江苏省南京市2020-2021学年度第一学期高二数学期中调研测试试卷(word版 含答案）

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高二期中调研 数学试卷 第 1页共 6 页 南京市 2020－2021 学年度第一学期期中调研测试 高 二 数 学 2020.11 注意事项： 1．本试卷共 6 页，包括单项选择题（第 1 题~第 8 题）、多项选择题（第 9 题~第 12 题）、 填空题（第 13 题~第 16 题）、解答题（第 17 题~第 22 题）四部分．本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内， 在其他位置作答一律无效． 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 x2＝2y 的焦点为 F，准线为 l，则点 F 到直线 l 的距离为 A．1 2 B．1 C．2 D．4 2．已知向量 a＝(－2，3，－1)，b＝(4，m，n)，且 a∥b，其中 m，n∈R，则 m＋n＝ A．4 B．－4 C．2 D．－2 3．若 sinθ＝2cos(π－θ)，则 tan(θ＋π 4 )的值为 A．3 B．1 3 C．－3 D．－1 3 4．在平面直角坐标系 xOy 中，若椭圆 C：x2 9 ＋y2 m ＝1 与双曲线 T：x2－y2 m ＝1 有相同的焦点， 则双曲线 T 的渐近线方程为 A．y＝±1 4 x B．y＝±1 2 x C．y＝±4x D．y＝±2x 5．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－4＝0 与两坐标轴分别交于点 A，B，圆 C 经过 A， B，且圆心在 y 轴上，则圆 C 的方程为 A．x2＋y2＋6y－16＝0 B．x2＋y2－6y－16＝0 C．x2＋y2＋8y－9＝0 D．x2＋y2－8y－9＝0 高二期中调研 数学试卷 第 2页共 6 页 6．如图，已知圆柱的底面半径为 2，与圆柱底面成 60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆， 则该椭圆的焦距为 A．2 2 B．2 3 C．4 2 D．4 3 7．如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，BC1 与 B1C 相交于点 O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°， ∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段 AO 的长度为 A． 29 2 B． 29 C． 23 2 D． 23 8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为 F，点 M， N 在双曲线 C 上．若四边形 OFMN 为菱形，则双曲线 C 的离心率为 A． 3－1 B． 5－1 C． 3＋1 D． 5＋1 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 5 分，部分选 对得 3 分，不选或有错选的得 0 分． 9．已知两个不重合的平面α，β及直线 m，下列说法正确的是 A．若α⊥β，m⊥α，则 m∥β B．若α∥β，m⊥α，则 m⊥β C．若 m∥α，m⊥β，则α⊥β D．若 m∥α，m∥β，则α∥β 10．在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别为椭圆 x2 4 ＋y2 2 ＝1 的左、右焦点，点 A 在椭圆上．若 △AF1F2 为直角三角形，则 AF1 的长度可以为 A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，直线 l1，l2 相交于点 O，点 P 是平面内的任意一点，若 x，y 分别表示点 P 到 l1， l2 的距离，则称(x，y)为点 P 的“距离坐标”．下列说法正确的是 A．距离坐标为(0，0)的点有 1 个 B．距离坐标为(0，1)的点有 2 个 N （第 11 题） O M P l2 l1 （第 6 题） C1 （第 7 题） A B C B1 O 高二期中调研 数学试卷 第 3页共 6 页 C．距离坐标为(1，2)的点有 4 个 D．距离坐标为(x，x)的点在一条直线上 12．20 世纪 50 年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金 属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体 和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有 24 条棱、12 个顶 点、14 个面（6 个正方形、8 个正三角形），它是将立方体“切”去 8 个“角”后得到 的几何体．已知一个立方八面体的棱长为 1，则 A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为 2 B．