高二数学人教a必修5练习：3-2一元二次不等式及其解法（二）word版含解析
§3.2 一元二次不等式及其解法(二)
【课时目标】
1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．
2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．
1．一元二次不等式的解集：
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
x1
0
(a>0) {x|x< x1 或 x>x2} {x|x∈R 且 x≠－ b
2a} R
ax2＋bx＋c<0
(a>0) {x|x10⇔f(x)·g(x)>0；
(2)fx
gx
≤0⇔ fx·gx≤0
gx≠0
；
(3)fx
gx
≥a⇔fx－agx
gx
≥0.
3．处理不等式恒成立问题的常用方法：
(1)一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立⇔ a>0
Δ<0
；
ax2＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立⇔ a<0
Δ≤0
.
(2)一般地，若函数 y＝f(x)，x∈D 既存在最大值，也存在最小值，则：
a>f(x)，x∈D 恒成立⇔a>f(x)max；
a0 的解集是( )
A．(－3,2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 解不等式x－2
x＋3
>0 得，x>2 或 x<－3.
2．不等式(x－1) x＋2≥0 的解集是( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1 或 x＝－2} D．{x|x≤－2 或 x＝1}
答案 C
解析 当 x＝－2 时，0≥0 成立．当 x>－2 时，原不等式变为 x－1≥0，即 x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1 或 x＝－2}．
3．不等式x2－2x－2
x2＋x＋1
<2 的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．∅ D．{x|x<－2 或 x>2}
答案 A
解析 原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.
∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
4．不等式 x＋5
x－12
≥2 的解是( )
A．[－3，1
2] B．[－1
2
，3]
C．[1
2
，1)∪(1,3] D．[－1
2
，1)∪(1,3]
答案 D
解析 x＋5
x－12
≥2⇔ x＋5≥2x－12
x－1≠0
⇔
－1
2
≤x≤3，
x≠1，
∴x∈[－1
2
，1)∪(1,3]．
5．设集合 A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合 A∩Z 中元素的个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 解不等式(x－1)2<3x＋7，然后求交集．
由(x－1)2<3x＋7，
得－13 C．12
答案 B
解析 设 g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)>0 恒成立且 a∈[－1,1]⇔ g1＝x2－3x＋2>0
g－1＝x2－5x＋6>0
⇔ x<1 或 x>2
x<2 或 x>3
⇔x<1 或 x>3.
二、填空题
7．若关于 x 的不等式x－a
x＋1
>0 的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数 a＝________.
答案 4
解析 x－a
x＋1
>0⇔(x＋1)(x－a)>0
⇔(x＋1)(x－4)>0
∴a＝4.
8．若不等式－x2＋2x－a≤0 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
答案 a≥1
解析 ∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
9．若全集 I＝R，f(x)、g(x)均为 x 的二次函数，P＝{x|f(x)<0}，Q＝{x|g(x)≥0}，则不等
式组 fx<0，
gx<0
的解集可用 P、Q 表示为________．
答案 P∩∁IQ
解析 ∵g(x)≥0 的解集为 Q，
所以 g(x)<0 的解集为∁IQ，
因此 fx<0，
gx<0
的解集为 P∩∁IQ.
10．如果 A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数 a 的取值范围为________．
答案 0≤a≤4
解析 a＝0 时，A＝∅；当 a≠0 时，A＝∅⇔ax2－ax＋1≥0 恒成立⇔ a>0
Δ≤0
⇔00，
2x2＋2k＋5x＋5k<0
的整数解的集合为{－2}，求实数 k 的取
值范围．
解 由 x2－x－2>0，可得 x<－1 或 x>2.
∵ x2－x－2>0，
2x2＋2k＋5x＋5k<0
的整数解的集合为{－2}，
方程 2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0 的两根为－k 与－5
2
，
①若－k<－5
2
，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；
②若－5
2<－k，则应有－2<－k≤3，
∴－3≤k<2.
综上，所求的 k 的取值范围为－3≤k<2.
【能力提升】
13．已知 x1、x2 是方程 x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则 x21＋x 22的最
大值为( )
A．18 B．19 C.50
9 D．不存在
答案 A
解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，
即(k－2)2－4(k2＋3k＋5)≥0.
解得－4≤k≤－4
3
，
又 x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(k＋5)2＋19，
∴当 k＝－4 时，x21＋x 22有最大值，最大值为 18.
14．已知不等式 x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2 时恒成立，求 x 的取值范围；
(2)如果不等式当 2≤x≤4 时恒成立，求 p 的取值范围．
解 (1)不等式化为(x－1)p＋x2－2x＋1>0，
令 f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则 f(p)的图象是一条直线．又∵|p|≤2，
∴－2≤p≤2，于是得： f－2>0，
f2>0.
即 x－1·－2＋x2－2x＋1>0，
x－1·2＋x2－2x＋1>0.
即 x2－4x＋3>0，
x2－1>0.
∴x>3 或 x<－1.
故 x 的取值范围是 x>3 或 x<－1.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>
－x2＋2x－1
x－1
＝1－x.
由于不等式当 2≤x≤4 时恒成立，
∴p>(1－x)max.而 2≤x≤4，
∴(1－x)max＝－1，于是 p>－1.
故 p 的取值范围是 p>－1.
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)
求解．若不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离
后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前
提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)a
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