甘肃省天水一中2021届高三数学(理)上学期第二次考试试题(Word版附答案)

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甘肃省天水一中2021届高三数学(理)上学期第二次考试试题(Word版附答案)

试卷第 1页,总 4页 天水市一中 2018 级 2020--2021 学年度第二次考试试题 数学(理) 一、单选题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 2{ | 2 3} { 2 0 2 3}A x y x x B     , , , , ,M A B  ,则 M 的子集共有( ) A.3个 B. 4 个 C. 7 个 D.8 个 2.已知向量  2,2AB  ,  ,1AC t ,若 2AB BC   ,则t  ( ) A.5 B. 4 C.3 D. 2 3.在等差数列 中,若 ,则 ( ) A.15 B.10 C.5 D.1 4.已知 sin 3cos 53cos sin       ,则 2sin sin cos   的值是( ) A. 2 5 B. 2 5  C.2 D. 2 5.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数 学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响 深远.若 0a b  ,则下列结论错误..的是( ) A. 1 1 a b  B. 2log ( ) 0a b  C. 1 1 2 2a b D.3 3a b 6.一个等比数列 na 的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前3n项和为( ) A.63 B.108 C.75 D.83 7.已知函数   3sin 2 3f x x      ,则下列结论正确的是( ) 试卷第 2页,总 4页 A.函数  f x 的最小正周期为 2 B.函数  f x 的图象的一个对称中心为 ,06      C.函数  f x 的图象的一条对称轴方程为 3x  D.函数  f x 的图象可以由函数 3 cos2y x 的图象向右平移 12  个单位长度得到 8.在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin sin A a B c  ,(b+c+a)(b+c-a)=3bc, 则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 9.已知正项等比数列 na 中 9 79a a ,若存在两项 ma 、 na ,使 2 127m na a a ,则 1 16 m n  的最 小值为( ) A.5 B. 21 5 C. 5 16 D. 65 4 10. 已知点  ,P x y 在曲线C : 2 2 2 0x y x   上,则 2x y 的最大值为( ) A.2 B.-2 C.1 5 D.1 5 11.已知函数 ( )f x 定义域为 R ,且满足下列三个条件:①任意 1 2 ( 4,0)x x   ,都有 2 1 2 1 ( ) ( ) 0f x f x x x   ;② ( ) ( 4)f x f x   ;③ ( 4)y f x  为偶函数,则( ) A. (2019) (15) (2)f f f  B. (15) (2) (2019)f f f  C. (2) (15) (2019)f f f  D. (2) (2019) (15)f f f  12. 已知函数 ( ) 3xf x e ax   ,其中 a R ,若对于任意的 1 2, [1, )x x   ,且 1 2x x ,都有  2 1x f x    1 2 1 2x f x a x x   成立,则 a 的取值范围是( ) A.[3, ) B.[2, ) C. ( ,3] D. ( ,2] 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.若复数 2 1 iz   ,则| |z ________. 试卷第 3页,总 4页 14.已知实数 x,y 满足 1 2 0 2 0 x x y x y          ,则 2z x y  的最大值为________. 15.已知等差数列 na 前 n 项和 nS ,且 2019 20200, 0S S  ,若 1 0k ka a   ,则 k 的值为________ 16.如图,在 中 1cos 4BAC  ,点 D 在线段 BC 上,且 3BD DC , 15 2AD  ,则 的面 积的最大值为______. 三、解答题(第 17 题 10 分;第 18--22 题各小题 12 分,共 70 分) 17.已知命题 p : x R  , 2 0tx x t   . (1)若 p 为真命题,求实数 t 的取值范围; (2)命题 q: [2,16]x  , 2log 1 0t x   ,当 p q 为真命题且 p q 为假命题时,求实数t 的取 值范围. 18.已知在等差数列 na 中, 2 4 10a a  , 5 9a  . (1)求数列 na 的通项公式,写出它的前 n 项和 nS ; (2)若 1 2 n n n c a a    ,求数列 nc 的前 n 项和 nT . 19.设函数    2 5sin cos 3sin 2 2f x x x x        . (1)求函数  f x 的最小正周期 T 和单调递减区间; (2)在锐角 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 3 sin cos a b A B  ,求  f A 的取值范围. 试卷第 4页,总 4页 20.在 中,角 A 、B 、C 所对的边长是 a 、b 、c ,向量  ,m b c ,且满足 2 2m a bc  . (1)求角 A 的大小; (2)若 3a  ,求 的周长的最大值. 21.若数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 2 1n nS a  , *n N . (1)求数列 na 的通项公式; (2)设 ,求数列 nb 的前 n 项和 nT . 22.已知函数 l( ) 1( )1 naf x ax Rx     (1)若函数  f x 在区间 0,1 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若 0a  ,函数  f x 在 x t 处取得极小值,证明: 32 ( ) 0f t t t    . 答案第 1页,总 5页 参考答案 1.B 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.C 11.B 12.C 13. 2 14.1 15.1010 16. 15 17.(1) 1 2t   ;(2) 1t   或 1 2t   . 