高考卷 普通高等学校招生考试湖北理 数学（理工农医类）全解全析

高考卷 普通高等学校招生考试湖北理 数学（理工农医类）全解全析

2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工农医类）全解全析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．如果 2 3 23 n x x      的展开式中含有非零常数项，则正整数 n的最小值为（ ） Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 答案：选Ｂ 解析：由展开式通项有  2 1 3 23 r n rr r nT C x x           2 53 2 rr n r n r nC x      由题意得  52 5 0 0,1,2, , 1 2 n r n r r n      ，故当 2r  时，正整数 n的最小值为 5，故选 Ｂ 点评：本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求。本题中 “ 非零常数项”为干扰条件。 易错点：将通项公式中 r nC 误记为 1r nC  ，以及忽略 0,1,2, , 1r n  为整数的条件。 2．将 π2cos 3 6 xy       的图象按向量 π 2 4        ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ） Ａ． π2cos 2 3 4 xy        Ｂ． π2cos 2 3 4 xy        Ｃ． π2cos 2 3 12 xy        Ｄ． π2cos 2 3 12 xy        答案：选Ａ 解析：法一 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点  ' ' ',P x y ，  ,P x y ，则 π 2 4        ，a  ' ' ',P P x x y y     ' ', 2 4 x x y y      ，带入到已知解析式中可得选Ａ 法二 由 π 2 4        ，a 平移的意义可知，先向左平移 4  个单位，再向下平移 2 个单位。 点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为简单题。 易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移 4  个单位，再向下平移 2 个单位， 误选Ｃ 3．设 P和Q是两个集合，定义集合  |P Q x x P x Q   ，且 ，如果  2| log 1P x x  ，  | 2 1Q x x   ， 那么 P Q 等于（ ） A B CD A1 B1 C1D1 Ａ． | 0 1x x  Ｂ． | 0 1x x ≤ Ｃ． |1 2x x ≤ Ｄ． | 2 3x x ≤ 答案：选Ｂ 解析：先解两个不等式得  0 2P x x   ，  1 3Q x x   。由 P Q 定义，故选Ｂ 点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现 了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。 易错点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解  2| log 1P x x  时出错。 4．平面 外有两条直线m和 n，如果m和 n在平面 内的射影分别是m和 n，给出下列四个命题： ①m n m n    ； ②m n m n    ； ③m与 n相交 m与 n相交或重合； ④m与 n平行 m与 n平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：选Ｄ 解析：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法， 可知①②③④均错, 具体可观察如图的正方体： AC BD 但 1 1,AC BD 不垂直，故①错； 1 1A B AB 但在底面上的射影都是 AB 故②错； ,AC BD相交，但 1 ,AC BD异面，故③错； //AB CD但 1 1,A B C D异面， 故④错 点评：本题主要考察空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解。关键是要理解同一条直线在不同平面 上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同。要从不用的方向看 三垂线定理，充分发挥空间想象力。 易错点：空间想象力不够，容易误判③、④正确，而错选Ｂ或Ｃ 5．已知 p和q是两个不相等的正整数，且 2q≥ ，则 11 1 lim 11 1 p qn n n               → （ ） A．0 B．1 C． p q D． 1 1 p q   答案：选 C 解析：法一 特殊值法，由题意取 1, 2p q  ， 则 2 1 11 1 1lim lim lim1 2 1 2 211 1 p qn n n n pn n n q n nn                     → → → ，可见应选 C 法二           2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m m x x x x x                       2 11 1 1 1 1 1m mx x x x x             令 1x n  ，m分别取 p和 q，则原式化为 2 1 2 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 l im lim 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 pp q qn n n n n nn n n n n n                                                                       → → 2 11 1 1lim 1 1, lim 1 1, , lim 1 1, p n n nn n n                             所以原式= 1 1 1 1 1 1 p q          （分子、分母 1 的个数分别为 p个、 q个） 点评：本题考察数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考察学生思维的灵活性。