【数学】2020届一轮复习苏教版专题一第一讲小题考法——三角函数、解三角形学案

【数学】2020届一轮复习苏教版专题一第一讲小题考法——三角函数、解三角形学案

‎[江苏卷5年考情分析]‎ 小题考情分析 大题考情分析 常考点 ‎1.三角化简求值(5年2考)‎ ‎2.三角函数的性质(5年3考)‎ ‎3.平面向量的数量积(5年5考)‎ ‎　　新高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要．三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异．‎ 三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角函数值(见2014年、2018年三角解答题)，第二类是给出在三角形中(见2015年、2016年三角解答题)，第三类是给出向量(见2017年三角解答题).‎ 偶考点 ‎1.平面向量的概念及线性运算 ‎2.正、余弦定理 第一讲 小题考法——三角函数、解三角形 考点(一)‎ 三角化简求值 ‎　　主要考查利用三角恒等变换解决化简求值或求角问题．多涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．计算：sin 50°(1＋tan 10°)＝________.‎ 解析：sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50° ‎＝sin 50°× ‎＝sin 50°× ‎＝＝＝＝1.‎ 答案：1‎ ‎2．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．‎ 解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.‎ 又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 答案：－ ‎3．已知tan＝，则cos2＝________.‎ 解析：由tan＝＝，解得tan α＝－，所以cos2＝＝＝＋sin αcos α，又sin αcos α＝＝＝－，故＋sin αcos α＝.‎ 答案： ‎[方法技巧]‎ ‎1．解决三角函数求值或求角问题的关键与思路 解决三角函数的求值或求角问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．‎ ‎(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；‎ ‎(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．‎ ‎2．常见的配角技巧 ‎(1)2α＝(α＋β)＋(α－β)；‎ ‎(2)α＝(α＋β)－β；‎ ‎(3)β＝－；‎ ‎(4)α＝＋；‎ ‎(5)＝－等．‎ ‎3．三角函数化简的原则及结果 考点(二)‎ 三角函数的性质 ‎　　主要考查三角函数的对称性、求函数的单调区间或最值(值域)，以及根据函数的单调性求参数的值或取值范围.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．‎ 解析：由题意得f＝sin＝±1，‎ ‎∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴φ＝kπ－，k∈Z.‎ ‎∵φ∈，‎ ‎∴φ＝－.‎ 答案：－ ‎2．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则φ＝________.‎ 解析：函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象解析式为g(x)＝sin，由题意知，g(0)＝0，所以φ－＝kπ，即φ＝kπ＋，又因为0<φ<π，所以φ＝.‎ 答案： ‎3．已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．‎ 解析：由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y＝sin x的单调递减区间为，‎ k∈Z，所以k∈Z，‎ 解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.‎ 又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，‎ 得k＝0，‎ 所以ω∈.‎ 答案： ‎4．已知函数f(x)＝2sinsin，≤x≤，则函数f(x)的值域为________．‎ 解析：依题意，有f(x)＝2sin x－cos x·＝sin xcos x－(cos2x－sin2x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，因为≤x≤，所以0≤2x－≤，从而0≤sin≤1，所以函数f(x)的值域为[0,1]．‎ 答案：[0,1]‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1．对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象平移后图象关于y轴或原点对称的两种处理方法 ‎(1)若平移后所得函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ＋θ)，要关于原点对称，则φ＋θ＝k π；要关于y轴对称，则φ＋θ＝kπ＋.‎ ‎(2)利用平移后的图象关于y轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用y＝sin x的对称性去求解．‎ ‎2．求三角函数单调区间的两种方法 ‎(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．‎ ‎(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．‎ ‎3．求解三角函数的值域的三种方法 化归法 在研究三角函数值域时，首先应将所给三角函数化归为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再利用换元t＝ωx＋φ，从而转化为求y＝Asin t，y＝Acos t或y＝Atan t在给定区间上的值域 换元法 对于无法化归的三角函数，通常可以用换元法来处理，如y＝sin x＋cos x＋sin xcos x，可以设sin x＋cos x＝t来转化为二次函数求值域 导数法 对于无法化归和换元的三角函数，可以通过导函数研究其单调性和值域 考点(三)‎ 正、余弦定理 ‎　　主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos A＝2c－a，则角B的大小为________．‎ 解析：法一：因为2bcos A＝2c－a，所以由余弦定理得2b·＝2c－a，即b2－a2＝c2－ac，所以cos B＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.