【数学】2019届一轮复习人教A版10-3　二项式定理

【数学】2019届一轮复习人教A版10-3　二项式定理

‎10.3　二项式定理 ‎ [知识梳理]‎ ‎1．二项式定理 ‎2．二项式系数的性质 ‎3．常用结论 ‎(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎(3)C＋‎2C＋‎3C＋…＋nC＝n2n－1.‎ ‎(4)CC＋CC＋…＋CC＝C.‎ ‎(5)(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a＋b)2n中系数最大的项是第n项．(　　)‎ ‎(3)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　)‎ ‎(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(选修A2－3P30例1)6的展开式的常数项为(　　)‎ A．－192x2 B．240x C．－160 D. 答案　C 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r(r＝1,2，…，6)，所以当r＝3时为常数项，此时T4＝－23×C＝－160，故选C.‎ ‎(2)(选修A2－3P31例2)二项式10的展开式中系数最大的项为(　　)‎ A．第六项 B．第五项和第六项 C．第五项和第七项 D．第六项和第七项 答案　C 解析　二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－r(－x－)r＝(－1)rC·x10－r，每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C，但第六项系数为－C，显然不是最大的．又因第五项和第七项的系数相等且为C＝C，再由二项式系数的增减性规律可知选C.‎ ‎3．小题热身 ‎(1)(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)‎ A．－80 B．－‎40 C．40 D．80‎ 答案　C 解析　因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，‎ x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.‎ 所以x3y3的系数为80－40＝40.‎ 故选C.‎ ‎(2)(2017·山东高考)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.‎ 答案　4‎ 解析　(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r.令r＝2，得T3＝‎9Cx2.由题意得‎9C＝54，解得n＝4.‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 题型1　二项展开式 角度1　求二项展开式中的特定项或系数 　　(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)‎ 答案　10‎ 解析　Tr＋1＝C(2x)5－r·()r＝25－rC·x5－，令5－＝3，得r＝4，∴T5＝10x3，∴x3的系数为10.‎ 角度2　已知二项展开式某项的系数求参数 　　(2015·湖南高考)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)‎ A. B．－ C．6 D．－6‎ 答案　D 解析　5的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·r＝(－a)rC·x.‎ 依题意，令5－2r＝3，得r＝1，‎ ‎∴(－a)1·C＝30，a＝－6，故选D.‎ 角度3　多项展开式 　　(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．‎20 C．30 D．60‎ 答案　C 解析　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为CC＝30，故选C.‎ 方法技巧 ‎1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 ‎(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．‎ ‎(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.‎ ‎(3)代回通项得所求．见角度1典例．‎ ‎2．求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法 ‎(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解．见角度3典例．‎ ‎(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏．见冲关针对训练2.‎ ‎(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可．‎ 冲关针对训练 ‎1．(2014·湖北高考)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)‎ A．2 B. C．1 D. 答案　C 解析　Tr＋1＝C·(2x)7－r·r＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故选C.‎ ‎2．(2014·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ 答案　－20‎ 解析　由二项展开式公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝C－C＝8－28＝－20.‎ 题型2　二项式系数的性质或各项系数的和 　　(2015·湖北高考)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)‎ A．212 B．‎211 C．210 D．29‎ 答案　D 解析　∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C，C，∴C＝C，得n＝10.‎ 对(1＋x)10，‎ 令x＝1，得(1＋1)10＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝210，①‎ 令x＝－1，得(1－1)10＝C－C＋C－…＋C＝0，②‎ 利用①＋②可得2×(C＋C＋…＋C)＝210，‎ ‎∴奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.故选D.‎ 　　已知n的展开式中前三项x的系数为等差数列，则二项式系数最大项为________．‎ 答案　x 解析　∵C＝1，C＝，C2＝n(n－1)，‎ 由题设可知2·＝1＋n(n－1)，n2－9n＋8＝0，‎ 解得n＝8或n＝1(舍去)．‎ 所以二项式系数的最大项为C4＝x.‎ ‎[结论探究]　典例2中条件不变，试求展开式中系数最大的项．‎ 解　设第r＋1项的系数Tr＋1最大，显然Tr＋1>0，‎ 故有≥1且≤1，‎ ‎∵＝＝，‎ 由≥1，得r≤3.‎ 又∵＝＝，‎ 由≤1，得r≥2.‎ ‎∴r＝2或r＝3，所求项为T3＝7x和T4＝7x.‎ 方法技巧 ‎1．赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或‎0”‎，有时也取其他值．