辽宁省葫芦岛市 2015-2016 学年高二数学下学期周考试题（二）理
辽宁省葫芦岛市 2015-2016 学年高二数学下学期周考试题（二）理
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项符合题目要求．
1．已知全集 U=R，集合 A={x|x<一 1 或 x>4），B={x|-2≤x≤3），那么阴影部分
表示的集合为( )
A．{x|-2≤x<4} B．{x|x≤3 或 x≥4} C. {x|-2≤x≤一 1} D.
{x|-1≤x≤3}
2.欧拉公式 sincos iei (e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，
01ie 被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数 i
e 6-
的虚部为（ ）
A. i2
1 B. i2
1 C.
2
1 D.
2
1
3.函 数 06sin
xxf 的 最 小 正 周 期 为 ， 则 xf 的 单 调 递 增 区 间 可 以 是
( )A.
63- ， B.
12
5
12- ， C.
12
11
12
5 ， D.
3
2
6
，
4.已知 611 axx 展开式中 2x 项的系数为 21，则实数 a ( )
A.
5
35 B.
2
7- C.1 或
5
7- D.-1 或
5
7
5. 已 知 x,y 满 足 不 等 式 组 ,
052
02
0
yx
yx
x
则
221 yxz 的最小值为( )
A.
2
23 B.
2
9 C. 5 D.5
(6)执行右侧的程序框图，输出 S 的值为( )
(A) ln4 (B) ln5 (C) ln 5-ln4 (D) ln 4-ln 3
7. 已知 ,
0,
0,2
3
1
xx
x
xf
x
若 1f ，则 1ff ( )
A.
2
43
或 1 B.
2
1 或 1 C.
2
1 D.1
8．如图是某一几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
A． 3
4
B．1 C． 5
4
D． 3
2
9．已知点 O 是△ABC 外心，AB=4，AO=3，则AB→·AC→的取值范围是( )
A.[-4,24] B.[-8,20] C.[-8,12] D.[-4,20]
10.已知椭圆 159
22
yx 的右焦点为 F，P 是椭圆上一点，点 32,0A ，当 APF 的周长最大时，
APF 的面积等于( )
A.
4
311 B.
4
321 C.
4
11 D.
4
21
11.已知函数 f(x+2）是偶函数，且当 x>2 时满足 xf '(x)>2f '(x)+f(x)），则( )
A．2f(1)
f(3) C．f(0)<4f( 5
2
) D．f(1)0，b>0）的长轴长等于圆 C2:x2+y2=4 的直径，且 C1 的离心率等于 1
2
．直
线 l1 和 l2 是过点 M(1，0)互相垂直的两条直线，l1 交 C1 于 A，B 两点，l2 交 C2 于 C，D 两点．
(I)求 C1 的标准方程；
(Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最大值．
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 xgxxf ,ln 是 xf 的反函数.
(Ⅰ)求证：当 0x 时， xxxf 2
2
1-1 ；
(Ⅱ)若 22 mxgxgxg 对任意 Rx 恒成立，求实数 m 的取值范围.
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第
一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
(22)（本小题满分 10 分）选修 4-1:几何证明选讲
如图，AB 与圆 O 相切于点 B，CD 为圆 O 上两点，延
长 AD 交圆 O 于点 E，BF∥CD 且交 ED 于点 F
(I)证明：△BCE∽△FDB;
( II)若 BE 为圆 O 的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，
(23)（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半
圆 C(圆心为点 C)的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈(
4
， 3
4
)．
(I)求半圆 C 的参数方程：
(II)直线，与两坐标轴的交点分别为 A，B，其中 A(O，-2)，点 D 在半圆 C 上，
且直线 CD 的倾斜角是直线，倾斜角的 2 倍，若△ABD 的面积为 4，求点 D 的直角坐标．
(24)（本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f(x)=lx+1|-a|x-l|.
(I)当 a=-2 时，解不等式 f(x)>5;
(II)若(x)≤a|x+3|，求 a 的最小值．
高三周考二数学（理）参考答案
1.D 2. C 3. A 4. D 5. D 6.A 7. A 8. B 9. D 10. B 11.A 12.B
13.an=(3
2
)n-1 14. 丙 15. [1,e5+1] 16. 5
3
（17）解：（Ⅰ）在△ADC 中，∠ADC＝360°－90°－120°－θ＝150°－θ，
由正弦定理可得 DC
sin∠DAC
＝ AC
sin∠ADC
，即 DC
sin30°
＝ 2
sin(150°－θ)
，
于是：DC＝ 1
sin (150°－θ)
． …5 分
（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得 AC
sin θ
＝ BC
sin 60°
，即 BC＝ 3
sin θ
，
由（Ⅰ）知：DC＝ 1
sin (150°－θ)
，
那么S＝ 3
4sin θ·sin (150°－θ)
＝ 3
2sinθcosθ＋2 3sin2θ
＝ 3
3＋2sin(2θ－60°)
，
故θ＝75°时，S 取得最小值 6－3 3．
18. （Ⅰ）证明：连 AC 交 BD 于O ，则 ACBD ，………………………..…1 分
又 AE 面 ABCD， BD 面 ABCD，则 AEBD ，………………………..…2 分
又 AAEAC
则 BD 面 EACF ， AF 面 EACF ………………………..…3 分
则 AFBD . 又 BEAF ， BBEBD ………………………..…4 分
所以 AF 面 BDE ，而 AF 面 BAF ，
所以平面 BAF 平面 BDE .………………………..…5 分
（Ⅱ）以O 为空间直角坐标系原点，以OC 为 x 轴，以OD 为 y 轴，以过O 点平行于 AE 以为 z 轴
建立空间直角坐标系 xOy
)1,0,2
1(),0,2
3,0(),,0,2
1(),0,2
3,0(),0,0,2
1( EDhFBA
)1,2
3,2
1(),,0,1( BEhAF 012
1 h 2
1h ………………………..…7 分
求得平面 BAF 的法向量为 )32,1,3( ………………………..…8 分
求得平面 AFD 的法向量为 )32,1,3( ………………………..…9 分
设所求二面角为 则有 |cos|
8
7 …
又因为所求二面角为钝角所以所求二面角得余弦值为
8
7 .