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直 C．它的体积为5 2 3 D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：x＋ay＝0 和直线 l2：2x－(a－3)y－4＝0， a∈R．若 l1 与 l2 平行，则 l1 与 l2 之间的距离为 ▲________． 14．在空间直角坐标系中，若三点 A(1，－1，a)，B(2，a，0)，C(1，a，－2)满足 (AB→－2AC→)⊥BC→，则实数 a 的值为 ▲________． 15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一 些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为 “鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体 PABC，其中 PA⊥平面 ABC，PA＝AC＝1， BC＝ 2，则四面体 PABC 的外接球的表面积为 ▲________． 16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的 冲击．现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分， 且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，根据图上尺寸，溢流 孔 ABC 所在抛物线的方程为 ▲________，溢流孔与桥拱交点 A 的横坐标．．．为 ▲________． （第 12 题） A B C P （第 15 题） 第 16 题 高二期中调研 数学试卷 第 4页共 6 页 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 在 ①sin(A－B)＝sinB＋sinC；②2acosC＝2b＋c；③△ABC 的面积 S＝ 3 4 (a2－b2－c2) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，__________，D 是边 BC 上的一点， ∠BAD＝π 2 ，且 b＝4，c＝2，求线段 AD 的长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 F：(x－2)2＋y2＝1，动圆 M 与直线 l：x＝－1 相切 且与圆 F 外切． （1）记圆心 M 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程； （2）已知 A(－2，0)，曲线 C 上一点 P 满足 PA＝ 2PF，求∠PAF 的大小． 高二期中调研 数学试卷 第 5页共 6 页 19．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 为 AC 中点． （1）求证：B1A∥平面 C1BD； （2）若 AA1＝AB＝3，BC＝4，且 AB⊥BC，求三棱锥 B－B1C1D 的体积． 20．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，点 A，B 是直线 x－y＋m＝0(m∈R) 与圆 O 的两个公共点，点 C 在圆 O 上． （1）若△ABC 为正三角形，求直线 AB 的方程； （2）若直线 x－y－ 3＝0 上存在点 P 满足AP→·BP→＝0，求实数 m 的取值范围． D B B1 A1 （第 19 题） C1 A C 高二期中调研 数学试卷 第 6页共 6 页 21．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，PA⊥AB，PA＝AD＝4， BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝2，→PE＝λ→PC (0≤λ＜1)． （1）若λ＝1 2 ，求直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值； （2）设二面角 B-AE-C 的大小为θ，若|cosθ|＝2 34 17 ，求λ的值． 22．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0) 的左顶点与上顶点的距离 为 2 3，且经过点(2， 2)． （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，M 是 PQ 的中点．若椭圆上存在点 N 满足 ON→＝3MO→，求证：△PQN 的面积 S 为定值． （第 21 题） P A B C D E x A O y P M Q ． （第 22 题图） 高二期中调研 数学试卷 第 7页共 6 页 南京市 2020－2021 学年度第一学期期中调研测试 高二数学参考答案 2020.11 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 2 14．－9 2 15．4π 16．