高二数学人教a必修5练习：3-2一元二次不等式及其解法word版含解析
课时训练 16 一元二次不等式及其解法
一、一元二次不等式的解法
1.不等式-x2-5x+6≤0 的解集为( )
A.{x|x≥6 或 x≤-1}
B.{x|-1≤x≤6}
C.{x|-6≤x≤1}
D.{x|x≤-6 或 x≥1}
答案:D
解析:由-x2-5x+6≤0 得 x2+5x-6≥0,
即(x+6)(x-1)≥0,
∴x≥1 或 x≤-6.
2.(2015 福建厦门高二期末,12)不等式
2
2
-
5 +5
1
2
的解集是 .
答案:{x|x<2 或 x>3}
解析:因为指数函数 y=2x 是增函数,
所以
2
2
-
5 +5
1
2
化为 x2-5x+5>-1,
即 x2-5x+6>0,解得 x<2 或 x>3.
所以不等式的解集为{x|x<2 或 x>3}.
3.解不等式:-2
0,解得 x>2 或 x<1.
不等式②为 x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].
二、三个二次之间的关系
4.(2015 山东威海高二期中,8)不等式 ax2+bx+2>0 的解集是
-
1
2 < <
1
3
,则 a-b 的值为( )
A.14 B.-14 C.10 D.-10
答案:D
解析:不等式 ax2+bx+2>0 的解集是
-
1
2 < <
1
3
,可得-
1
2 ,
1
3
是一元二次方程 ax2+bx+2=0 的两个实
数根,
∴-
1
2 +
1
3
=-
,-
1
2
1
3
2
,
解得 a=-12,b=-2.
∴a-b=-12-(-2)=-10.故选 D.
5.如果 ax2+bx+c>0 的解集为{x|x<-2 或 x>4},那么对于函数 f(x)=ax2+bx+c,f(-1),f(2),f(5)的大小关系
是 .
答案:f(2)0 的解集为{x|x<-2 或 x>4}知 a>0,且-2,4 是方程 ax2+bx+c=0 的两实根,所以
-
2 + 4
-
,
-
2 4
,
可得
-
2
,
-
8
,
所以 f(x)=ax2-2ax-8a=a(x+2)(x-4).
因为 a>0,所以 f(x)的图象开口向上.
又对称轴方程为 x=1,f(x)的大致图象如图所示,由图可得 f(2)0 的解集
是 .
答案: -
1
2
,-
1
3解析:∵不等式 x2-ax-b<0 的解集为(2,3),
∴一元二次方程 x2-ax-b=0 的根为 x1=2,x2=3.
根据根与系数的关系可得:
2 + 3
,
2 3
-
,
所以 a=5,b=-6.
不等式 bx2-ax-1>0,即不等式-6x2-5x-1>0,
整理,得 6x2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,
解之得-
1
2
0 的解集是 -
1
2
,-
1
3
.
三、含参不等式的解法
7.不等式(x+1)(x-a)<0 的解集为{x|-11 的解集为 .
答案:{x|x<-2 或 x>1}
解析:由已知不等式(x+1)(x-a)<0 的解集为{x|-11 可化为
2 +1
-
1
>1,移项通分得
+2
-
1
>0,
∴(x+2)(x-1)>0,解得 x<-2 或 x>1.
∴所求解集为{x|x<-2 或 x>1}.
8.解关于 x 的不等式 2x2+ax+2>0.
解:对于方程 2x2+ax+2=0,其判别式Δ=a2-16=(a+4)(a-4).
①当 a>4 或 a<-4 时,Δ>0,方程 2x2+ax+2=0 的两根为:
x1=
1
4
(-a-
2
-
16
),x2=
1
4
(-a+
2
-
16
).
∴原不等式的解集为
<
1
4
(-
-
2
-
16
)或
1
4
(-
+
2
-
16
) .
②当 a=4 时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=-1;
当 a=-4 时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=1.
∴原不等式的解集为{x|x≠±1}.
四、不等式恒成立问题
9.若一元二次不等式 x2-ax+1>0 恒成立,则 a 的取值范围是 .
答案:-20 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.
解:(1)当 m2+4m-5=0,即 m=1 或 m=-5 时,显然 m=1 符合条件,m=-5 不符合条件;
(2)当 m2+4m-5≠0 时,由二次函数对一切实数 x 恒为正数,
得
2
+ 4
-
5 0
,
16
(
-
1
)
2
-
12
(
2
+ 4
-
5
)
< 0
,
解得 10 的解集为( )
A.
<
或
1
B.{x|x>a}
C.
<
1
或
D.
<
1
答案:A
解析:∵01,即 a<
1
,
∴不等式的解集为
1
或
<
.
4.在 R 上定义运算
=ad-bc,若
3
-
< 2 0
1 2
成立,则 x 的取值范围是( )
A.{x|x<-4 或 x>1} B.{x|-44} D.{x|-10 的解集为(1,+∞),则关于 x 的不等式
+
-
2
>0 的解集为( )
A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案:B
解析:因为关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集为(1,+∞),所以 a>0,且
=1,即 a=b,所以关于 x 的不等式
+
-
2
>0 可化为
+1
-
2
>0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).
6.已知二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是-2,3,若 a>0,那么 ax2-bx+c>0 的解集是 .
答案:{x|x<-3 或 x>2}
解析:由题意知 -
-
2 + 3
,
-
2 3
,
∴b=-a,c=-6a.
∴不等式 ax2-bx+c>0,化为 ax2+ax-6a>0,
又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程 x2+x-6=0 的根为-3 和 2,
∴不等式的解集是{x|x<-3 或 x>2}.
7.已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 .
答案:(0,8)
解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.
即 a2-8a<0,∴0
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