（19）解：
（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件 A，则 P(A)＝3×2×1
4×4×4
＝ 3
32
，
两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率
P＝1－P(－A )P(－A )＝1－(1－ 3
32
)2＝ 183
1024
．
…5 分
（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为 320－50＝270 元．
若选择方案二，记付款金额为 X 元，则 X 可取 160，224，256，320．
P(X＝160)＝ 3
32
，
P(X＝224)＝3×2×3＋3×2×1＋1×2×1
4×4×4
＝13
32
，
P(X＝256)＝3×2×3＋1×2×3＋1×2×1
4×4×4
＝13
32
，
P(X＝320)＝1×2×3
4×4×4
＝ 3
32
，
则 E(X)＝160× 3
32
＋224×13
32
＋256×13
32
＋320× 3
32
＝240．
∵ 270＞240，
∴第二种方案比较划算． …12 分
20. 解：(1)由题意 2,42 aa -----------1 分 1,2
1 ca
c -----------2 分
3b -----------3 分所以
2 2
+ =14 3
x y -----------4 分
(2) ①直线 ,AB CD 的斜率均存在时，设 : ( 1)AB y k x ，则 1: ( 1)CD y xk
2 2
( 1)
3 4 12
y k x
x y
得 2 2 2(3 4 ) -8 4 12 0k x k x k
2
1 2 2
2
1 2 2
8
3 4
4 12
3 4
kx x k
kx x k
2
2
1 2 2
12( 1)1 3 4
kAB k x x k
------------------------6 分
设圆心 (0,0) 到直线 : 1 0CD x ky 的距离
2
1
1
d
k
2
2 44
CD d ， 得
2
2
4 32 1
kCD k
-----------------------8 分
AB CD
2
2
1 12 1
2 4 3ABCD
kS AB CD
k
-----------------------9 分
整理得 2
1 112 4 4(4 3)ABCDS k
24 3 3k 4 3ABCDS
②当直线 AB 的斜率为 0 时， 34,32||,4|| ABCDSCDAB
当直线 AB 的斜率不存在时， 346,4||,3|| ABCDSCDAB -----11 分
综上,四边形 ABCD 的面积的最大值为 4 3 ----------------------12 分
21.
（22）解：（Ⅰ）因为 BF∥CD，所以∠EDC＝∠BFD，
又∠EBC＝∠EDC，所以∠EBC＝∠BFD，
又∠BCE＝∠BDF，所以△BCE∽△FDB. …4 分
（Ⅱ）因为∠EBF＝∠CBD，所以∠EBC＝∠FBD，
由（Ⅰ）得∠EBC＝∠BFD，所以∠FBD＝∠BFD，
又因为 BE 为圆 O 的直径，
所以△FDB 为等腰直角三角形，BD＝ 2
2
BF＝ 2，
因为 AB 与圆 O 相切于点 B，所以 EB⊥AB，即 AD·ED＝BD2＝2． …10 分
（23）解：
（Ⅰ）半圆 C 的直角坐标方程为 x2＋(y－1)2＝1（y＞1），
它的参数方程是
x＝cosφ，
y＝1＋sinφ，φ是参数且φ∈(0，π)． …4 分
（Ⅱ）设直线 l 的倾斜角为α，
则直线 l 的方程为 y＝xtan α－2， D (cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)．
|AB|＝ 2
sinα
，点 D 到直线 l 的距离为
|sinαcos2α－cosαsin2α－3cosα|
＝|3cosα－sinαcos2α＋cosαsin2α|＝3cosα＋sinα，
由△ABD 的面积为 4 得 tan α＝1，即α＝ π
4
，故点 D 为 (0，2)． …10 分
（24）解：
（Ⅰ）当 a＝－2 时，f (x)＝
1－3x， x＜－1，
3－x， －1≤x≤1，
3x－1， x＞1．
由 f (x)的单调性及 f (－ 4
3
)＝f (2)＝5，
得 f (x)＞5 的解集为{x|x＜－ 4
3
，或 x＞2}． …5 分
（Ⅱ）由 f (x)≤a|x＋3|得 a≥ |x＋1|
|x－1|＋|x＋3|
，
由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1|得 |x＋1|
|x－1|＋|x＋3|
≤ 1
2
，得 a≥ 1
2
．
（当且仅当 x≥1 或 x≤－3 时等号成立）
故 a 的最小值为 1
2
． …10 分