‎ 法二：因为2bcos A＝2c－a，所以由正弦定理得2sin Bcos A＝2sin C－sin A＝2sin(A＋B)－sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B－sin A，故2cos Bsin A＝sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.‎ 答案： ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan A＝7tan B，＝3，则c＝______.‎ 解析：由tan A＝7tan B可得＝，‎ 即sin Acos B＝7sin Bcos A，‎ 所以有sin Acos B＋sin Bcos A＝8sin Bcos A，‎ 即sin (A＋B)＝sin C＝8sin Bcos A，‎ 由正、余弦定理可得：c＝8b×，即c2＝4b2＋4c2－4a2，又＝3，‎ 所以c2＝4c，即c＝4.‎ 答案：4‎ ‎3．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．‎ 解析：如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，‎ ‎∴ac·sin 120°＝c×1×sin 60°＋a×1×sin 60°，∴ac＝a＋c.∴＋＝1.‎ ‎∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2＋5＝9，‎ 当且仅当＝，即c＝2a时取等号．‎ 故4a＋c的最小值为9.‎ 答案：9‎ ‎4．(2018·常熟高三期中)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acos C＋csin A且CD＝，则△ABC面积的最大值是________．‎ 解析：因为b＝acos C＋csin A，所以由正弦定理得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Csin A，因为sin C≠0，所以cos A＝sin A，即tan A＝1，因为A∈(0，π)，所以A＝，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝b2＋－2b·cos，即2bc＝4b2＋c2－8≥4bc－8，所以bc≤＝4＋2，当且仅当2b＝c时等号成立，所以S△ABC＝bcsin A＝·bc≤＋1.‎ 答案：＋1‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1．利用正弦、余弦定理解决有关三角形问题的方法 ‎(1)解三角形问题时，要注意两个统一原则，即将“边”统一为“角”，将“角”统一为“边”．当条件或结论是既含有边又含有角的形式时，就需要将边统一为角或将角统一为边．在应用这两个原则时要注意：①‎ 若式子中含有角的余弦、边的二次式，则考虑用余弦定理进行转化；②若式子中含有角的正弦、边的一次式，则考虑用正弦定理进行转化．‎ ‎(2)求解与三角形相关的平面几何中的有关量时，由于图形中的三角形可能不止一个，因此，需要合理分析，确定求解的顺序，一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系求得结果，同时注意平面几何知识的应用．‎ ‎2．与面积、范围有关问题的求解方法 ‎(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形的面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．另外，还要注意用面积法处理问题．‎ ‎(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围问题时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法等求解，或者通过基本不等式来进行求解．在求解时，要注意题目中的隐含条件，如|b－c|0，ω>0)．‎ ‎②y＝sin xy＝sin ωx y＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．‎ ‎4．三角函数的单调区间 y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；‎ y＝cos x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；‎ y＝tan x的递增区间是(k∈Z)．‎ ‎5．三角函数的奇偶性与对称性 y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．‎ ‎6．正弦定理及其变形 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．‎ 变形：a＝2Rsin A，sin A＝，‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．‎ ‎7．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.‎ ‎8．三角形面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.‎ ‎(二)二级结论要用好 ‎1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．‎ ‎2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．‎ ‎3．辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎4．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.‎ ‎5．△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝.‎ ‎6．△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．‎ ‎7．S△ABC＝(R为△ABC外接圆半径)．‎ ‎[课时达标训练]‎ A组——抓牢中档小题 ‎1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.‎ 解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.‎ 答案： ‎2．(2018·苏北四市期末)若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则f的值为________．‎ 解析：因为f(x)的最小正周期为＝，所以ω＝10，所以f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝－sin＝－.‎ 答案：－ ‎3．(2018·盐城期中)在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．