当不能直 接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可。本题也体现了等比数列求和公式的逆用。 易错点：取特值时忽略 p和 q是两个不相等．．．的正整数的条件，误选 B；或不知变形而无法求解，或者认为 是 0 0 型而误选 B，看错项数而错选 D 6．若数列{ }na 满足 2 1 2 n n a p a   （ p为正常数， n N ），则称{ }na 为“等方比数列”． 甲：数列{ }na 是等方比数列；乙：数列{ }na 是等比数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：选 B 解析：由等比数列的定义数列，若乙：{ }na 是等比数列，公比为 q，即 2 21 1 2 1 n n n n a aq q a a       则甲命题成 立；反之，若甲：数列{ }na 是等方比数列，即 2 21 1 2 1 n n n n a aq q a a        即公比不一定为 q， 则命题乙不成立，故选 B 点评：本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换。要是等比数列，则公比应唯一确定。 易错点：本题是易错题。由 2 1 1 2 n n n n a ap p a a      ，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数 列，忽略等比数列的确定性，容易错选 C x y M F1 F2 D L O 7．双曲线 2 2 1 2 2: 1( 0 0)x yC a b a b    ， 的左准线为 l，左焦点和右焦点分别为 1F 和 2F ；抛物线 2C 的准 线为 l，焦点为 2 1F C； 与 2C 的一个交点为M ，则 1 2 1 1 2 F F MF MF MF  等于 （ ）A． 1 B．1 C． 1 2  D． 1 2 答案：选 A 解析：由题设可知点M 同时满足双曲线和抛物线的定义， 且在双曲线右支上,故 由定义可得 1 2 2 1 2M F M F a M F M D cM F M D a           2 1 2 2 2,ac aMF MF c a c a      故原式 2 2 2 12 2 ac c c a cc a ac a a a c a c a         ，选 A 点评：本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算， 体现数形结合方法的重要性。 易错点：由于畏惧心理而胡乱选择，不能将几何条件有机联系转化，缺乏消元意识。 8．已知两个等差数列{ }na 和{ }nb 的前 n项和分别为 A n 和 nB ， 且 7 45 3 n n A n B n    ，则使得 n n a b 为整数的正整数 n的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：选 D 解析：由等差数列的前 n项和及等差中项，可得             1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 n n n n n n a a n a aa b b b n b b                 2 1 2 1 7 2 1 4 5 1 4 3 8 7 1 9 1 27 2 1 3 2 2 1 1 n n nA n n B n n n n                   n N  ， 故 1,2,3,5,11n  时， n n a b 为整数。故选 D 点评：本题主要考察等差数列的性质，等差中项的综合应用，以及部分分式法，数的整除性 是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用。 易错点：不能将等差数列的项与前 n项和进行合理转化，胡乱选择。 9．连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ，记向量 ( )m n，a = 与向量 (1 1) ，b 的夹角为 ，则 0     ， 的概率是（ ） A． 5 12 B． 1 2 C． 7 12 D． 5 6 答案：选 C 解析：由向量夹角的定义，图形直观可得，当点  ,A m n 位于直线 y x 上及其下方时，满足 0     ， ， 点  ,A m n 的 总 个 数 为 6 6 个 ， 而 位 于 直 线 y x 上 及 其 下 方 的 点  ,A m n 有 1 1 1 1 2 3 4 56 1 21C C C C      个，故所求概率 21 7 36 12   ，选 C 点评：本题综合考察向量夹角，等可能事件概率的计算以及数形结合的知识和方法。 易错点：不能数形直观，确定点的位置，或忽略夹角范围中的 2  ，而误选 A 10．已知直线 1x y a b   （ a b， 是非零常数）与圆 2 2 100x y  有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均 为整数，那么这样的直线共有（ ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 答案：选 A 解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆 2 2 100x y  上的整数点共有 12 个，分别为      6, 8 , 6, 8 , 8, 6    ，      8, 6 , 10,0 , 0, 10    ，前 8 个点中，过任意一点的圆的切线满足，有 8 条；12 个点中过任意 两点，构成 2 12 66C  条直线，其中有 4 条直线垂直 x轴，有 4 条直线垂直 y轴，还有 6 条过原点（圆 上点的对称性），故满足题设的直线有 52 条。