x ，则 ( )f x
（A）是奇函数，且在 R 上是增函数 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数
（C）是奇函数，且在 R 上是减函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减函数
【命题意图探究】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判定，是基础题.
【答案】A
【解析】 1 13 33 3
x x
x xf x f x
，所以函数是奇函数，并且3x 是增函
数， 1
3
x
是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选 A.
【解题能力要求】运算求解能力
【方法技巧归纳】判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数
图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=
增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.
1.2【典型考题变式】
【变式 1：改编条件】给定函数①
1
2y x ，② 1y x
，③ 1y x ，④ cos 2y x
，
其中既是奇函数又在区间 0,1 上是增函数的是
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】D
【变式 2：改编结论】若函数 1 2 , 2,{
log , 2a
a x a xf x
x x
在 R 上单调递减，则实数 a 的
取值范围是__________．
【答案】 2 ,12
【解析】由题意得，因为函数 1 2 , 2,{
log , 2a
a x a xf x
x x
在 R 上单调递减，则
1 0
0 1{ 0 1a
a a
且 2log 2 1 2 2 2a a a a ，综合可得实数 a 的取值范围是
2 ,12
.
【变式 3：改编问法】已知函数 f x 是定义在 , 上的增函数，实数 a 使得
21 2f ax x f a 对于任 0,1x 都成立，则实数 a 的取值范围是( )
A. ,1 B. 2,0 C. 2 2 2, 2 2 2 D. 0,1
【答案】A
【解析】由条件得 1−ax−x2<2−a 对于 x∈[0,1]恒成立
令 g(x)=x2+ax−a+1,只需 g(x)在[0,1]上的最小值大于 0 即可。
2 2
2 1 12 4
a ag x x ax a x a
.
①当 02
a ,即 a>0 时,g(x)min=g(0)=1−a>0，∴a<1，故 0
0，满足，故 a<−2.综上 a<1，故选 A.
2.函数奇偶性的判定与应用
2.1 考题展示与解读
例 3【2017 课标 II，文 14】已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 ( ,0)x 时，
3 2( ) 2f x x x ,
则 (2)f （ ）
【命题意图探究】本题主要考查函数奇偶性的应用，是简答题.
【答案】12
【解析】 (2) ( 2) [2 ( 8) 4] 12f f
【解题能力要求】运算求解能力
【方法技巧归纳】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各
个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 ( )f x 的方程，从而可得 ( )f x 的值或解析
式.
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 ( ) ( ) 0f x f x 得到关于
待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.
2.2【典型考题变式】
【变式 1：改编条件】设 f x 是定义在 上的任意函数，下列叙述正确的是
A. f x f x 是奇函数 B. f x f x 是奇函数
C. f x f x 是偶函数 D. f x f x 是偶函数
【答案】C
【变式 2：改编结论】已知 7 5 3 2f x ax bx cx ，且 5f m ，则 5 5f f
的值为（ ）
A. 4 B. 0 C. 2m D. 4m
【答案】A
【解析】设 7 5 3 7 5 32 2f x g x f x ax bx cx g x ax bx cx （ ） （ ） ， （ ） ， （ ） ，
5 5 2 5 2 5 5 2g x g x f g m g m g g m （ ） （ ）， （ ） （ ） ， （ ） ， （ ） （ ） ，
5 5 2 4 5 5 4.f g m f f （ ） （ ） ． 故选 A.
【变式 3：改编问法】若函数 f x 的定义域为 3 2 , 1a a ，且函数 1f x 为奇函数，
则实数 a 的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】函数 f x 的定义域为 3 2 , 1a a ，且函数 1f x 为奇函数，则函数 f x 的
图象关于点 1,0 对称，故有
1 3 2
{ 3 2 1 2
a a
a a
＝ ，求得 2a ，故选 A.
