【数学】2019届一轮复习苏教版矩阵与变换学案

【数学】2019届一轮复习苏教版矩阵与变换学案

讲练测之核心热点 【江苏版】 热点二十三 矩阵与变换 【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】 例 1 【2013 江苏高考】已知矩阵 ， ，求矩阵 . 设矩阵 的逆矩阵为 ，则 ，即 ， ∴ ， ， ， ，从而， 的逆矩阵为 ， ∴ . 例 2 【2014 江苏高考】 已知矩阵 ，向量 ， 是实数，若 ，求 的值. 库 iyuan u 【答案】 【解析】由题意得 ，解得 .∴ . 例 3 【2015 江苏高考】已知 ，向量 是矩阵 的属性特征值 的一个特征向量，矩阵 以及它的另一个特征值. 【答案】 ,另一个特征值为 ． 【解析】 试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于 x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵 另一个特征值 A = 1 0 −  0 2   B = 0 1   2 6   1A B− A a c   b d   1 0 −  0 2   a c   b d  = 1 0   0 1   2 a c −  1 2 0 b d −  =   0 1   1a = 0b = 0c = 1 2d = A 1 1 0 A− − =   0 1 2     1 1 0 A B− − =   0 1 2     1 0   2 6  = 1 0 −  2 3 −   1 2 1 1,1 2 1A Bx −   = =   −    2a y  =     ,x y Aa Ba=  x y+ 7 2 2 2 2 2 4 y y xy y − + = +  + = − 1 2 4 x y  = −  = 7 2x y+ = Ryx ∈,     −= 1 1α     = 0 1 y xA 2− A 1 1 2 0 − Α =    1 试题解析：由已知，得 ，即 ， 则 ，即 ，所以矩阵 ． 从而矩阵 的特征多项式 ，所以矩阵 的另一个特征值为 ． 【热点深度剖析】 1. 江苏高考中，主要考查的是如何求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，其落脚点是对运 算能力的考查，当然不能忽视对特征值和特征向量的复习. 2. 加强训练，提高推理和运算能力. 矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，会将 矩阵语言转化为数学符号，利用特征值和特征向量或其他矩阵工具解决实际问题. 3. 预计 16 年逆矩阵是考查重点内容，出特征值和特征向量的可能性较大. 【最新考纲解读】 要 求 备注 内 容 A　　B　　C　　 矩阵的概念　　 √ 　　 　 　 二阶矩阵与平面向量　　　 　 √ 　　 常见的平面变换　　 √ 　 　　 　 　 矩阵的复合与矩阵的乘 法　　 　 　 √ 　　 　 　 矩阵与 变换　　 二阶逆矩阵　　 　 √ 　　 　 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层 次（在表中分别用 A、B、C 表示）. 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解 决相关的简单问题. 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一 定综合性的问题. 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合 性较强的或较为困难的问题. 2α αΑ = −  1 1 1 2 0 1 2 x x y y − −       = =       −        1 2 2 x y − = −  = 1 2 x y = −  = 1 1 2 0 − Α =    Α ( ) ( )( )2 1f λ λ λ= + − Α 1 　 　 二阶矩阵的特征值与特 征向量　　 　 　 √ 　　 　 　 二阶矩阵的简单应用　　　 　 √ 　　 　 　 【重点知识整合】 1．乘法规则 (1)行矩阵与列矩阵[b11 b21 ]的乘法法则： [b11 b21 ]＝． (2)二阶矩阵[a11　a12 a21　a22]与列向量[x0 y0 ]的乘法规则： [a11　a12 a21　a22][x0 y0 ]＝[a11x0＋a12y0 a21x0＋a22y0]. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下： [a11　a12 a21　a22][b11　b12 b21　b22]＝[a11b11＋a12b21　a11b12＋a12b22 a21b11＋a22b21　a21b12＋a22b22]. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB)C＝A(BC)． (5)A Al＝A ＋l，(A )l＝A l(其中 ，l∈N*)． 