高考数学专题18平面向量的概念及其线性运算热点题型和提分秘籍理

高考数学专题18平面向量的概念及其线性运算热点题型和提分秘籍理

专题 18 平面向量的概念及其线性运算 1.了解向量的实际背景 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3.理解向量的几何表示 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 热点题型一 平面向量的有关概念 例 1、给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB → ＝DC → 是四边形 ABCD 为平行四边形的充 要条件；③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b。 其中真命题的序号是__________。 解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同。②正确．∵AB → ＝DC → ，∴|AB → |＝|DC → | 且AB → ∥DC → ， 又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则AB → ∥DC → 且|AB → |＝|DC → |，因此，AB → ＝DC → 。 【提分秘籍】平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。 (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。 (3) a |a| 是与 a 同向的单位向量，－ a |a| 是与 a 反向的单位向量。 【举一反三】 设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0。上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 热点题型二 平面向量的线性运算 例 2、【2017 天津，理 13】在 ABC△ 中， 60A  ∠ ， 3AB  ， 2AC  .若 2BD DC  ， ( )AE AC AB    R    ，且 4AD AE    ，则  的值为___________. 【答案】 3 11 【解析】 0 1 23 2 cos60 3, 3 3AB AC AD AB AC           ,则  1 2 2 1 2 33 4 9 3 43 3 3 3 3 3 11AD AE AB AC AC AB                            . 【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB → ＋AD → ＝λAO → ，则λ＝__________。 (2)已知 P，A，B，C 是平面内四点，且PA → ＋PB → ＋PC → ＝AC → ，那么一定有( ) A.PB → ＝2CP → B.CP → ＝2PB → C.AP → ＝2PB → D.PB → ＝2AP → 解析：(1)∵AB → ＋AD → ＝AC → ＝2AO → ，∴λ＝2。 (2)∵PA → ＋PB → ＋PC → ＝AC → ＝PC → －PA → ， ∴PB → ＝－2PA → ＝2AP → 。 答案：（1）2 （2）D 【提分秘籍】 向量线性运算的方法技巧 向量线性运算，要转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位 线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量(基底向量)来求解。 【举一反三】 在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，CD → ＝1 3 CA → ＋λCB → ，则实数λ＝( ) A．－2 3 B．－1 3 C.1 3 D.2 3 答案：D 解析：如图，D 是 AB 边上一点，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E，过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F，连接 CD， 则CD → ＝CE → ＋CF → 。 因为CD → ＝1 3 CA → ＋λCB → ， 所以CE → ＝1 3 CA → ，CF → ＝λCB → 。 由△ADE∽△ABC，得DE BC ＝AE AC ＝2 3 ， 所以ED → ＝CF → ＝2 3 CB → ，故λ＝2 3 。 热点题型三 共线向量定理及其应用 例 3．【2017 江苏，16】 已知向量 (cos , sin ), (3, 3), [0, π].x x x   a b （1）若 a∥b,求 x 的值； （2）记 ( )f x  a b ,求 ( )f x 的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 【答案】（1） 5π 6x  （2） 0x  时，  f x 取得最大值，为 3； 5π 6x  时，  f x 取得最小值，为 2 3 . 【解析】 解：（1）因为  cos ,sina x x ，  3, 3b   ，a∥b， 所以 3cos 3sinx x  . 若 cos 0x  ，则 sin 0x  ，与 2 2sin cos 1x x  矛盾，故 cos 0x  . 于是 3tan 3x   . 又  0,πx ，所以 5π 6x  . 【变式探究】设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)。 求证：A、B、D 三点共线。 (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线。 解析：(1)证明：∵AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)， ∴BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB → 。∴AB → 、BD → 共线，又∵它们有公共点 B， ∴A、B、D 三点共线。 (2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线，∴存在实数λ， 使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb。 ∴(k－λ)a＝(λk－1)b。 ∵a、b 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0，∴k＝±1。 【提分秘籍】 1．共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值。 (2)若 a，b 不共线，则λa＋μb＝0 的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛。 2．证明三点共线的方法 若AB → ＝λAC → ，则 A，B，C 三点共线。 【举一反三】 已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 同向，则实数λ的值为__________。 答案：1 1.【2017 课标 3，理 12】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 AP  =  AB  + AD  ，则 +的最大值为 A．3 B．2 2 C． 5 D．2 【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 设        0,1 , 0,0 , 2,1 , ,A B D P x y 根据等面积公式可得圆的半径是 2 5 ，即圆的方程是 2 2 42 5x y        , 1 , 0, 1 , 2,0AP x y AB AD       ，若满足 AP AB AD     即 2 1 x y        ， , 12 x y    ，所以 12 x y     ，设 12 xz y   ，即 1 02 x y z    ， 点  ,P x y 在圆  2 2 42 5x y   上，所以圆心到直线的距离 d r ，即 2 2 1 514 z   ，解得1 3z  ， 所以 z 的最大值是 3，即   的最大值是 3，故选 A。 【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理 2.【2017 北京，理 6】设 m,n 为非零向量，则“存在负数  ，使得 m n ”是“ 0<m n ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 0  ，使 m n  ，即两向量反向，夹角是 0180 ，那么 0cos180 0m n m n m n          T， 若 0m n   ，那么两向量的夹角为  0 090 ,180  ，并不一定反向，即不一定存在负数  ，使得 m n ， 所以是充分不必要条件，故选 A. 【考点】1.向量；2.充分必要条件. 3.【2017 课标 II，理 12】已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 ( )PA PB PC    的最小是（ ） A. 2 B. 3 2  C. 4 3  D. 1 【答案】B 【考点】 平面向量的坐标运算；函数的最值 4.【2017 课标 1，理 13】已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 【答案】 2 3 【解析】利用如下图形，可以判断出 2a b  的模长是以 2 为边长的菱形对角线的长度， 2 2 2| 2 | | | 4 4 | | 4 4 2 1 cos60 4 12a b a a b b                 所以| 2 | 12 2 3a b    . 【考点】平面向量的运算. 5.【2017 天津，理 13】在 ABC△ 中， 60A  ∠ ， 3AB  ， 2AC  .若 2BD DC  ， ( )AE AC AB    R    ，且 4AD AE    ，则  的值为___________. 【答案】 3 11 【解析】 0 1 23 2 cos60 3, 3 3AB AC AD AB AC           ,则  1 2 2 1 2 33 4 9 3 43 3 3 3 3 3 11AD AE AB AC AC AB                            . 【考点】向量的数量积 6.【2017 山东，理 12】已知 1 2,e e 是互相垂直的单位向量，若 1 23 e e 与 1 2e e 的夹角为 60 ，则实数  的值是 . 【答案】 3 3 【解析】    2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 23 3 3 3e e e e e e e e e e                       ，  2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 23 3 3 2 3 2e e e e e e e e               ，  2 2 22 2 1 2 1 2 1 1 2 22 1e e e e e e e e                    ，  2 23 2 1 cos60 1         ，解得： 3 3   ． 【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量. 7．【2017 浙江，15】已知向量 a，b 满足 1, 2, a b 则   a b a b 的最小值是________，最大值 是_______． 【答案】4， 2 5 【解析】设向量 ,a b 的夹角为 ，由余弦定理有： 2 21 2 2 1 2 cos 5 4cosa b           ，  2 21 2 2 1 2 cos 5 4cosa b             ，则： 5 4cos 5 4cosa b a b           ， 令 5 4cos 5 4cosy      ，则  2 210 2 25 16cos 16,20y     ， 据此可得：    max min 20 2 5, 16 4a b a b a b a b                ， 即 a b a b     的最小值是 4，最大值是 2 5 ． 【考点】平面向量模长运算 8.【2017 浙江，10】如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC 与 BD 交于点 O， 记 1 ·I OAOB  ＝ ， 2 ·I OB OC  ＝ ， 3 ·I OC OD  ＝ ，则 A． 321 III  B． 231 III  C． 213 III  D． 