综上可知满足题设的直线共有52 8 60  条，选 A 点评：本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的 对称性来考虑过点的直线的特征。是较难问题 易错点：不能准确理解题意，甚至混淆。对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截 距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择。 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数 2y x a  的反函数是 3y bx  ，则 a  ；b  ． 答案： 16, 2 a b  解析：由互反函数点之间的对称关系，取特殊点求解。在 3y bx  上取点  0,3 ，得点  3,0 在 2y x a  上，故得 6a  ；又 2 6y x  上有点  0, 6 ，则点  6,0 在 3y bx  点评：本题主要考察反函数的概念及其对称性的应用。直接求反函数也可，较为简单。 易错点：运算错误导致填写其他错误答案。 O 0.1 1 y（毫克） t（小时） x y o3 2  3 12．复数 iz a b a b  R， ， ，且 0b  ，若 2 4z bz 是实数，则有序实数对 ( )a b， 可以是 ．（写 出一个有序实数对即可） 答案：  2,1 或满足 2a b 的任意一对非零实数对 解析：由复数运算法则可知  2 2 2 24 4 2 4z bz a b ab ab b i      ，由题意得    22 4 0 0 , 2 0, 0ab b b a b a b       ，答案众多，如  2, 1  也可。 点评： 本题主要考察复数的基本概念和运算，有一般结论需要写出一个具体结果，属开放性问题。 易错点：复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出 2a b ，不合题意要求。 13．设变量 x y， 满足约束条件 3 0 0 2 3 x y x y x      ≥ ， ≥ ， ≤ ≤ ， 则目标函数 2x y 的最小值为 答案： 3 2  解析：由约束条件得如图所示的三角形区域， 令 2 , 2x y z y x z     ，显然当平行直线过点 3 3, 2 2      时， z取得最小值为 3 2  点评：本题主要考察线性规划的基本知识，考察学生的动手能力作图观察能力。 易错点：不能准确画出不等式组的平面区域，把上下位置搞错，以及把直线间的相对位置搞错，找错点的 位置而得到错误结果。 14．某篮运动员在三分线投球的命中率是 1 2 ，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率 ．（用数值作答） 答案： 15 128 解析：由题意知所求概率 3 7 3 10 1 1 15 2 2 128 p C             点评：本题考察 n次独立重复试验中，某事件恰好发生 k次的概率，直接用公式解决。 易错点：把“恰好投进 3 个球”错误理解为某三次投进球，忽略“三次”的任意性。 15 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含 药量 y（毫克）与时间 t（小时）成正比； 药物释放完毕后， y与 t的函数关系式为 1 16 t a y        （ a为常数），如图所示． 据图中提供的信息，回答下列问题： （I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 t （小时）之间的函数关系式为 ； （II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时， 学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 答案：（I）     1 10 10 0 0.1 1 0.1 16 t t t y t          （II）0.6 解析：（I）由题意和图示，当0 0.1t  时，可设 y kt （ k为待定系数），由于点  0,1,1 在直线上， 10k  ； 同理，当 0.1t  时，可得 0.11 11 0.1 0 16 10 a a a            （II）由题意可得 10.25 4 y   ，即得 110 4 0 0.1 t t       或 1 101 1 16 4 0.1 t t         10 40 t   或 0.6t  ，由题意至少需要经过0.6 小时后，学生才能回到教室． 点评：本题考察函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力。 易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（II）中填写了其他错误答案。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分． 16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推 理和运算能力． 解：（Ⅰ）设 ABC△ 中角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ， 则由 1 sin 3 2 bc   ，0 cos 6bc ≤ ≤ ，可得0 cot 1≤ ≤ ， π π 4 2       ，∴ ． （Ⅱ） 2 π( ) 2sin 3 cos 2 4 f          π1 cos 2 3 cos 2 2            (1 sin 2 ) 3 cos 2    πsin 2 3 cos 2 1 2sin 2 1 3             ． π π 4 2       ，∵ ， π π 2π2 3 6 3        ， ， π2 2sin 2 1 3 3       ∴ ≤ ≤ ． 即当 5π 12   时， max( ) 3f   ；当 π 4   时， min( ) 2f   ． