【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第3讲 函数的奇偶性及周期性学案
第 3 讲 函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，
那么函数 f(x)是偶函数
关于 y 轴对称
奇函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，
那么函数 f(x)是奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何
值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就叫做 f(x)的最小正周期．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0.( )
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )
(6)函数 f(x)在定义域上满足 f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则 f(x)是周期为 2a 的周期函数．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
定义域为 R 的四个函数 y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x 中，奇函数的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选 C．由奇函数的定义可知，y＝x3，y＝2sin x 为奇函数．
已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( )
A．－1
3 B．1
3
C．1
2 D．－1
2
解析：选 B．因为 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，
所以 a－1＋2a＝0，
所以 a＝1
3.
又 f(－x)＝f(x)，
所以 b＝0，
所以 a＋b＝1
3.
(教材习题改编)已知函数 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a
0)；
ii.若 f(x＋a)＝ 1
f(x)，则 T＝2a(a>0)；
iii.若 f(x＋a)＝－ 1
f(x)，则 T＝2a(a>0)．
(2)函数周期性的应用
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区
间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若 T
是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期．
[通关练习]
已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝
f(x)的图象在区间[0，6]上与 x 轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选 B．当 0≤x<2 时，令 f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以 y＝f(x)的图象与 x 轴交
点的横坐标分别为 x1＝0，x2＝1.
当 2≤x<4 时，0≤x－2<2，又 f(x)的最小正周期为 2，所以 f(x－2)＝f(x)，
所以 f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，
所以当 2≤x<4 时，y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x3＝2，x4＝3.
同理可得，当 4≤x<6 时，y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x5＝4，x6＝5.
当 x7＝6 时，也符合要求．
综上可知，共有 7 个交点．
函数性质的综合应用(高频考点)
函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命
题，常以选择题或填空题的形式考查，为中高档题．主要命题角度有：
(1)函数的奇偶性与单调性相结合；
(2)函数的奇偶性与周期性相结合；
(3)函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题．
[典例引领]
角度一 函数的奇偶性与单调性相结合
已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足
f(2|a－1|)＞f(－ 2)，则 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1
2) B．(－∞，1
2)∪(3
2，＋∞)
C．(1
2，3
2) D．(3
2，＋∞)
【解析】 由 f(x)是偶函数得 f(－ 2)＝f( 2)，再由偶函数在对称区间上单调性相反，
得 f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以由 2|a－1|＜ 2，得|a－1|＜1
2，即1
2＜a＜3
2.
【答案】 C
角度二 函数的奇偶性与周期性相结合
(2017·高考山东卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当
x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则 f(919)＝________．
【解析】 因为 f(x＋4)＝f(x－2)，所以 f(x)的周期为 6，因为 919＝153×6＋1，
所以 f(919)＝f(1)．又 f(x)为偶函数，所以 f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
【答案】 6
角度三 函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题
已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，
则( )
A．f(－25)0 的 x
的集合为________．
解析：由奇函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且 f(1
2 )＝0，得函数 y＝f(x)在(－∞，0)
上递增，且 f(－1
2 )＝0，
所以 f(x)>0 时，x>1
2或－1
20 的 x 的集合为{x|－1
2 < x < 0或x > 1
2}.
答案：{x|－1
2 < x < 0或x > 1
2}
7．已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f(x)－g(x)＝ (1
2 )x
，则
f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．
解析：在 f(x)－g(x)＝(1
2 )x
中，用－x 替换 x，得 f(－x)－g(－x)＝2x，
由于 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，
所以 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
因此得－f(x)－g(x)＝2x.
联立方程组解得 f(x)＝2－x－2x
2 ，g(x)＝－2－x＋2x
2 ，
于是 f(1)＝－3
4，g(0)＝－1，
g(－1)＝－5
4，
故 f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
8．已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；
当 x>1
2时，f(x＋1
2 )＝f(x－1
2 ).则 f(6)＝________.