312 III  【答案】C 【解析】因为 90AOB COD     ， OA OC ， OB OD ，所以 0OB OC OA OB OC OD           ，故选 C。 【考点】 平面向量数量积运算 9.【2017 江苏，12】如图,在同一个平面内，向量 OA  ,OB  , OC  的模分别为 1,1, 2 , OA  与 OC  的夹角为  ,且 tan =7,OB  与 OC  的夹角为 45°.若 OC mOA nOB    ( , )m nR , 则 m n  ▲ .  A C B O (第 12 题) 【答案】3 【解析】由 tan 7  可得 7 2sin 10   ， 2cos 10   ，根据向量的分解， 易得 45 2{ 45 0 ncos mcos nsin msin         ，即 2 2 22 10{ 2 7 2 02 10 n m n m     ，即 5 10{ 5 7 0 n m n m     ，即得 5 7,4 4m n  ， 所以 3m n  ． 【考点】向量表示 10.【2017 江苏，16】 已知向量 (cos , sin ), (3, 3), [0, π].x x x   a b （1）若 a∥b,求 x 的值； （2）记 ( )f x  a b ,求 ( )f x 的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 【答案】（1） 5π 6x  （2） 0x  时，  f x 取得最大值，为 3； 5π 6x  时，  f x 取得最小值，为 2 3 . （2）       πcos ,sin 3, 3 3cos 3sin 2 3cos 6f x a b x x x x x            . 因为  0,πx ，所以 π π 7π,6 6 6x       ， 从而 π 31 cos 6 2x       . 于是，当 π π 6 6x   ，即 0x  时，  f x 取到最大值 3； 当 π 6x   ，即 5π 6x  时，  f x 取到最小值 2 3 . 【考点】向量共线，数量积 1.【2016 高考新课标 2 理数】已知向量 (1, ) (3, 2)a m a  ，= ，且 ( )a b b   + ，则 m  （ ） （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量 a b (4,m 2)    ，由 (a b) b    得 4 3 (m 2) ( 2) 0      ，解得 m 8 ，故选 D. 2.【2016 高考江苏卷】如图，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， ,E F 是 ,A D 上的两个三等分点， 4BC CA   ， 1BF CF    ，则 BE CE  的值是 ▲ . 【答案】 7 8 【2015 高考新课标 1，理 7】设 D 为 ABC 所在平面内一点 3BC CD  ，则（ ） （A） 1 4 3 3AD AB AC     (B) 1 4 3 3AD AB AC    （C） 4 1 3 3AD AB AC    (D) 4 1 3 3AD AB AC    【答案】A 【解析】由题知 1 1 ( )3 3AD AC CD AC BC AC AC AB               = 1 4 3 3AB AC   ，故选 A. 1．（2014·辽宁卷）设 a，b，c 是非零向量，已知命题 p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0，命题 q： 若 a∥b，b∥c，则 a∥c，则下列命题中真命题是( ) A．p∨q B．p∧q C．(綈 p)∧(綈 q) D．p∨(綈 q) 【答案】A 【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题 p 为假命题；命题 q 中，当 b≠0 时，a，c 一定共线，故命 题 q 是真命题．故 p∨q 为真命题． 2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO→＝1 2 (AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________． 【答案】90° 【解析】由题易知点 O 为 BC 的中点，即 BC 为圆 O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角 A 为直角，即 AC 与 AB 的夹角为 90°. 3．（2014·四川卷）平面向量 a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的 夹角，则 m＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】2 【解析】c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知 a·c |a|·|c| ＝ b·c |b|·|c| ，即（1，2）·（m＋4，2m＋2） 12＋22 ＝ （4，2）·（m＋4，2m＋2） 42＋22 ，即 5m＋8＝8m＋20 2 ，解得 m＝2. 1.下列说法正确的是 ( ) A.若 a 与 b 都是单位向量，则 a=b B.若 a=b，则|a|=|b|且 a 与 b 的方向相同 C.若 a+b=0，则|a|=|b| D.若 a-b=0，则 a 与 b 是相反向量 【解析】选 C.因为向量相等必须满足模相等且方向相同，所以 A 不正确;因为 0 的方向是任意的，当 a=b=0 时，B 不正确;因为 a+b=0，所以 a=-b，所以|a|=|-b|=|b|，故 C 正确;因为 a-b=0，所以 a=b，a 与 b 不 是相反向量，故 D 不正确. 2.已知点 D 是△ABC 的边 AB 的中点，则向量 等于 ( ) A.- + B.- - C. - D. + 【解析】选 A.因为点 D 是 AB 的中 点，所以 = + = + =- + . 3.已知点 P 是四边形 ABCD 所在平面内的一点，若 =(1+λ) -λ ，其中λ∈R，则点 P 一定在 ( ) A.AB 边所在的直线上 B.BC 边所在的直线上 C.BD 边所在的直线上 D.四边形 ABCD 的内部 【解析】选 C.因为 =(1+λ) -λ ，所以 - =λ( - )，所以 = λ ，所以 B，D，P 三点共线，因此点 P 一定在 BD 边所在的直线上. 4.已知向量 a 与 b 共线反向，则下列结论正确的是 ( )[ A.|a+b|=|a|+|b| B.|a+b|=|a|-|b| C.