3.函数奇偶性与单调性的综合应用
3.1 考题展示与解读
例 2【2017 课标 1，理 5】函数 ( )f x 在 ( , ) 单调递减，且为奇函数．若 ( 11)f ，
则满足 21 ( ) 1xf 的 x 的取值范围是
A．[ 2,2] B．[ 1,1] C．[0,4] D．[1,3]
【命题意图探究】本题主要考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式，是容易题.
【答案】D
【解析】因为 ( )f x 为奇函数且在 ( , ) 单调递减，要使 1 ( ) 1f x 成立，则 x 满足
1 1x ，从而由 1 2 1x 得1 3x ，即满足 1 ( 2) 1f x 成立的 x 的取值范
围为[1,3] ，选 D.
【解题能力要求】运算求解能力、转化与化归思想
【方法技巧归纳】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式
和比较大小问题，若 ( )f x 在 R 上为单调递增的奇函数，且 1 2( ) ( ) 0f x f x ，则 1 2 0x x ，
反之亦成立.
3.2【典型考题变式】
【变式 1：改编条件】已知 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 ,0 上单调递增，若实
数 a 满足 12 4af f ，则 a 的取值范围是（ ）
A. , 1 B. ,1 3, C. 1,3 D. 3,
【答案】C
【解析】∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(−∞,0)上单调递增，∴f(x)在(0,+∞)是减函
数，则不等式 12 4af f ,得 2|a−1|<4，即|a−1|<2，得−20,B，D 错。若 0,a 当 x ，分子为正，
分母 ，所以 0f x ，与图中不符，所以 A 错，经检验 C 符合，选 C.
7.函数图象与性质的综合应用
7.1 考题展示与解读
例 7【2016 高考山东理数】已知函数 2
| |,( )
2 4 ,
x x mf x
x mx m x m
其中 0m ，若存在实数
b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________.
【命题意图探究】本题主要考查函数的图象、性质的应用，考查数形结合思想、函数与方程
思想，是难题.
【答案】 3,
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要 f x b 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
2 22 4 , 3 0m m m m m m m ，解得 3m
【解题能力要求】函数与方程思想、数形结合思想、运算求解能力.
【方法技巧归纳】函数方程解得个数问题常通过局部分类等方法转化为熟悉函数的交点个数
问题，利用数形结合思想求解.
7.2【典型考题变式】
【变式 1：改编条件】函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且满足 2f x f x ，当
0,1x 时， 2f x x ，若方程 0ax a f x （ 0a ）恰有三个不相等的实数根，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A. 1 ,12
B. 0,2 C. 1,2 D. 1,
【答案】A
【解析】由题意可得周期为 T=2，原方程可变形为 1f x a x ，则为 y=f(x)与 y=a（x+1）
（ 0a ）曲线交点恰有三个。由图可知斜率 k=a 1 ,12
,选 A.
【 变 式 2 ： 改 编 结 论 】 已 知 f x 是 R 上 的 奇 函 数 ， 当 0x 时 ，
2log 1 ,0 1{ 3 , 1
x xf x x x
，则函数 1
2y f x 的所有零点之和是（ ）
A. 5 2 B. 1 2 C. 2 1 D. 5 2
【答案】A
【解析】当 0x 时， 0f x ，所以当 0x 时， 0f x ；由 2
0 1
{ 1log 1 2
x
x
得
1 2x ；由
1
{ 13 2
x
x
得 7 5
2 2x 或 ，所以所有零点之和是 5 2 ，选 A.
【变式 3：改编问法】已知函数
3
2 , 2
{
1 , 2
xxf x
x x
．若关于 x 的方程 f x k 有两
个不同的实根，则实数 k 的取值范围是__________．
【答案】(0,1)
【解析】由题意作出函数
3
2 , 2
{
1 , 2
xxf x
x x
的图象，
关于关于 x 的方程 0f x k 有两个不同的实根等价于
函数
3
2 , 2
{
1 , 2
xxf x
x x
，与 y k 有两个不同的公共点，
由图象可知当 1,0k 时，满足题意，故答案为 1,0k .