y＝－ 5 36 (x－14)2，140 13 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．（本小题满分 10 分） 解：选①． 由条件① sin(A－B)＝sinB＋sinC， 在△ABC 中，A＋B＋C＝π，所以 sin(A－B)＝sinB＋sin(A＋B)， 即 sinAcosB－cosAsinB＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB， ……………… 2 分 从而 sinB＝－2cosAsinB． 因为 B 为三角形内角，所以 sinB≠0，所以 cosA＝－1 2 ． 因为 A 为三角形内角，所以 A＝2π 3 ． ……………… 4 分 在△ABC 中，因为 b＝4，c＝2， 故由正弦定理 b sinB ＝ c sinC 得 4sinC＝2sinB，即 2sinC＝sinB， 所以 sinB＝2sinC＝2sin(π 3 －B)＝ 3cosB－sinB，即 2sinB＝ 3cosB． 由 sinB≠0 知 cosB≠0，因此 tanB＝sinB cosB ＝ 3 2 ． ……………… 8 分 因为∠BAD＝π 2 ，所以 AD＝AB·tanB＝ 3． ……………… 10 分 选②． 由条件②2acosC＝2b＋c，结合余弦定理得 2a×b2＋a2－c2 2ab ＝2b＋c， 即 a2＝b2＋c2＋bc， ……………… 2 分 所以 cosA＝b2＋c2－a2 2bc ＝－1 2 ， 高二期中调研 数学试卷 第 8页共 6 页 因为 A 为三角形内角，所以 A＝2π 3 ． ……………… 4 分 在△ABC 中，因为 b＝4，c＝2， 故由正弦定理 b sinB ＝ c sinC 得 4sinC＝2sinB，即 2sinC＝sinB， 所以 sinB＝2sinC＝2sin(π 3 －B)＝ 3cosB－sinB，即 2sinB＝ 3cosB． 由 sinB≠0 知 cosB≠0，因此 tanB＝sinB cosB ＝ 3 2 ． ……………… 8 分 因为∠BAD＝π 2 ，所以 AD＝AB·tanB＝ 3． ……………… 10 分 选③． 由条件③，△ABC 的面积 S＝ 3 4 (a2－b2－c2)， 得 1 2bcsinA＝ 3 4 (－2bccosA)，即 sinA＝－ 3cosA， ……………… 2 分 因为 A 为三角形内角，所以 sinA≠0，从而 cosA≠0， 所以 tanA＝sinA cosA ＝－ 3，所以 A＝2π 3 ． ……………… 4 分 在△ABC 中，因为 b＝4，c＝2， 故由正弦定理 b sinB ＝ c sinC 得 4sinC＝2sinB，即 2sinC＝sinB， 所以 sinB＝2sinC＝2sin(π 3 －B)＝ 3cosB－sinB，即 2sinB＝ 3cosB． 由 sinB≠0 知 cosB≠0，因此 tanB＝sinB cosB ＝ 3 2 ． ……………… 8 分 因为∠BAD＝π 2 ，所以 AD＝AB·tanB＝ 3． ……………… 10 分 另解：A＝2π 3 （略） ……………… 4 分 在△ABC 中，因为 b＝4，c＝2， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝42＋22－2×4×2×cos2π 3 ＝28， 所以 a＝2 7． ……………… 6 分 由正弦定理得 a sinA ＝ b sinB ，则 sinB＝bsinA a ＝ 4×sin2π 3 2 7 ＝ 21 7 ， 又 B 为锐角，所以 cosB＝ 1－sin2B＝2 7 7 ，则 tanB＝sinB cosB ＝ 3 2 ．……… 8 分 在△ABD 中，因为∠BAD＝π 2 ， 高二期中调研 数学试卷 第 9页共 6 页 所以 AD＝AB·tanB＝ 3． ……………… 10 分 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）设 M(x，y)，圆 M 的半径为 r． 由题意知，MF＝r＋1，M 到直线 l 的距离为 r． 方法一：点 M 到点 F(2，0)的距离等于 M 到定直线 x＝－2 的距离， 根据抛物线的定义知，曲线 C 是以 F(2，0)为焦点，x＝－2 为准线的抛物线． 故曲线 C 的方程为 y2＝8x． ……………………6 分 方法二：因为 MF＝ (x－2)2＋y2＝r＋1，|x＋1|＝r，x＞－1， 所以 (x－2)2＋y2＝x＋2，化简得 y2＝8x， 故曲线 C 的方程为 y2＝8x． ……………………6 分 （2）方法一：设 P(x0，y0)，由 PA＝ 2PF， 得(x0＋2)2＋y02＝2[(x0－2)2＋y02]， ……………………8 分 又 y02＝8x0，解得 x0＝2，故 P(2，±4)， ……………………10 分 所以 kPA＝±1，从而∠PAF＝π 4 ． …………………12 分 方法二：过点 P 向直线 x＝－2 作垂线，垂足为 Q． 由抛物线定义知，PQ＝PF，所以 PA＝ 2PQ， ……………………8 分 在△APQ 中，因为∠PQA＝π 2 ， 所以 sin∠QAP＝PQ PA ＝ 2 2 ， ……………………10 分 从而∠QAP＝π 4 ，故∠PAF＝π 4 ． …………………12 分 19．