2．常见的平面变换 (1)恒等变换：因为[1　0 0　1 ][x y ]＝[x y ]，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵 [1　0 0　1 ]表示恒等变换． (2)反射变换：因为[－1　0 0　 1][x y ]＝[－x y ]，该变换把点(x，y)变成(－x，y)，故矩 阵[－1　0 0　 1]表示关于 y 轴的反射变换；类似地，[1　0 0　－1]，[0， 1 1　0 ]，[0， －1 －1　0 ]分别表示关 于 x 轴、直线 y＝x 和直线 y＝－x 的反射变换． (3)伸缩变换：因为[1　0 0　k ][x y ]＝[x ky ]，该变换把点(x，y)变成点(x，y)，在此 变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的 倍，故矩阵[1， 0 0　k ]表示 y 轴方向上的伸缩 变换；类似地，矩阵[s　0 0　1 ]可以用来表示水平伸缩变换． (4)旋转变换：把点 A(x，y)绕着坐标原点逆时针旋转 α 角的变换，对应的矩阵是 [cos α　－sin α sin α　cos α ]. (5)切变变换：[1　s 0　1 ][x y ]＝[x＋sy y ]表示的是沿 x 轴的切变变换．沿 y 轴的切变变 换对应的矩阵是[1　0 t　1 ]. (6)投影变换：[1　0 0　0 ][x y ]＝[x 0 ]，该变换把所有横坐标为 x 的点都映射到了点 (x,0)上，因此矩阵[1　0 0　0 ]表示的是 x 轴上的投影变换．类似地，[0　0 0　1 ]表示的是 y 轴上 的投影变换． 3．逆变换与逆矩阵 (1)逆变换：设 ρ 是一个线性变换，如果存在线性变换 σ，使得 σρ＝ρσ＝1，则称 变换 ρ 可逆，并且称 σ 是 ρ 的逆变换． (2)逆矩阵：设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵 B，使得 BA＝AB＝E2，则称矩阵 A 可逆，或称矩阵 A 是可逆矩阵，并且称 B 是 A 的逆矩阵． (3)逆矩阵的性质 性质①：设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的． 性质②：设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1. (4)定理：二阶矩阵 A＝[a　b c　d ]可逆，当且仅当 det A＝ad－bc≠0. 4．逆矩阵与二元一次方程组 (1)定理：如果关于变量 x，y 的二元一次方程组(线性方程组)Error!的系数矩阵 A＝ [a　b c　d ]可逆，那么该方程组有唯一解[x y ]＝[a　b c　d ]－1[e f ]. (2)推论：关于变量 x，y 的二元一次方程组Error!其中 a，b，c，d 是不全为零的常数， 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式|a　b c　d |＝0. 5．特征值和特征向量 设矩阵 A＝[a　b c　d ]，如果存在数 λ 以及非零向量 ξ，使得 Aξ＝λξ，则称 λ 是矩 阵 A 的一个特征值，ξ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量． 6．特征向量的性质 设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1， λ2 的特征向量，对于任意的非零平面向量 α，设 α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2 为实数)，则对 任意的正整数 n，有 Anα＝t1λn1ξ1＋t2λn2ξ2. 【应试技巧点拨】 1 通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求 曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用． 2．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 3．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 4. 曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法 求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式． 5．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法： 设 A 是一个二阶可逆矩阵[a　b c　d ]，AB＝BA＝E2； (2)公式法： |A|＝|a　b c　d |＝ad－bc，有 A－1＝[ d |A|　 －b |A| －c |A|　 a |A| ]， 当且仅当|A|≠0； 6．