|a-b|=|a|+|b| D.|a-b|=|a|-|b| 【解析】选 C.因为向量 a 与 b 共线反向，所以|a+b|<|a|+|b|，|a+b|≥0，而|a|-|b|的符号不确定，所 以 A，B 不正确.同理，D 不正确，C 显然正确. 5.已知下列结论 ①已知 a 是非零向量，λ∈R，则 a 与λ2a 方向相同 ②已知 a 是非零向量，λ∈R，则|λa|=λ|a| ③若λ∈R，则λa 与 a 共线 ④若 a 与 b 共线，则存在λ∈R，使 a=λb 其中正确的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 6.在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 与 AC 相交于点 F，若 =m +n (m，n∈R)，则 的值为 ( ) A.-2 B.- C.2 D. 【解析】选 A.如图.设 =a， =b， 则 =ma+nb， = - = b-a， 由向量 与 共线可知存在实数λ，使得 =λ ，即 ma+nb= λb-λa， 又 a 与 b 不共线，则 所以 =-2. 7.已知 D 为△ABC 的边 AB 的中点.M 在 DC 上且满足 5 = +3 ，则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.如图，由 5 = +3 得 2 =2 +3 -3 ， 即 2( - )=3( - )， 即 2 =3 ，故 = ， 故△ABM 与△ABC 同底且高的比为 3∶5， 故 S△ABM∶S△ABC=3∶5. 8.在△ABC 中，N 是 AC 边上一点，且 = ，P 是 BN 上的一点，若 =m + ，则实数 m 的值为 ( ) A. B. C.1 D.3 【解析】选 B.如图所示. 设 =λ ， 则 = + = +λ = +λ( - ) = +λ( - )=(1-λ) + ， 因为 = ，所以λ= ， 所以 1-λ= ，所以 m= . 9.O 是△ABC 所在平面外一点且满足 = + λ ，λ为实数，则动点 P 的轨迹必经过△ABC 的 ( ) A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心 【解析】选 B.如图，设 = = ，已知 均为单位向量， 故▱ AEDF 为菱形，所以 AD 平分∠BAC， 由 = +λ 得 =λ ，又 与 有公共点 A， 故 A，D，P 三点共线， 所以 P 点在∠BAC 的平分线上，故动点 P 的轨迹经过△ABC 的内心. 10.已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点 P 满足 = ，则点 P 一定为三角形 ABC 的 ( ) A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB边的中点 11.已知点 D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且 =a， =b，给出下列命题: ① = a-b; ② =a+ b; ③ =- a+ b; ④ + + =0. 其中正确命题的序号为 . 【解析】 =a， =b， = + =- a-b，故①错; = + =a+ b，故②正确; = ( + )= (-a+b) =- a+ b，故③正确; + + =-b- a+a+ b+ b- a=0. 故④正确. 【答案】②③④ 12.在▱ ABCD 中， =a， =b，3 = ，M 为 BC 的中点，则 = .(用 a，b 表示) 【解析】如图所示. = + = + = + ( + ) = + ( + ) = b- a- b=- a- b. 【答案】- a- b 13.在△ABC 中， =c， =b，若点 D 满足 =2 ，则 = . 【解析】如图，因为在△ABC 中， =c， =b，且点 D 满足 =2 ， 所以 + =2( + )， = + = b+ c. 【答案】 b+ c 14.在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点， = +λ ，则实数λ= . 【解析】如图，D 是 AB 边上一点， 过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E，过点 D 作 D F∥AC，交 BC 于点 F，连接 CD，则 = + . 因为 = +λ ， 所以 = =λ . 由△ADE∽△ABC，得 = = ， 所以 = = ，故λ= . 【答案】 15.已知 a，b 不共线， =a， =b， =c， =d， =e，设 t∈R，如果 3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否 存在实数 t 使 C，D，E 三点在一条直线上?若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理由. 【解析】由题设知， =d-c=2b-3a， =e-c=(t-3)a+tb，C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在 实数 k，使得 =k ， 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb， 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b， 因为a，b 不共线， 所以有 解之得 t= . 故存在实数 t= 使 C，D，E 三点在一条直线上. 16.如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，N 是线段 OD 的中点，AN 的延长线与 CD 交 于点 E，若 =m + ，求实数 m 的值. 解得 故实数 m= . 17.已知△ABC 中， =a， =b，对于平面ABC 上任意一点 O，动点 P 满足 = +λa+λb，若动点 P 的 轨迹与边 BC 的交点为 M，试判断 M 点的位置. 【解析】依题意，由 = +λa+λb， 得 - =λ(a+b)， 即 =λ( + ). 如图，以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ABDC，对角线交于点 M， 则 =λ ， 所以 A，P，D 三点共线， 即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线，由图可知 P 点轨迹与 BC 的交点为 BC 的中点，即点 M 为 BC 的中点.