【详解】 (1) x R  , 2 0tx x t   0t  且 21 4 0t    ,解得: 1 2t   p 为真命题时, 1 2t   (2)  2,16x  , 2log 1 0t x    2,16x   , 2 1 logt x   有解  2,16x 时, 2 1 11,log 4x        当 1t   时,命题 q为真命题 p q 为真命题且 p q 为假命题 p 真 q假或 p 假 q真 当 p 真 q假时,有 1 1 2 t t     ,解得: 1t   ; 当 p 假 q真时,有 1 1 2 t t     ,解得: 1 2t   ; p q  为真命题且 p q 为假命题时, 1t   或 1 2t   18.(1) 2 1na n  , 2 nS n ;(2) 2 2 1 n n 【详解】 (1)设 1 ( 1)na a n d   ,由题意得 12 4 10a d  , 1 4 9a d  , 1 1a  , 2d  , 所以 2 1na n  , 2 1 ( 1) 2n n nS na d n   . 答案第 2页,总 5页 (2) 1 2 2 1 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1n n n c a a n n n n         1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 2 1 2 1n nT c c c n n                          1 21 2 1 2 1 n n n     . 19.(1) ,  7,12 12k k k        Z ;(2) 1 3,1 3  . 【详解】 (1)   2sin cos 3 cos2 1f x x x x   sin 2 3 cos2 1x x   2sin 2 13x       函数  f x 的最小正周期 2 2T    , 令 32 2 22 3 2k x k         , k Z , 得 7 12 12k x k      , k Z , 从而函数  f x 的单调递减区间为  7,12 12k k k        Z ; (2)在锐角 ABC 中,由 3 sin cos a b A B  知, 3B  , 则 0 2 20 3 2 A A           得 6 2A   , 从而 2 42 ,3 3 3A        , 故  f A 的取值范围为  1 3,1 3  . 20.(1) 3A  ;(2)3 3 . 【详解】 答案第 3页,总 5页 (1)  ,m b c  且 2 2m a bc  , 2 2 2b c a bc    , 由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    , 0 A   ,因此, 3A  ; (2)由 3a  , 3A  及余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A   , 即      22 2 22 2 2 3 3 2 4 b cb ca b c bc b c bc b c               ,  2 24 12b c a    , 2 3b c   ,当且仅当 3b c  时,等号成立, 因此, ABC 的周长的最大值为3 3 . 21.(1) 12n na -= ;(2) 1 2 36 2n n nT    . 【详解】 (1)当 1n  时, 1 1 12 1 1aaa     , 当 2n  时, 2 1n nS a  , 1 12 1n nS a   ,两式相减得 12 2n n na a a   , 即  12 2n na a n  ,所以数列 na 是首项为 1 1a  ,公比为 2 的等比数列, 所以  1 *2 Nn na n  . (2)由(1)得 1 2 1 2n n nb   ,所以 2 1 1 3 5 2 1 1 2 2 2n n nT       , 2 3 1 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2n n nT      , 两式相减得 2 1 1 1 2 11 12 2 2 2n n n nT        1 1 11 2 1 1 2 121 1 2 11 2 2 21 2 n n n n n n              1 2 2 1 2 33 32 2 2n n n n n        . 答案第 4页,总 5页 所以 1 2 36 2n n nT    22.(1) ( ,0] ,(2)见解析 【详解】 解:(1)因为函数  f x 在区间 0,1 上单调递增,所以  'f x ≥0 在 0,1 上恒成立, 即  ' 2 1 ( 1) af x x x    ≥0, 因为  0,1x ,所以 a ≤ 2( 1) 1 2x xx x     在 0,1 上恒成立, 令 1( ) 2g x x x    ,  0,1x ,则 2 ' 2 2 1 1( ) 1 0xg x x x     , 所以 1( ) 2g x x x    在 0,1 上递减,所以 ( ) (1) 0g x g  所以当 a ≤0 时,  f x 在区间 0,1 上单调递增, 所以 a 的取值范围 ( ,0] , (2)因为函数  f x 在 x t 处取得极小值,所以  ' 0f t  ,即  ' 2 1=0( 1) af t t t    , 得 2( 1)ta t  ,所以   1 ln 1tf ttt     f x 的定义域为 0,1 1( ),  ,   2 ' 2 2 1 ( 2) 1 ( 1) ( 1) a x a xf x x x x x        因为 0a  ,所以 2( 2) 4 0a     , 设 ( )' 0f x = 的两个根为 1 2 1 2, ( )x x x x , 解得 2 2 1 2 2 4 2 4,2 2 a a a a a ax x       , 由 1 2 1 22, 1x x a x x    ,得 1 20 1x x   , 所以当 1 2(0, ) ( , )x x x  时,  ' 0f x  ;当 1 2( ,1) (1, )x x x  时,  ' 0f x  又因为  f x 在 x t 处取得极小值,所以 1t  , 答案第 5页,总 5页 要证 32 ( ) 0f t t t    ,只需证明 12ln 0( 1)t t tt     成立即可, 令 ( ) 2l 1n 0( 1)h t t t tt      ,则 2 ' 2 2 2 ( 1)) 1 01( th t t t t       , 所以 ( )h t 在 (1, ) 上为减函数, 所以 ( ) (1) 0h t h  , 所以 32 ( ) 0f t t t   
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