求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵 M＝[a　b c　d ]的特征值 λ 满足(λ－a)(λ－d)－bc＝0，属于 λ 的特征向量 a＝ [x y ]满足 M[x y ]＝λ[x y ]. (2)求特征向量和特征值的步骤： ①解 f(λ)＝|λ－a　－b －c　λ－d|＝0 得特征值； ②解Error!⇔(λ－a)x－by＝0，取 x＝1 或 y＝1，写出相应的向量． 【考场经验分享】 1.目标要求：主要考查的是如何求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，其落脚点是对运算能 力的考查 2.注意问题：(1)二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视 AB≠BA，AB＝AC⇒/ B＝C，但满足 (AB)C＝A(BC)． (2)易混淆绕原点逆时针旋转 90°的变换与绕原点顺时针旋转 90°的变换．(3)在变换时一 定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆． 3.经验分享：矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变 换的一次或多次的复合． 【名题精选练兵篇】 1．【泰州市 2016 届高三第一次模拟考试】（矩阵与变换，本题满分 10 分）已知矩阵 的一个特征值为 ,求 . 【答案】 2．【苏州市 2016 届高三年级第一次模拟考试】选修 4 − 2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知二阶矩阵 M 有特征值 =3 及对应的一个特征向量 ，并且矩阵 M 对应的变 换将点(-1,2)变换成(9,15) ，求矩阵 M. 【答案】 【解析】 试题分析：列方程组 ， 解得 试题解析：解：设 ,则 ,故 ………………… 3 分 1 2 5 2 M x −   =     2− 2M 2 6 4 5 14M  =    λ 1 1 1  =   e 1 4 3 6 −   −  1 1 331 1 3 a b c d        = =               1 9 2 15 a b c d −     =           1, 4, 3, 6a b c d= − = = − = a b c d  =   M 1 1 331 1 3 a b c d        = =               3, 3 a b c d =  = + + ． ,故 …………………………………6 分 联立以上两方程组解得 ,故 = . …………………10 分 3．【南京市、盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试数学】（选修 4—2：矩阵与变换） 设矩阵 的一个特征值为 ，若曲线 在矩阵 变换下的方程为 ， 求曲线 的方程. 【答案】 【解析】 4．【镇江市 2016 届高三年级第一次模拟考试】选修 4—2：矩阵与变换 求矩阵[3　1 1　3 ]的特征值及对应的特征向量． 【答案】属于 λ1＝2 的一个特征向量为[1 －1 ]，属于 λ1＝4 的一个特征向量为[1 1 ]． 【解析】特征多项式 f(λ)＝|λ－3 －1 －1 λ－3|＝(λ－3)2－1＝λ2－6λ＋8(3 分) 由 f(λ)＝0，解得 λ1＝2，λ2＝4(6 分) 将 λ1＝2 代入特征方程组，得{－x－y＝0， －x－y＝0 ⇒x＋y＝0，可取[1 －1 ]为属于特征值 λ1＝2 的一个特征向量(8 分) 同理，当 λ2＝4 时，由{x－y＝0， －x＋y＝0⇒x－y＝0， 1 9 2 15 a b c d −     =           2 9, 2 15 a b c d − = − = + + ． 1, 4, 3, 6a b c d= − = = − = M 1 4 3 6 −   −  0 2 1 a =   M 2 C M 2 2 1x y+ = C 2 28 4 1x xy y+ + = 所以可取[1 1 ]为属于特征值 λ2＝4 的一个特征向量． 综上所述，矩阵[ 2 1 1 2 ]有两个特征值 λ1＝2，λ2＝4； 属于 λ1＝2 的一个特征向量为[1 －1 ]，属于 λ1＝4 的一个特征向量为[1 1 ]，(10 分) 5．【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三第二次调研】（本小题满分 10 分） 已知矩阵 ，求矩阵 的特征值和特征向量． 【答案】属于特征值 的一个特征向量 属于特征值 的一个特征向量 试题解析：矩阵 的特征多项式为 ， ……………2 分 由 ，解得 ， . …………………………………………4 分 当 时，特征方程组为 故属于特征值 的一个特征向量 ；………………………………7 分 当 时，特征方程组为 故属于特征值 的一个特征向量 ． …………………………10 分 6．