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运 用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ） 分组 频数 频率  1.30 1.34， 4 0.04  1.34 1.38， 25 0.25  1.381.42， 30 0.30  1.42 1.46， 29 0.29  1.46 1.50， 10 0.10  1.50 1.54， 2 0.02 合计 100 1.00 （Ⅱ）纤度落在  1.381.50， 中的概率约为 0.30 0.29 0.10 0.69   ，纤度小于 1.40 的概率约为 10.04 0.25 0.30 0.44 2     ． （Ⅲ）总体数据的期望约为 1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.4088            ． 18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应 用向量知识解决数学问题的能力． 解法 1：（Ⅰ） AC BC a ∵ ， ACB∴△ 是等腰三角形，又D是 AB的中点， 样本数据 频率/组距 1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 CD AB∴ ，又VC 底面 ABC． VC AB∴ ．于是 AB 平面VCD． 又 AB 平面VAB，∴平面VAB 平面VCD． （Ⅱ） 过点C在平面VCD内作CH VD 于H ，则由（Ⅰ）知CD 平面VAB． 连接 BH ，于是 CBH 就是直线 BC与平面VAB所成的角． 在 CHDRt△ 中， 2 sin 2 CH a  ； 设 CBH   ，在 BHCRt△ 中， sinCH a  ， 2 sin sin 2  ∴ ． π0 2  ∵ ， 0 sin 1 ∴ ， 20 sin 2   ． 又 π0 2 ≤ ≤ ， π0 4  ∴ ． 即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为 π0 4       ， ． 解法 2：（Ⅰ）以CA CB CV， ， 所在的直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 2(0 0 0) ( 0 0) (0 0) 0 0 0 tan 2 2 2 a aC A a B a D V a             ，，， ，，， ， ，， ，， ， ，， ， 于是， 2 tan 2 2 2 a aVD a           ，， ， 0 2 2 a aCD        ，， ， ( 0)AB a a   ， ， ． 从而 2 21 1( 0) 0 0 0 2 2 2 2 a aAB CD a a a a             ， ， ，，· · ，即 AB CD ． 同理 2 22 1 1( 0) tan 0 0 2 2 2 2 2 a aAB VD a a a a a                 ， ， ，，· · ， 即 AB VD ．又CD VD D ， AB ∴ 平面VCD． 又 AB 平面VAB．∴平面VAB 平面VCD． （Ⅱ）设直线 BC与平面VAB所成的角为 ，平面VAB的一个法向量为 ( )x y z ， ，n ， 则由 0 0AB VD    ，n n· · ． 得 0 2 tan 0 2 2 2 ax ay a ax y az          ， ． A D BC H V A D B C V x y z 可取 (11 2 cot ) ，，n ，又 (0 0)BC a   ， ， ， 于是 2 2sin sin 22 2cot BC a BC a         n n · · · ， π0 2  ∵ ， 0 sin 1 ∴ ， 20 sin 2   ． 又 π0 2 ≤ ≤ ， π0 4  ∴ ． 即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为 π0 4       ， ． 解法 3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC DB， 所在的直线分别为 x轴、 y轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则 2 2 2(0 0 0) 0 0 0 0 0 0 2 2 2 D A a B a C a                         ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 2 20 tan 2 2 V a a         ，， ，于 是 2 20 tan 2 2 DV a a           ，， ， 2 0 0 2 DC a          ，， ， (0 2 0)AB a  ， ， ． 从而 (0 2 0)AB DC a   ， ，· 2 0 0 0 2 a         ，，· ，即 AB DC ． 同理 2 2(0 2 0) 0 tan 0 2 2 AB DV a a a             ， ， ，，· ，即 AB DV ． 又DC DV D ， AB ∴ 平面VCD． 又 AB 平面VAB， ∴平面VAB 平面VCD． （Ⅱ）设直线 BC与平面VAB所成的角为 ，平面VAB的一个法向量为 ( )x y z ， ，n ， 则由 0 0AB DV    ，· ·n n ，得 2 0 2 2 tan 0 2 2 ay ax az          ， ． 可取 (tan 0 1) ，，n ，又 2 2 0 2 2 BC a a           ， ， ， 于是 2 tan 22sin sin 21 tan aBC aBC          n n · ·· ， A D B C V x y π0 2  ∵ ， 0 sin 1 ∴ ， 20 sin 2   ． 又 π0 2 ≤ ≤ ， π0 4  ∴ ， 即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为 π0 4       ， ． 解法 4：以CA CB CV， ， 所在直线分别为 x轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0 0 0) ( 0 0) (0 0) 0 2 2 a aC A a B a D       ，，， ，，， ， ，， ，， ． 