‎ 解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，a∶b∶c＝3∶5∶7，可设a＝3k，b＝5k，c＝7k，且角C是最大内角，由余弦定理知cos C＝＝＝－，因为0°a，所以B＝或.‎ 答案：或　‎ ‎6．(2018·南京、盐城一模)将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.‎ 解析：将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位后，所得函数为f(x)＝3sin，即f(x)＝3sin.因为f(x)为偶函数，所以－2φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－－，k∈Z，因为0＜φ＜，所以φ＝.‎ 答案： ‎7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，若sin B＝，cos B＝，则b的值为________．‎ 解析：∵sin B＝，cos B＝，sin2B＋cos2B＝1，∴ac＝15，又∵2b＝a＋c，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－18＝(a＋c)2－48＝4b2－48，解得b＝4.‎ 答案：4‎ ‎8．(2018·盐城三模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为，则f的值为________．‎ 解析：f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin，由题意知，T＝×2＝π＝，解得ω＝2.由函数f(x)为偶函数得，f(0)＝2sin＝±2，又因为0<φ<π，所以φ＝，f(x)＝2sin2x＋＝2cos 2x，故f＝2cos＝.‎ 答案： ‎9．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________.‎ 解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，所以cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝－＝－.‎ 答案：－ ‎10．(2018·无锡期末)设函数f(x)＝sin2x－cos xcos，则函数f(x)在区间上的单调递增区间为________．‎ 解析：f(x)＝＋cos xsin x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，－≤x≤，故f(x)在上的单调递增区间是.‎ 答案： ‎11．(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4.若△ABC的面积为3，则BC＝________.‎ 解析：因为b＝4，c＝3，由S△ABC＝bcsin A＝6sin A＝3，解得sin A＝，因为△ABC是锐角三角形，所以cos A＝＝或求出锐角A＝，再求cos A＝，在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋9－2×4×3×＝13，所以a＝，即BC＝.‎ 答案： ‎12．已知tan＝，且－<α<0，则＝________.‎ 解析：由tan＝＝，得tan α＝－.‎ 又－<α<0，所以sin α＝－.‎ 故＝＝2sin α ‎＝－.‎ 答案：－ ‎13．已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．‎ 解析：由cos＋sin α＝，‎ 可得cos α＋sin α＋sin α＝，‎ 即sin α＋cos α＝，‎ ‎∴sin＝，sin＝，‎ ‎∴sin＝－sin＝－.‎ 答案：－ ‎14．(2018·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin，则tan＝________.‎ 解析：∵sin α＝3sin＝3sin αcos＋3cos α·sin＝sin α＋cos α，∴tan α＝ .‎ 又tan ＝tan＝＝＝2－，‎ ‎∴tan＝ ‎＝＝2－4.‎ 答案：2－4‎ B组——力争难度小题 ‎1.如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的最小正周期是________．‎ 解析：设函数f(x)的最小正周期为T，由图象可得A，B，则·＝－3＝0，解得T＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．△ABC的三个内角为A，B，C，若＝tan，则tan A＝________.‎ 解析：＝＝－ ‎＝－tan＝tan＝tan，‎ 所以－A－＝－，‎ 所以A＝－＝，所以tan A＝tan＝1.‎ 答案：1‎ ‎3．已知α为锐角，cos(α＋)＝.则sin的值为________．‎ 解析：因为α∈，所以α＋∈，‎ 所以sin＝ ＝，‎ 因为sin＝sin 2＝2 sin cos＝，cos＝cos 2＝2 cos2－1＝－，所以sin＝sin－＝sin·cos－cossin＝.‎ 答案： ‎4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.‎ 解析：由图象可得A＝1，＝＝－，解得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，将点代入函数f(x)可得0＝sin，所以＋φ＝kπ，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.因为，的中点坐标为，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝×2＝，所以f(x1＋x2)＝sin＝.‎ 答案： ‎5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积S的最大值为________．‎ 解析：由S＝absin C，得S2＝a2b2(1－cos2C)＝‎ a2b2，‎ ‎∵a2＋b2＋2c2＝8，‎ ‎∴a2＋b2＝8－2c2，‎ ‎∴S2＝a2b2 ‎＝a2b2 ‎＝a2b2－ ‎≤－＝－＋c2，‎ 当且仅当a2＝b2时等号成立，‎ 由二次函数的性质可知，当c2＝时，S2取得最大值，最大值为，故S的最大值为 ‎.‎ 答案： ‎6.(2018·南通基地卷)将函数y＝sin的图象向左平移3个单位长度，得到函数y＝sinx＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M、N分别是函数f(x)图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．‎ 解析：将函数y＝sin的图象向左平移3个单位长度，得到函数y＝sin，所以φ＝π，M(－1，)，|OM|＝2，N(3，－)，ON＝2，|MN|＝2，由余弦定理可得，cos θ＝＝－，θ＝，tan(φ－θ)＝tan＝＝－2＋.‎ 答案：－2＋