【扬州市 2015—2016 学年度第一学期期末检测试题】已知直线 在矩阵 1 2 1 4A  =  −  A 1 2λ = 1 2 1 α  =    2 3λ = 2 1 1 α  =    A ( ) 21 2 5 61 4f λλ λ λλ − −= = −− + ( ) 0f λ = 1 2λ = 2 3λ = 1 2λ = 2 0, 2 0, x y x y − =  − = 1 2λ = 1 2 1 α  =    2 3λ = 2 2 0, 0, x y x y − =  − = 2 3λ = 2 1 1 α  =    1=+ yxl： 对应的变换作用下变为直线 ，求矩阵 . 【答案】 7．【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分) 已知矩阵 （1）求 ； （2）满足AX＝ 二阶矩阵X 【答案】(1) ； (2) ． 【解析】 试题分析：可用解方程组的方法求逆矩阵及二阶矩阵堕落 ． 试题解析：（1）设 ，则有 得 ，解得 ，即    = 10 nmA 1=−′ yxl ： A 1 2 0 1A  =    3 1 2 2 2 1    =     A 1−A 1−A 1 2 1 4 3A− − =  −  8 5 20 13X − =  −  X 1 a bA c d −  =    1AA E− = 3 1 12 2 3 1 02 2 2 0 2 1 a c b d a c b d  + =   + =  + =  + = 2 1 4 3 a b c d =  = − = −  = ． （2）设 ，则由 得 ，解得 ，即 ． 8．【连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 一模】.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知 ，矩阵 所对应的变换 将直线 变换为自身,求 a,b 的值。 【答案】 【解析】 试题分析：利用相关点法列等量关系：设直线 上任意一点 在变换 的 作用下变成点 ，由 ，得 ， 与 重合，解得 试题解析：设直线 上任意一点 在变换 的作用下变成点 ， WWW. iyuan u 由 ，得 ，……………………………………………4 分 因为 在直线 上， 所以 ，即 ， ……………………6 分 又因为 在直线 上，所以 ．……………………8 分 因此 解得 . ………………………………………10 分 1 2 1 4 3A− − =  −  e fX g h  =    1AX A−= 3 1 22 2 3 1 12 2 2 4 2 3 e g f h e g f h  + =   + = −  + = −  + = 8 5 20 13 e f g h =  = − = −  = 8 5 20 13X − =  −  ,a b R∈ 1 3 aA b − =    AT 1 0x y− − = 2,2 −== ba 01 =−− yx ( )P x y， TA ( )P x y′ ′ ′， 1 3 a x x b y y ′−     =     ′      , 3 . x x ay y bx y ′ = − +  ′ = + 01)3()1 =−−+−− yaxb（ 01 =−− yx 2,2 −== ba 01 =−− yx ( )P x y， TA ( )P x y′ ′ ′， 1 3 a x x b y y ′−     =     ′      , 3 . x x ay y bx y ′ = − +  ′ = + ( )P x y′ ′ ′， 01 =−− yx 1 0x y¢ ¢- - = 01)3()1 =−−+−− yaxb（ ( )P x y， 01 =−− yx 01 =−− yx 1 1, 3 1. b a ì- - =ïïíï - =-ïî 2,2 −== ba 9．【扬州 2015 一模】在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线 在矩阵 对应的变换作 用下得到曲线 ，求曲线 的方程. 【答案】 【解析】 试题分析：实质为转移法求轨迹：设 是曲线 上任意一点，点 在矩阵 对 应的变换下变为点 ，则有 ，即 ， 试题解析：设 是曲线 上任意一点，点 在矩阵 对应的变换下变为点 则有 ，即 ……5 分 又因为点 曲线 上， 故 ，从而 所以曲线 的方程是 ． ……10 分. 10．【南京盐城 2015 一模】B．