（本小题满分 12 分） （1）证明：连结 B1C 交 BC1 于点 O，连结 OD． 在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，BC＝B1C1，BC∥B1C1， 所以四边形 B1BCC1 为平行四边形， 所以 O 为 B1C 中点． 又因为 D 为 AC 中点， 所以 OD 为△CB1A 的中位线， 所以 B1A∥OD． …………………3 分 又因为 B1A平面 C1BD，OD 平面 C1BD， 所以 B1A∥平面 C1BD． …………………5 分 （2）解：方法一：三棱锥 B－B1C1D 的体积就是三棱锥 D－BB1C1 的体积． …7 分 B1 （第 19 题） A1 C1 B DA C O E 高二期中调研 数学试卷 第 10页共 6 页 过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E． 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，B1B⊥平面 ABC． 因为 DE平面 ABC，所以 B1B⊥DE． 又因为 DE⊥BC，且 B1B，BC平面 B1BCC1，B1B∩BC＝B， 所以 DE⊥平面 B1BCC1，即 DE 为三棱锥 D－BB1C1 的高． ………9 分 在△ABC 中，AB＝3，BC＝4，且 AB⊥BC， 所以 AC＝ 32＋42＝5，sinC＝3 5 ， 在 Rt△DEC 中，DC＝1 2 AC＝5 2 ，所以 DE＝DC×sinC＝3 2 ． 又△BB1C1 的面积 S＝1 2 ×BB1×B1C1＝1 2 ×3×4＝6， 所以三棱锥 D－BB1C1 的体积 V＝1 3 ×S×DE＝3， 故三棱锥 B－B1C1D 的体积等于 3． ………12 分 方法二：三棱锥 B－B1C1D 的体积就是三棱锥 B1－BDC1 的体积． ………7 分 因为（1）中已证 B1A∥平面 C1BD， 所以 B1 到平面 BDC1 的距离等于 A 到平面 BDC1 的距离． 因此三棱锥 B1－BDC1 的体积等于三棱锥 A－BDC1 的体积， 即等于三棱锥 C1－ABD 的体积． 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，C1C⊥平面 ABC， 所以 C1C 为三棱锥 C1－ABD 的高． ………10 分 因为 AB＝3，BC＝4，且 AB⊥BC，S△ABC＝1 2 ×AB×BC＝6． 因为 D 是 AC 的中点，所以△ABD 的面积 S＝1 2 S△ABC＝3． 故三棱锥 C1－ABD 的体积 V＝1 3 ×S×C1C＝3， 即三棱锥 B－B1C1D 的体积等于 3． ………12 分 20．（本小题满分 12 分） 解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB＝2∠ACB＝2π 3 ，所以∠ABO＝∠BAO＝π 6 ， 所以原点 O 到直线 AB 的距离 d＝1×sinπ 6 ＝1 2 ． ………3 分 由点到直线的距离公式得|m| 2 ＝1 2 ，解得 m＝ 2 2 或－ 2 2 ． 所以直线 AB 的方程为 2x－2y＋ 2＝0 或 2x－2y－ 2＝0． ………5 分 （2）方法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)． 高二期中调研 数学试卷 第 11页共 6 页 因为AP→·BP→＝0，所以点 P 在以 AB 为直径的圆上． 记该圆圆心为(x0，y0)，则 x＝x0， y＝y0 是方程组 x＋y＝0， x－y＋m＝0的解，解得 x0＝－m 2 ， y0＝m 2 ． 故以 AB 为直径的圆的方程为(x＋m 2 )2＋(y－m 2 )2＝1－m2 2 ，其中－ 2＜m＜ 2． …9 分 又点 P 在直线 x－y－ 3 ＝0 上，即直线与圆有公共点， 所以|m＋ 3| 2 ≤ 1－m2 2 ，即 2m2＋2 3m＋1≤0． 解得－ 3＋1 2 ≤m≤1－ 3 2 ． 综上，实数 m 的取值范围是[－ 3＋1 2 ，1－ 3 2 ]． ………12 分 方法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立直线 AB 与圆 O 方程，得 x2＋y2＝1， x－y＋m＝0， 消去 y 得 2x2＋2mx＋m2－1＝0． ① 所以 x1，x2 是①的两个解， 判别式△＝(2m)2－4×2×(m2－1)＞0，即－ 2＜m＜ 2， 且 x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－1 2 ． ………7 分 设点 P(x，y)，则AP→＝(x－x1，y－y1)，BP→＝(x－x2，y－y2)． 由AP→·BP→＝0，得(x－x1) (x－x2)＋(y－y1) (y－y2)＝0， ② 将 y＝x－ 3，y1＝x1＋m，y2＝x2＋m 代入②， 整理得 2x2－2(x1＋x2＋m＋ 3)x＋2x1x2＋(m＋ 3)(x1＋x2)＋(m＋ 3)2＝0． 