如：‎ ‎(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．‎ ‎(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．见典例1.‎ ‎2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 ‎(1)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)．‎ ‎(2)奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝.‎ ‎(3)偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝.‎ 冲关针对训练 ‎1．设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若‎13a＝7b，则m＝(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ 答案　B 解析　由题意得a＝C，b＝C，所以‎13C＝‎7C，∴＝，∴＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，故选B.‎ ‎2．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.‎ 答案　10‎ 解析　解法一：(通法)将f(x)＝x5进行转化，利用二项式定理求解．‎ f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，‎ ‎∴a3＝10.‎ 解法二：(赋值法)对等式f(x)＝x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5两边连续对x求导三次得：60x2＝‎6a3＋‎24a4(1＋x)＋‎60a5(1＋x)2，再令x＝－1得60＝‎6a3，即a3＝10.‎ 题型3　二项式定理的应用 　　(1)求证：n∈N且n≥3时，2n－1≥n＋1；‎ ‎(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除；‎ ‎(3)计算1.056.(精确到0.01)‎ 解　(1)证明：n≥3时，2n＝(1＋1)n ‎＝1＋n＋C＋…＋n＋1≥2＋2n，∴2n－1≥n＋1.‎ ‎(2)证明：原式＝(1＋8)n＋1－8n－9‎ ‎＝1＋C81＋C82＋…＋C8n＋1－8n－9‎ ‎＝C82＋C83＋…＋C8n＋1‎ ‎＝64(C＋C8＋…＋C8n－1)．‎ ‎∵C，C，…，C均为自然数，上式各项均为64的整数倍，‎ ‎∴32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．‎ ‎(3)1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋…＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34.‎ 方法技巧 二项式定理应用的常见题型及求解策略 ‎1．整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项．见本典例(2)．‎ ‎2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．‎ ‎3．(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，达到证明不等式的目的．见本典例(1)．‎ ‎4．利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1＋x)n≈1＋nx＋x2.见本典例(3)．‎ 冲关针对训练 ‎1－‎90C＋‎902C－‎903C＋…＋(－1)k·90kC＋…＋‎9010C除以88的余数是(　　)‎ A．－1 B．‎1 C．－87 D．87‎ 答案　B 解析　1－‎90C＋‎902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋‎9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.故选B.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)‎ A．15 B．‎20 C．30 D．35‎ 答案　C 解析　因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.‎ 因为C＋C＝‎2C＝2×＝30，所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.‎ ‎2．(2018·山西四校联考)若n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ 答案　C 解析　Tr＋1＝C(x6)n－rr＝Cx6n－r，当Tr＋1是常数项时，6n－r＝0，即n＝r，又n∈N*，故当r＝4时，n的最小值为5，故选C.‎ ‎3．(2018·福建漳州模拟)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为(　　)‎ A．－20 B．‎0 C．1 D．20‎ 答案　D 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.故选D.‎ ‎4．(2017·浙江高考)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.‎ 答案　16　4‎ 解析　a4是x项的系数，由二项式的展开式得 a4＝C·C·2＋C·C·22＝16；‎ a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C·C·22＝4.‎ ‎ [基础送分 提速狂刷练]‎ 一、选择题 ‎1．(2018·广东测试)6的展开式中，常数项是(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　Tr＋1＝C(x2)6－rr＝rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.∴常数项为‎4C＝.故选D.‎ ‎2．(2018·福建厦门联考)在10的展开式中，x2的系数为(　　)‎ A．10 B．‎30 C．45 D．120‎ 答案　C 解析　因为10＝10＝(1＋x)10＋C(1＋x)9＋…＋C10，所以x2只出现在(1＋x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C＝45.故选C.‎ ‎3．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)‎ A．－4 B．－‎3 C．－2 D．－1‎ 答案　D 解析　由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C·xr，所以当r＝2时，(1＋ax)(1＋x)5的展开式中相应x2的系数为C，当r＝1时，相应x2的系数为C·a，所以C＋C·a＝5，a＝－1，故选D.‎ ‎4．(2018·河南百校联盟模拟)(3－2x－x4)(2x－1)6的展开式中，含x3项的系数为 (　　)‎ A．600 B．‎360 C．－600 D．－360‎ 答案　C 解析　由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x3项的系数为3×C23(－1)3－2×C22(－1)4＝－600.故选C.‎ ‎5．