三、课本试题探源
必修 1 P44 页复习参考题 A 第 9 题：已知函数 84)( 2 kxxxf 在[5,20]上具有单调
性，求实数 k 的取值范围。
【解析】由题知函数 84)( 2 kxxxf 在区间 )8,( k 上是减函数，在区间 ),8( k 上是
增函数，所以 58
k 或 208
k ，解得 40k 或 160k ，所以实数 k 的取值范围为
),160[]40,( .
四．典例高考试题演练
1.【2018 届宁夏石嘴山市三中高三入学】已知函数
, 1
{
4 2, 12
xa x
f x a x x
是 R 上的单
调递增函数，则实数 a 的取值范围是（）
A. 1, B. 1,8 C. 4,8 D. 4,8
【答案】C
2.【2017 届山东省济宁市 3 月模拟】设 f x 为定义在 R 上的奇函数，当 0x 时，
2xf x m （ m 为常数），则 1f （ ）
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
【答案】C
【解析】由题意得，当 00 0 0 2 0 1 2 1xx f m m f x ，因
此 11 1 2 1 1f f ，故选 C.
3.【2017 届河北省武邑中学五模】已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，若任意的 x≥0，
都有 f（x+2）=-f（x），当 x∈[0,1]时，f（x）=2x-1，则 f（-2017）+f（2018）=
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】任意的 x
⩾
0,都有 f(x+2)=−f(x),可得 f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，函数的周期为 4，
函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=2x−1，则
f(−2017)+f(2018)=f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)−f(0)=2−1+1−1=1，故选 A.
4.【2018 届湖南省长沙市长郡中学实验班选拔】下列函数在其定义域上既是增函数又是奇
函数的是
A. sinf x x B. 3 1f x x
C. 2
2log 1f x x x D. 1 2
1 2
x
xf x
【答案】C
【解析】对于 A .函数是奇函数，在 2 ,22 2k k
(k 为整数）上递增，则 A 不满
足；对于 B .函数为奇函数，由于 ' 0y ，则在 R 上递增，则 B 满足；对于 C .函数为偶函
数，则C 不满足；对于 D .函数既不是奇函数，也不是偶函数，则 D 不满足，故选 C.
5.【2017 届辽宁省沈阳市东北育才学校九模】若函数 f x xR 是奇函数，函数
g x xR 是偶函数，则
A. 函数 f x g x 是奇函数 B. 函数 f x g x 是奇函数
C. 函数 f g x 是奇函数 D. g f x 是奇函数
【答案】B
6. 【 2017 届 宁 夏 石 嘴 山 市 三 中 三 模 】 已 知 函 数 f x 在 1, 上 单 调 , 且 函 数
2y f x 的 图 象 关 于 1x 对 称 , 若 数 列 na 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , 且
50 51f a f a ,则 na 的前 100 项的和为( )
A. 200 B. 100 C. 0 D. 50
【答案】B
【解析】因为函数 2y f x 的图象关于 1x 对称，则函数 f x 的图象关于 1x 对
称 ， 又 函 数 f x 在 1, 上 单 调 ， 数 列 na 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 ， 且
50 51f a f a ， 所 以 50 51 2a a ， 所 以
1 100
100 50 51
100 50 1002
a aS a a
，故选 B．
7.【2016 届吉林省松原市实验高级中学等三校联合模拟】若函数
2
2 m xf x x m
的图象
如图所示，则 m 的范围为（ ）
A. , 1 B. 1,2 C. 0,2 D. 1,2
【答案】D
【解析】显然
2
2 m xf x x m
为奇函数，图像关于原点对称，因为
2
2 m xf x x m
在
单调递增，在 单调递增，所以当 时， ，即
，解得 .