又 x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－1 2 ，所以 2x2－2 3x＋m2＋ 3m＋2＝0， 关于 x 的方程 2x2－2 3x＋m2＋ 3m＋2＝0 有实数解， ………10 分 因此(－2 3)2－4×2×(m2＋ 3m＋2)≥0，即 2m2＋2 3m＋1≤0， 解得－ 3＋1 2 ≤m≤1－ 3 2 ． 综上，实数 m 的取值范围是[－ 3＋1 2 ，1－ 3 2 ]． ………12 分 21．（本小题满分 12 分） 解：因为平面 PAB⊥平面 ABCD，PA⊥AB，平面 PAB∩平面 ABCD＝AB，PA平面 PAB， 所以 PA⊥平面 ABCD． 高二期中调研 数学试卷 第 12页共 6 页 因为 AD平面 ABCD，所以 PA⊥AD． 又 AB⊥AD，所以 PA，AB，AD 两两互相垂直． 以{AB→，AD→，AP→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz．…………2 分 因为 PA＝AD＝4，AB＝BC＝2， 所以 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)， D(0，4，0)，P(0，0，4)． （1）若λ＝1 2 ，即 E 为 PC 中点，则 E(1，1，2)， 所以DE→＝(1，－3，2)，AB→＝(2，0，0)，AE→＝(1，1，2)． 设平面 ABE 的一个法向量为 m＝(x1，y1，z1)， 则 m·AB→＝0， m·AE→＝0， 即 2x1＝0， x1＋y1＋2z1＝0． 令 z1＝1，得 y1＝－2， 所以平面 ABE 的一个法向量为 m＝(0，－2，1)． …………………4 分 设直线 DE 与平面 ABE 所成角为α， 则 sinα＝|cos＜DE→，m＞|＝| 6＋2 14× 5 |＝4 70 35 ． …………………6 分 （2）因为PE→＝λPC→(0≤λ＜1)，则 E(2λ，2λ，4－4λ)． 设平面 ABE 的一个法向量为 n＝(x2，y2，z2)， 则 n·AB→＝0， n·AE→＝0， 即 2x2＝0， 2λx2+2λy2+(4－4λ)z2＝0． 令 y2＝2，得 z2＝ λ λ－1 ， 所以平面 ABE 的一个法向量为 n＝(0，2， λ λ－1)． 设平面 AEC 的一个法向量为 l＝(x3，y3，z3)， 则 l·AC→＝0， l·AP→＝0， 即 2x3＋2y3＝0， 4z3＝0． 令 x3＝1，得 y3＝－1， 所以平面 AEC 的一个向量为 l＝(1，－1，0)． ……………………9 分 （或证明 CD⊥平面 PAC，从而CD→为平面 PAC 的一个法向量） 因为二面角 B-AE-C 的大小为θ，且|cosθ|＝2 34 17 ， 得|cos＜n，l＞|＝| －2 4＋( λ λ－1 )2× 2 |＝2 34 17 ，整理得 3λ2＋2λ－1＝0， 解得λ＝1 3 ，或λ＝－1(舍)．所以λ＝1 3 ． ……………12 分 y z P A B C D E x 高二期中调研 数学试卷 第 13页共 6 页 22．（本小题满分 12 分） 解：（1）椭圆 C 的左顶点(－a，0)，上顶点(0，b)． 因为左顶点与上顶点的距离为 2 3，所以 a2＋b2＝2 3，化简得 a2＋b2＝12． ① 因为椭圆经过点(2， 2)，所以 4 a2 ＋ 2 b2 ＝1，② …………2 分 由①②解得 a2＝8，b2＝4 或 a2＝6，b2＝6（舍去）， 所以椭圆 C 的方程为x2 8 ＋y2 4 ＝1． …………4 分 （2）当 PQ 斜率不存在时，N 为(±2 2，0)，PQ 方程为 x＝±2 2 3 ，易得 PQ＝8 2 3 ， 此时 S＝1 2 ×MN×PQ＝1 2 ×8 2 3 ×8 2 3 ＝64 9 ． …………5 分 当 PQ 斜率存在时，设 PQ 的方程为 y＝kx＋m (m≠0)， 联立 y＝kx＋m， x2 8 ＋y2 4 ＝1 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－4)＝0， 由△＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－4)＞0，得 0＜m2＜8k2＋4． （*） 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝－4km 1＋2k2 ，x1x2＝2(m2－4) 1＋2k2 ， 因此 PQ 的中点 M 为(－2km 1＋2k2 ， m 1＋2k2 )． 又因为ON→＝3MO→，所以 N( 6km 1＋2k2 ， －3m 1＋2k2 )， 将点 M 代入椭圆方程，得 18k2m2 4(1＋2k2)2 ＋ 9m2 4(1＋2k2)2 ＝1， 化简得 2k2＋1＝9 4m2，符合（*）式． ……………9 分 记点 O 到直线 l 的距离为 d， 则 S＝4S△OPQ＝2PQ×d＝2 1＋k2|x1－x2|×d ＝2 1＋k2×2 2× 8k2＋4－m2 1＋2k2 × |m| 1＋k2 ＝4 2|m|× 8k2＋4－m2 1＋2k2 ， 将 2k2＋1＝9 4m2 代入，得 S＝4 2|m|× 9m2－m2 9 4m2 ＝64 9 ． 综上，△PQN 的面积 S 为定值64 9 ． …………12 分