若5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为(　　)‎ A．－40 B．－‎20 C．20 D．40‎ 答案　D 解析　令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.‎ ‎∴5的通项为Tr＋1＝C·(2x)5－r·r＝(－1)r·25－r·C·x5－2r.‎ 令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.‎ ‎∴展开式的常数项为(－1)2×23·C＋(－1)3·22·C＝80－40＝40.故选D.‎ ‎6．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)‎ A．－7 B．‎7 C．－28 D．28‎ 答案　B 解析　由题意知n＝8，‎ Tr＋1＝C·8－r·r＝(－1)r·C··＝(－1)r·C·，‎ 由8－r－＝0，得r＝6.‎ ‎∴T7＝C·＝7，即展开式中的常数项为T7＝7.故选B.‎ ‎7．(2018·石家庄模拟)若9(a∈R)的展开式中x9的系数是－，则sinxdx的值为(　　)‎ A．1－cos2 B．2－cos‎1 C．cos2－1 D．1＋cos2‎ 答案　A 解析　由题意得Tr＋1＝C·(x2)9－r·(－1)r·r＝(－1)r·C·x18－3r·，令18－3r＝9，得r＝3，所以－C·＝－，解得a＝2.所以sinxdx＝(－cosx)＝－cos2＋cos0＝1－cos2.故选A.‎ ‎8．设a∈Z，且0≤a<13，若512018＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．‎1 C．11 D．12‎ 答案　D 解析　512018＋a＝(52－1)2018＋a＝522018＋C·522017·(－1)＋…＋C×52×(－1)2017＋1＋a，‎ ‎∵522018能被13整除，∴只需a＋1能被13整除即可，∴a＝12.故选D.‎ ‎9．(2018·合肥质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2·(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为(　　)‎ A．1或－3 B．－1或3‎ C．1 D．－3‎ 答案　A 解析　令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)‎9m9＝39，即m2＋‎2m＝3，解得m＝1或m＝－3.故选A.‎ ‎10．(2017·淮北模拟)已知在n的展开式中，第6‎ 项为常数项，则展开式中所有的有理项共有(　　)‎ A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 答案　C 解析　Tr＋1＝Cxr＝Crx，由第6项为常数项 ，得当r＝5时，＝0，得n＝10.令＝k∈Z，则10－2r＝3k，即r＝5－k，故k应为偶数．又0≤r≤10，故k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.‎ 二、填空题 ‎11．(2014·安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.‎ 答案　3‎ 解析　根据题意知a0＝1，a1＝3，a2＝4，结合二项式定理得即解得a＝3.‎ ‎12．若6的展开式中x3的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．‎ 答案　2‎ 解析　因为二项式6展开后第k项为C·(ax2)7－kk－1＝Ca7－kbk－1x15－3k，所以当k＝4时，可得x3的系数为‎20a3b3，即‎20a3b3＝20，得ab＝1.故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，此时a2＋b2取得最小值2.‎ ‎13．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.‎ 答案　120‎ 解析　∵(1＋x)6展开式的通项公式为Tr＋1＝Cxr，(1＋y)4展开式的通项公式为Th＋1＝Cyh，∴(1＋x)6(1＋y)4展开式的通项可以为CCxryh.‎ ‎∴f(m，n)＝CC.‎ ‎∴f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C＋CC＋CC＋C＝20＋60＋36＋4＝120.‎ ‎14．(2017·江西赣州十四县联考)若n的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足‎4A＝9(C－B)，则展开式中x2的系数为________．‎ 答案　 解析　易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9，即n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍)．在8中，因为通项Tr＋1＝Cx8－r·r＝x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为.‎ 三、解答题 ‎15．(2018·三亚模拟)已知fn(x)＝(1＋x)n.‎ ‎(1)若f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019，求a1＋a3＋…＋a2017＋a2019‎ 的值；‎ ‎(2)若g(x)＝f6(x)＋‎2f7(x)＋‎3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．‎ 解　(1)因为fn(x)＝(1＋x)n，‎ 所以f2019(x)＝(1＋x)2019，‎ 又f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019，‎ 所以f2019(1)＝a0＋a1＋…＋a2019＝22019，①‎ f2019(－1)＝a0－a1＋…＋a2017－a2019＝0，②‎ ‎①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017＋a2019)＝22019，‎ 所以a1＋a3＋…＋a2017＋a2019＝22018.‎ ‎(2)因为g(x)＝f6(x)＋‎2f7(x)＋‎3f8(x)，‎ 所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8.‎ g(x)中含x6项的系数为C＋‎2C＋‎3C＝99.‎ ‎16．已知n，‎ ‎(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 解　(1)因为C＋C＝‎2C，所以n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.‎ ‎∴T4的系数为C423＝，‎ T5的系数为C324＝70.‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，‎ ‎∴T8的系数为C727＝3432.‎ ‎(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0，‎ ‎∴n＝12或n＝－13(舍去)．‎ 设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵12＝12(1＋4x)12，‎ ‎∴ 解得≤k≤.‎ ‎∵k∈N，∴k＝10，∴展开式中系数最大的项为T11，‎ T11＝C·2·210·x10＝16896x10.‎