解析：当 x>0 时，x＋1
2>1
2，所以 f(x＋1
2＋1
2)＝f(x＋1
2－1
2)，即 f(x＋1)＝f(x)，所以 f(6)＝f(5)
＝f(4)＝…＝f(1)＝－f(－1)＝2.
答案：2
9．设 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且 f(x)是奇函数，当 x>0 时，f(x)＝ x
1－3x.
(1)求当 x<0 时，f(x)的解析式；
(2)解不等式 f(x)<－x
8.
解：(1)因为 f(x)是奇函数，
所以当 x<0 时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，
又因为当 x>0 时，f(x)＝ x
1－3x，
所以当 x<0 时，f(x)＝－f(－x)＝－
－x
1－3－x＝ x
1－3－x.
(2)f(x)<－x
8，当 x>0 时，即 x
1－3x<－x
8，
所以 1
1－3x<－1
8，所以 1
3x－1>1
8，所以 3x－1<8，
解得 x<2，所以 x∈(0，2)．
当 x<0 时，即 x
1－3－x<－x
8，
所以 1
1－3－x>－1
8，
所以 3－x>32，所以 x<－2，
所以解集是(－∞，－2)∪(0，2)．
10．已知函数 f(x)＝{－x2＋2x，x＞0，
0，x＝0，
x2＋mx，x＜0
是奇函数．
(1)求实数 m 的值；
(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．
解：(1)设 x＜0，则－x＞0，
所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又 f(x)为奇函数，
所以 f(－x)＝－f(x)，
于是 x＜0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以 m＝2.
(2)由(1)知 f(x)在[－1，1]上是增函数，要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合 f(x)的图象知{a－2＞－1，
a－2 ≤ 1，
所以 1＜a≤3，故实数 a 的取值范围是(1，3]．
1．(2018·成都第二次诊断检测)已知函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[－2，2]时，f(x)单调
递减，且函数 f(x＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )
A．f(π)0 在
[－1，3]上的解集为( )
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
解析：选 C．f(x)的图象如图．
当 x∈[－1，0)时，由 xf(x)>0，得 x∈(－1，0)；
当 x∈[0，1)时，由 xf(x)>0，得 x∈∅；
当 x∈[1，3]时，由 xf(x)>0，得 x∈(1，3)．
故 x∈(－1，0)∪(1，3)．
4．已知函数 f(x)＝asin x＋b3 x＋4，若 f(lg 3)＝3，则 f(lg
1
3 )＝________.
解析：由 f(lg 3)＝asin(lg 3)＋b3 lg 3＋4＝3 得 asin(lg 3)＋b3 lg 3＝－1，而 f(lg
1
3 )＝
f(－lg 3)＝－asin(lg 3)－b3 lg 3＋4＝－[asin(lg 3)＋b3 lg 3]＋4＝1＋4＝5.
答案：5
5．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x.
(1)求 f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成的图形的面积．
解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数．
所以 f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由 f(x)是奇函数与 f(x＋2)＝－f(x)，
得 f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即 f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．
又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所
示．
设当－4≤x≤4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S＝4S △ OAB ＝4×
(1
2 × 2 × 1)＝4.
6．函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对于任意 x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋
f(x2)．
(1)求 f(1)的值．
(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论．
(3)如果 f(4)＝1，f(x－1)＜2，且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．
解：(1)因为对于任意 x1，x2∈D，
有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令 x1＝x2＝1，得 f(1)＝2f(1)，所以 f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
令 x1＝x2＝－1，有 f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以 f(－1)＝1
2f(1)＝0.
令 x1＝－1，x2＝x 有 f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)为偶函数．
(3)依题设有 f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以 f(x－1)＜2，等价于 f(|x
－1|)＜f(16)．又 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以 0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17 且 x≠1.
所以 x 的取值范围是{x|－15＜x＜17 且 x≠1}．