8.【2017 届安徽省亳州市二中质检】已知函数的定义域为 R ，且满足下列三个条件：
①对任意的 1 2, 4,8x x ，当 1 2x x 时，都有 1 2
1 2
0f x f x
x x
；
② 4f x f x ；
③ 4y f x 是偶函数；
若 6a f ， 11b f ， 2017c f ，则 , ,a b c 的大小关系正确的是（ ）
A. a b c B. b a c C. a c b D. c b a
【答案】B
【解析】由①得 f x 在 4,8 上单调递增；由得② 8 4f x f x f x ，故 f x
是 周 期 为 8 的 的 周 期 函 数 ， 所 以 2017 252 8 1 1c f f f ，
11 3b f f ； 再 由 ③ 可 知 f x 的 图 像 关 于 直 线 4x 对 称 ， 所 以
11 3 5b f f f ， 1 7c f f .结合 f x 在 4,8 上单调递增可知，
5 6 7f f f ，即b a c .故选 B.
9.【2017 届湖南省浏阳一中 6 月考】已知定义在 上的偶函数 满足： 时，
，且 ，若方程 恰好有
12 个实数根，则实数 的取值范围是 （ ）
A. (5,6) B. (6,8) C. (7,8) D. (10,12)
【答案】B
【解析】 时， ， ,故 在[0,1]上单
调递增，且 ，由 可知函数 是周期为 2 的周期函数，
而函数 与 都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据
偶函数的对称性可知，只需这两个函数在 有 6 个不同交点，显然 ，结合图象
可得 ，即 ，故 ，故选 B.
10.【2017 届辽宁省沈阳市东北育才学校九模】设函数 3f x x x ，若当 π0 2
时，
2sin sin cos 2 0f m f 恒成立，则实数 m 的取值范围是
A. (-3，+ ) B. (-1，+ ) C. (- ，-3) D. (- ，-1)
【答案】A
11. 【 2017 届 河 南 省 新 乡 市 三 模 】 已 知 函 数
2
3, 2 1={
2 1, 1
ln x xf x
x x x
， 且
212 2 22f a a 2112 142f a a ，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. 2,4 B. 4,14 C. 2,14 D. 4,
【答案】B
【解析】当 1x 时， 22= 2 1 1 2 3,f x x x x
当 2 1x 时， = 3 ln1 3 3 2,f x ln x
f x 是定义在 2, 上的减函数，又 21 22y x 也是定义在 2, 上的减函
数，故设 21 22g x f x x ，则由题
2 21 12 2 2 12 142 2f a a f a a 即
2 21 12 2 2 12 12 22 2f a a f a a
即 2 12 4a a a ，又12 2 14a a 综上 4 14a ，故选 B
12.【2017 届安徽省亳州市二中质检】已知函数 3 1f x ax bx ，若 8f a ，则
f a __________．
【答案】-6
【 解 析 】 4 1 8f a a ab ， 4 1f a a ab ， 所 以 8 2f a ，
6f a ．
13.【2017 届云南省师范大学附属中学高考适应性月考】已知函数 3xf x e x ，若
2 3 2f x f x ，则实数 x 的取值范围是__________．
【答案】 1,2
【 解 析 】 因 为 23 0xf x e x ， 所 以 函 数 f(x) 为 增 函 数 ， 所 以 不 等 式
2 3 2f x f x 等价于 2 3 2x x ，即 2 3 2 0 1 2x x x ，故 1 2x ， ．
14.【2018 届安徽省蚌埠市二中 7 月考】函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，对任意的 x R ，
满 足 1 0f x f x ， 且 当 0 1x 时 ， 13xf x ， 则
3log 18 4f f __________．
【答案】 6
【 解 析 】 ∵f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 对 任 意 的 x∈R, 满 足 f(x+1)+f(x)=0 ，
∴f(x+1)=−f(x)，则 f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，则函数 f(x)是周期为 2 的周期函数，据此可
得：
3log 2 1
3 3 3 3
3
log 18 log 18 log 9 log 2 3 6,
4 4 4 0 0, log 18 4 6.
f f f
f f f f f
15.【017 届江苏省兴化一中下期期中】设 且 若定义在区间 内的函数
是奇函数，则 的取值范围是________
【答案】 32, 2