设 (0 0 )( 0)V t t ，， ． （Ⅰ） (0 0 ) 0 ( 0) 2 2 a aCV t CD AB a a           ，， ， ，， ， ， ， ， ( 0) (0 0 ) 0 0 0 0AB CV a a t        ， ， ，，· · ， 即 AB CV ． 2 2 ( 0) 0 0 0 2 2 2 2 a a a aAB CD a a              ， ， ，，· · ， 即 AB CD ． 又CV CD C ， AB ∴ 平面VCD． 又 AB 平面VAB， ∴平面VAB 平面VCD． （Ⅱ）设直线 BC与平面VAB所成的角为 ， 设 ( )x y z ， ，n 是平面VAB的一个非零法向量， 则 ( ) ( 0) 0 ( ) ( 0 ) 0 AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz                 ， ， ， ， ， ， ， ，， ， n n · · · · 取 z a ，得 x y t  ． 可取 ( )t t a ，，n ，又 (0 0)CB a  ， ， ， 于是 2 2 2 2 2 1sin 2 2 taCB t CB a t t a t a a t                · · · n n ， (0 )t ，∵ ∞ ， sin 关于 t递增． A D B C V x y z 10 sin 2  ∴ ， π0 4       ，∴ ． 即直线 BC与平面VAB所成角的取值范围为 π0 4       ， ． 19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算 的能力和解决问题的能力． 解法 1：（Ⅰ）依题意，点 N 的坐标为 (0 )N p， ，可设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ， 直线 AB的方程为 y kx p  ，与 2 2x py 联立得 2 2x py y kx p      ， ． 消去 y得 2 22 2 0x pkx p   ． 由韦达定理得 1 2 2x x pk  ， 2 1 2 2x x p  ． 于是 1 2 1 2 2ABN BCN ACNS S S p x x   △ △ △ · ． 2 1 2 1 2 1 2( ) 4p x x p x x x x     2 2 2 2 24 8 2 2p p k p p k    ， ∴当 0k  时， 2 min( ) 2 2ABNS p△ ． （Ⅱ）假设满足条件的直线 l存在，其方程为 y a ， AC的中点为O， l与 AC为直径的圆相交于点 P，Q PQ， 的中点为H ， 则OH PQ  ，Q点的坐标为 1 1 2 2 x y p      ， ． 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( ) 2 2 2 O P AC x y p y p      ∵ ， 1 1 1 2 2 2 y pO H a a y p      ， 2 2 2PH O P O H  ∴ 2 2 2 1 1 1 1( ) (2 ) 4 4 y p a y p     1 ( ) 2 pa y a p a        ， 2 2(2 )PQ PH∴ 14 ( ) 2 pa y a p a          ． N O A C B y x N O A C B y x O l 令 0 2 pa   ，得 2 pa  ，此时 PQ p 为定值，故满足条件的直线 l存在，其方程为 2 py  ， 即抛物线的通径所在的直线． 解法 2：（Ⅰ）前同解法 1，再由弦长公式得 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4 1 4 8AB k x x k x x x x k p k p         · · 2 22 1 2p k k  · ， 又由点到直线的距离公式得 2 2 1 pd k   ． 从而 2 2 2 2 2 1 1 22 1 2 2 2 2 2 1 ABN pS d AB p k k p k k        △ ·· · · · ， ∴当 0k  时， 2 min( ) 2 2ABNS p△ ． （ Ⅱ ） 假 设 满 足 条 件 的 直 线 l 存 在 ， 其 方 程 为 y a ， 则 以 AC 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 1 1( 0)( ) ( )( ) 0x x x y p y y      ， 将直线方程 y a 代入得 2 1 1( )( ) 0x x x a p a y     ， 则 2 1 1 14( )( ) 4 ( ) 2 px a p a y a y a p a              △ ． 设直线 l与以 AC为直径的圆的交点为 3 3 4 4( ) ( )P x y Q x y， ， ， ， 则有 3 4 1 14 ( ) 2 ( ) 2 2 p pPQ x x a y a p a a y a p a                      ． 令 0 2 pa   ，得 2 pa  ，此时 PQ p 为定值，故满足条件的直线 l存在，其方程为 2 py  ， 即抛物线的通径所在的直线． 20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设 ( )y f x 与 ( )( 0)y g x x  在公共点 0 0( )x y， 处的切线相同． ( ) 2f x x a  ∵ ， 23( ) ag x x   ，由题意 0 0( ) ( )f x g x ， 0 0( ) ( )f x g x  ． 即 2 2 0 0 0 2 0 0 1 2 3 ln 2 32 x ax a x b ax a x          ， ， 由 2 0 0 32 ax a x   得： 0x a ，或 0 3x a  （舍去）． 即有 2 2 2 2 21 52 3 ln 3 ln 2 2 b a a a a a a a     ． 令 2 25( ) 3 ln ( 0) 2 h t t t t t   ，则 ( ) 2 (1 3ln )h t t t   ．