高中数学人教a版选修2-3第二章随机变量及其分布2-1-2-1-2学业分层测评word版含答案

高中数学人教a版选修2-3第二章随机变量及其分布2-1-2-1-2学业分层测评word版含答案

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且 m＋2n＝1.2，则 m－n 2 的值为( ) ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A.－0.2 B．0.2 C．0.1 D．－0.1 【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得 m＋n＋0.2＝1，又 m＋2n＝ 1.2，解得 m＝n＝0.4，可得 m－n 2 ＝0.2. 【答案】 B 2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量 X B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量 X C．从装有 5 个红球， 3 个白球的袋中取 1 个球，令随机变量 X＝ {1，取出白球 0，取出红球 D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量 X 【解析】 A中随机变量 X的取值有 6个，不服从两点分布，故选 A. 【答案】 A 3．在 15个村庄中，有 7个村庄交通不太方便，现从中任意选 10个村庄，用 ξ表示 10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于 C47C68 C1015 的是( ) A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2) C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4) 【解析】 A项，P(ξ＝2)＝C27C88 C1015 ； B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠C47C68 C1015 ； C项，P(ξ＝4)＝C47C68 C1015 ； D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)>C 47C68 C1015 . 【答案】 C 4．抛掷两颗骰子，所得点数之和 X是一个随机变量，则 P(X≤4)等于( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 【解析】 根据题意，有 P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰 子，按所得的点数共 36个基本事件，而 X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)， 故 P(X＝2)＝ 1 36 ，P(X＝3)＝ 2 36 ＝ 1 18 ， P(X＝4)＝ 3 36 ＝ 1 12 ，所以 P(X≤4)＝ 1 36 ＋ 1 18 ＋ 1 12 ＝ 1 6 . 【答案】 A 5．随机变量ξ的概率分布列为 P(ξ＝n)＝ a nn＋1 ，n＝1,2,3,4，其中 a是常数， 则 P 1 2 <ξ<5 2 的值为( ) A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.5 6 【解析】 a 1×2 ＋ a 2×3 ＋ a 3×4 ＋ a 4×5 ＝ a 1－1 2 ＋ 1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ＋ 1 4 － 1 5 ＝ 4 5 a＝1. ∴a＝5 4 . ∴P 1 2 <ξ<5 2 ＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2) ＝ 5 4 × 1 1×2 ＋ 1 2×3 ＝ 5 6 . 【答案】 D 二、填空题 6．若随机变量 X服从两点分布，则 P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令 Y＝3X－2， 则 P(Y＝－2)＝________. 【解析】 由 Y＝－2，且 Y＝3X－2，得 X＝0， ∴P(Y＝－2)＝0.8. 【答案】 0.8 7．设离散型随机变量 X的概率分布列为： X －1 0 1 2 3 P 1 10 m 1 10 1 5 2 5 则 P(X≤2)＝________. 【解析】 P(X≤2)＝1－2 5 ＝ 3 5 . 【答案】 3 5 8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分 X的分布列如下表，其中 a，b，c 成等差数列，且 c＝ab， X 0 2 3 P a b c 则这名运动员得 3分的概率是________． 【解析】 由题中条件，知 2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知 a＋b ＋c＝1，且 a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得 a＝1 2 ，b＝1 3 ， c＝1 6 ，所以得 3分的概率是 1 6 . 【答案】 1 6 三、解答题 9．一个袋中有形状、大小完全相同的 3个白球和 4个红球． (1)从中任意摸出一球，用 0 表示摸出白球，用 1 表示摸出红球，即 X＝ {0，摸出白球， 1，摸出红球， 求 X的分布列； (2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示 两个球不全是白球，求 X的分布列． 【解】 (1)X的分布列如下表： X 0 1 P 3 7 4 7 (2)X的分布列如下表： X 0 1 P 1 7 6 7 10.(2016·大庆高二模拟)某校组织一次冬令营活动，有 8名同学参加，其中有 5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这 8名同学中随机抽取 3名同学 去执行一项特殊任务，记其中有 X名男同学． (1)求 X的分布列； (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率． 【解】 (1)X的可能取值为 0,1,2,3.根据公式 P(X＝k)＝CkMCn－kN－M CnN ，k＝0,1,2，…， m，其中 m＝min{M，n}算出其相应的概率． 即 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 (2)去执行任务的同学中有男有女的概率为 P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝15 56 ＋ 15 28 ＝ 45 56 . [能力提升] 1．一个袋中有 6个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,5,6，还有 4个同样大小 的白球，编号为 7,8,9,10.现从中任取 4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记 2分，取出一个白球记 1分，X表示取出的 4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是( ) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【解析】 由超几何分布的概念知③④符合，故选 B. 【答案】 B 2．(2016·周口中英文学校月考)设 X是一个离散型随机变量，其分布列为： X －1 0 1 P 1 2 1－2q q2 则 q为( ) 【导学号：97270035】 A．1 B．1± 2 2 C．1＋ 2 2 D．1－ 2 2 【解析】 由分布列性质(2)知1 2 ＋1－2q＋q2＝1， 解得 q＝1± 2 2 ，又由性质(1)知 1－2q≥0， ∴q≤1 2 ，∴q＝1－ 2 2 ，故选 D. 【答案】 D 3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个 数据模糊，无法确认，在图 211中以 X表示． 甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 图 211 如果 X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总 棵数 Y的分布列． 【解析】 当 X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是 9,9,11,11； 乙组同学的植树棵数分别是 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 4×4＝16 种可能的结果，这两名同学植树总棵树 Y的可能取值为 17,18,19,20,21. 事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树 9棵，乙组选出的同学植树 8棵”， 所以该事件有 2种可能的结果，因此 P(Y＝17)＝ 2 16 ＝ 1 8 . 同理可得 P(Y＝18)＝1 4 ；P(Y＝19)＝1 4 ； P(Y＝20)＝1 4 ；P(Y＝21)＝1 8 . 所以随机变量 Y的分布列为 Y 17 18 19 20 21 P 1 8 1 4 1 4 1 4 1 8 【答案】 Y 17 18 19 20 21 P 1 8 1 4 1 4 1 4 1 8 4.(2016·西安高二检测)袋中有 4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红 球得 2分，取到一个黑球得 1分，从袋中任取 4个球． (1)求得分 X的分布列； (2)求得分大于 6分的概率． 【解】 (1)从袋中随机摸 4个球的情况为 1红 3黑，2红 2黑，3红 1黑，4红． 分别得分为 5分，6分，7分，8分． 故 X的可能取值为 5,6,7,8. P(X＝5)＝C14C33 C47 ＝ 4 35 ， P(X＝6)＝C24C23 C47 ＝ 18 35 ， P(X＝7)＝C34C13 C47 ＝ 12 35 ， P(X＝8)＝C44C03 C47 ＝ 1 35 . 故所求分布列为 X 5 6 7 8 P 4 35 18 35 12 35 1 35 (2)根据随机变量 X的分布列，可以得到得分大于 6 分的概率为 P(X>6)＝P(X ＝7)＋P(X＝8)＝12 35 ＋ 1 35 ＝ 13 35 .