（选修 4—2：矩阵与变换）（本题满分 10 分） 1C 1 0 10 2 A    =     2 2 2 : 14 xC y+ = 1C 2 2 4x y+ = ( , )P x y 1C ( , )P x y A ( , )P x y′ ′ ′ 1 0 10 2 x x y y  ′    =    ′     1 2 x x y y ′ = ′ = 2 2( ) ( ) 14 x y ′ ′+ = 2 2( ) ( ) 14 2 x y∴ + = 2 2 4x y+ = ( , )P x y 1C ( , )P x y A ( , )P x y′ ′ ′ 1 0 10 2 x x y y  ′    =    ′     1 2 x x y y ′ = ′ = ( , )P x y′ ′ ′ 2 2 2 : 14 xC y+ = 2 2( ) ( ) 14 x y ′ ′+ = 2 2( ) ( ) 14 2 x y+ = 1C 2 2 4x y+ = 求直线 在矩阵 的变换下所得曲线的方程 【答案】 【解析】 试题分析：利用转移法求曲线方程，先设所求曲线上任意一点的坐标为 ，在矩阵 对应的变换作用下对应点的坐标为 ，由 ，解得 ， 再代入 中，化简可得所求曲线方程为 . 11．【镇江 2015 一模】(选修 4-2：矩阵与变换) 已知矩阵 ，试求曲线 在矩阵 变换下的函数解析式. 【答案】 【解析】 试题分析：问题实质为利用转移法求动点轨迹：因为 MN = = ， ， ，所以 ， 1 0x y− − = 2 2 2 2 2 2 2 2 M  −   =      2 2x = ( , )x y M ),( yx ′′ 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x x y y  ′ ′− =  ′ ′+ = 2 ( )2 2 ( )2 x x y y y x  ′ = +  ′ = − 1 0x y′ ′− − = 2 2x =         =   = 10 02 1 ,20 01 NM xy sin= MN 2sin 2y x= 1 0 0 2      1 02 0 1         1 02 0 2         1 02 0 2 x x y y  ′   =   ′    1 , 22x x y y′ ′= = 1 sin 22 y x′ ′= 2sin 2y x= iyuan u 试题解析：MN = = ， ……4 分 即在矩阵 MN 变换下 ， ……6 分 ， ……8 分 iyuan u 代入得： ， 即曲线 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 ． ……10 分 考点：矩阵变换 12．【泰州 2015 一模】（本小题满分 10 分，矩阵与变换） iyuan u 已知矩阵 ， ，若矩阵 对应的变换把直线 变为直线 ，求直线 的方程． 【答案】 【解析】 试题分析：从求轨迹方法出发：先设直线 上任意一点 在矩阵 对应的变换下为点 再求 ，所以 ， ， 13.【苏州 2015 一模】选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 1 0 0 2      1 02 0 1         1 02 0 2         1 102 2 0 2 2 x x x x y y y y   ′       → = =       ′        1 , 22x x y y′ ′= = 1 sin 22 y x′ ′= siny x= 2sin 2y x= 1 0 0 2A  =    1 2 0 1B  =    1AB− l : 2 0l x y′ + − = l : 2l x = l ( , )x y 1AB− ( , )x y′ ′ 1 1 0 1 2 1 2 0 2 0 1 0 2AB− − −     = =           1 2 0 2 x x y y ′−     =     ′     2 2 x x y y y ′ = −  ′ = :( 2 ) (2 ) 2 0l x y y′ − + − = : 2l x = 已知矩阵，A= ，向量 ，求向量 ，使得 . 【答案】 【解析】 试题分析：设 ，由 得两个方程 ，从而解出 试题解析：设 ，由 得： ………………………5 分 所以 ………………………10 分 14．【常州 2015 一模】选修 4—2：矩阵与变换 已知矩阵 满足： ，其中 是互不相等的实常数， 是非零的平面列向量， ， ，求矩阵 . 【答案】 【解析】 试题分析：由特征多项式得 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ． ， 1 2 1 1      2 1 β  =     α 2A α β=  2 1 α  =  −   x y α  =     2A α β=  3 4 2 2 3 1 x y x y + =  + = x y α  =     x y α  =     2A α β=  3 4 2 12 3 x y      =          3 4 2 2 3 1 x y x y + =∴ + = 2 1 x y =∴ = − 2 1 α  =  −   0 0 a b  =   M i i il=Mα α ( 1,2)i il = ( 1,2)i i =α 1 1l = 2 1 1  =   α M 0 1 1 0 − =  − M 2( ) 0af abb ll ll −= = − =− 1ab = 2 0 1 1 0 1 1 a b l      =           2 2 , . a b l l =  = 2 2 1abl = = 2 1l = − 1a b= = − 【名师原创测试篇】 1 已知矩阵 A＝ ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1＝ ，属于 特征值 1 的一个特征向量为 α2＝ ．