于是 当 (1 3ln ) 0t t  ，即 1 30 t e  时， ( ) 0h t  ； 当 (1 3ln ) 0t t  ，即 1 3t e 时， ( ) 0h t  ． 故 ( )h t 在 1 30 e       ， 为增函数，在 1 3e       ，∞ 为减函数， 于是 ( )h t 在 (0 )，∞ 的最大值为 1 2 3 33 2 h e e       ． （Ⅱ）设 2 21( ) ( ) ( ) 2 3 ln ( 0) 2 F x f x g x x ax a x b x       ， 则 ( )F x 23 ( )( 3 )2 ( 0)a x a x ax a x x x        ． 故 ( )F x 在 (0 )a， 为减函数，在 ( )a ，∞ 为增函数， 于是函数 ( )F x 在 (0 )，∞ 上的最小值是 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0F a F x f x g x    ． 故当 0x  时，有 ( ) ( ) 0f x g x ≥ ，即当 0x  时， ( ) ( )f x g x≥ ． 21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和 推理能力． 解法 1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当 1m  时，原不等式成立；当 2m  时，左边 21 2x x   ，右边 1 2x  ， 因为 2 0x ≥ ，所以左边≥右边，原不等式成立； （ⅱ）假设当m k 时，不等式成立，即 (1 ) 1kx kx ≥ ，则当 1m k  时， 1x  ∵ ， 1 0x ∴ ，于是在不等式 (1 ) 1kx kx ≥ 两边同乘以1 x 得 2(1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)kx x kx x k x kx k x         · ≥ ≥ ， 所以 1(1 ) 1 ( 1)kx k x  ≥ ．即当 1m k  时，不等式也成立． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立． （Ⅱ）证：当 6n m n，≥ ≤ 时，由（Ⅰ）得 11 1 0 3 3 m m n n        ≥ ， 于是 11 1 3 3 n nmm n n              ≤ 1 11 3 2 mn m n                ， 1 2m n ，， ， ． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当 6n≥ 时， 2 1 2 1 1 1 11 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2 n n n n n n n n n                                             ， 2 1 3 1 3 3 3 n n nn n n n n                       ∴ ． 即3 4 ( 2) ( 3)n n n nn n      ．即当 6n≥ 时，不存在满足该等式的正整数 n． 故只需要讨论 1 2 3 4 5n  ，，，，的情形： 当 1n  时，3 4 ，等式不成立； 当 2n  时， 2 2 23 4 5  ，等式成立； 当 3n  时， 3 3 3 33 4 5 6   ，等式成立； 当 4n  时， 4 4 4 43 4 5 6   为偶数，而 47 为奇数，故 4 4 4 4 43 4 5 6 7    ，等式不成立； 当 5n  时，同 4n  的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的 n只有 2 3n  ，． 解法 2：（Ⅰ）证：当 0x  或 1m  时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当 1x   ，且 0x  时， 2m≥ ， (1 ) 1mx mx   ． ① （ⅰ）当 2m  时，左边 21 2x x   ，右边 1 2x  ，因为 0x  ，所以 2 0x  ，即左边右边，不等式 ①成立； （ⅱ）假设当 ( 2)m k k ≥ 时，不等式①成立，即 (1 ) 1kx kx   ，则当 1m k  时， 因为 1x   ，所以1 0x  ．又因为 0 2x k ， ≥ ，所以 2 0kx  ． 于是在不等式 (1 ) 1kx kx   两边同乘以1 x 得 2(1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)kx x kx x k x kx k x           · ， 所以 1(1 ) 1 ( 1)kx k x    ．即当 1m k  时，不等式①也成立． 综上所述，所证不等式成立． （Ⅱ）证：当 6n≥ ，m n≤ 时， 1 11 3 2 n n      ∵ ， 1 11 3 2 nm m n                ∴ ， 而由（Ⅰ）， 11 1 0 3 3 m m n n        ≥ ， 1 11 1 3 3 2 nn m mm n n                        ∴ ≤ ． （Ⅲ）解：假设存在正整数 0 6n ≥ 使等式 0 0 0 0 0 03 4 ( 2) ( 3)n n n nn n      成立， 即有 0 0 0 0 0 0 0 23 4 1 3 3 3 n n n n n n n                        ． ② 又由（Ⅱ）可得 0 0 0 0 0 0 0 23 4 3 3 3 n n n n n n n                       0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 1 3 3 3 n n n n n n n n                           0 0 0 11 1 1 11 1 2 2 2 2 n n n                    ，与②式矛盾． 故当 6n≥ 时，不存在满足该等式的正整数 n． 下同解法 1．