求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵． 【答案】A＝ ，A 的逆矩阵 【解析】 试题分析：由特征值与特征向量关系得： ＝6 ， ＝ ，即 c＋ d＝6，3c－2d＝－2，，因此 即 A＝ ，从而 A 的逆矩阵是 ． 3 3 c d      1 1      3 2    −  3 3 2 4      2 1 3 2 1 1 3 2  −    −   3 3 c d      1 1      1 1      3 3 c d      3 2    −  3 2    −  2 4 c d =  = 3 3 2 4      2 1 3 2 1 1 3 2  −    −   2 设矩阵 （其中 ），若曲线 在矩阵 所对应的变换作 用下得到曲线 ，求 的值． 【答案】3． 【解析】 试题分析：本题可先求出曲线 在矩阵 所对应的变换作用下得到曲线 的方程再与方 程 加以比较得出 的值，也可在曲线 上取两特殊点经阵 所对应的变换作 用下得到点在曲线 上，代入 方程，求出 的值. 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线 在矩阵 对应的变换作用下得到曲线 ，求曲线 的方程. 0 0 a b  =   M 0 0a b＞ ， ＞ C ： 2 2 1x y+ = M 2 2 14 xC y′ + =： a b+ C M C′ 2 2 14 x y+ = a b, C M C′ C′ a b, 1C 1 0 10 2 A    =     2 2 2 : 14 xC y+ = 1C 【答案】 【解析】 试题分析：实质为转移法求轨迹：设 是曲线 上任意一点，点 在矩阵 对 应的变换下变为点 ，则有 ，即 ， 试题解析：设 是曲线 上任意一点，点 在矩阵 对应的变换下变为点 则有 ，即 ……5 分 又因为点 曲线 上， 故 ，从而 所以曲线 的方程是 ． ……10 分 4. 变换 是逆时针旋转 的旋转变换，对应的变换矩阵是 ；变换 对应用的变换矩阵 是 （Ⅰ）求点 在 作用下的点 的坐标； （Ⅱ）求函数 的图象依次在 ， 变换的作用下所得曲线的方程。 【命题意图】本题考查旋转矩阵及矩阵变换等知识 ，意在考查运算求解能力. 2 2 4x y+ = ( , )P x y 1C ( , )P x y A ( , )P x y′ ′ ′ 1 0 10 2 x x y y  ′    =    ′     1 2 x x y y ′ = ′ = 2 2( ) ( ) 14 x y ′ ′+ = 2 2( ) ( ) 14 2 x y∴ + = 2 2 4x y+ = ( , )P x y 1C ( , )P x y A ( , )P x y′ ′ ′ 1 0 10 2 x x y y  ′    =    ′     1 2 x x y y ′ = ′ = ( , )P x y′ ′ ′ 2 2 2 : 14 xC y+ = 2 2( ) ( ) 14 x y ′ ′+ = 2 2( ) ( ) 14 2 x y+ = 1C 2 2 4x y+ = 1T 2 π 1M 2T 2 1 1 0 1M  =    (2,1)P 1T 'P 2y x= 1T 2T 【解析】解：（Ⅰ） ， 所以点 在 作用下的点 的坐标是 …………………………5 分 5.已知曲线 ，在矩阵 M 对应的变换作用下得到曲线 ， 在矩阵 N 对 应的变换作用下得到曲线 ，求曲线 的方程． 【命题意图】本题考查旋转矩阵及矩阵变换等知识 ，意在考查运算求解能力. 【解析】设 A=NM，则 A ， ……………………………………………3 分 设 是曲线 C 上任一点，在两次变换下，在曲线 上的对应的点为 ， 则 ， 即 ……………………………7 分 又点 在曲线 上，∴ ，即 ． ……………………10 分 1 0 1 1 0M − =    1 2 0 1 2 1 1 1 0 1 2M − −       = =               (2,1)P 1T 'P '( 1,2)P − C 1 0 0 2  =    1C 1C 0 1 1 0 − =    2 2 1 8C y x=： C 0 1 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0 − −     = =           ( )', 'P x y 2C ( ),P x y 0 2 ' 2 ' 1 0 ' ' x x y y y x − −      = =             2 ', ', x y y x = −  = ( ),P x y 2 2 1 8C y x=： 21 ( 2 )8x y′ ′= − 2 2y x′ ′= 2: 2C y x=