【数学】2018届一轮复习苏教版9-8圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线教案（江苏专用）

【数学】2018届一轮复习苏教版9-8圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线教案（江苏专用）

‎9.8 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线 ‎1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．‎ ‎(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ‎①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；‎ ‎②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；‎ ‎③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．‎ ‎(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．‎ ‎①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；‎ ‎②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎ ‎2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝|x2－x1|‎ ‎＝ |y2－y1|.‎ ‎【知识拓展】‎ 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 ‎(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．‎ ‎(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线. ‎ ‎(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；‎ 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；‎ 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(　×　)‎ ‎(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(　×　)‎ ‎(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(　√　)‎ ‎(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(　√　)‎ ‎(5)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．(　×　)‎ ‎(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个．(　√　)‎ ‎1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．‎ 答案　3‎ 解析　结合图形(图略)分析可知，‎ 满足题意的直线共有3条：‎ 直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．‎ ‎2．(2016·常州模拟)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为________．‎ 答案　相交 解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．‎ ‎3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是__________________．‎ 答案　 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，‎ 若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.‎ ‎4．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB＝________.‎ 答案　16‎ 解析　直线l的方程为y＝x＋1，‎ 由得y2－14y＋1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，‎ ‎∴AB＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.‎ ‎5．(教材改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则AB的最小值为______．‎ 答案　4‎ 解析　由题意可设直线l的方程为y＝m，‎ 代入－y2＝1，得x2＝4(1＋m2)，‎ 所以x1＝＝2，‎ x2＝－2，‎ 所以AB＝|x1－x2|＝4，‎ 所以AB＝4≥4，‎ 即当m＝0时，AB有最小值4.‎ 第1课时　直线与圆锥曲线 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　(2016·无锡模拟)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：‎ ‎(1)有两个不重合的公共点；‎ ‎(2)有且只有一个公共点；‎ ‎(3)没有公共点．‎ 解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，‎ 得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③‎ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.‎ ‎(1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．‎ 思维升华　(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.‎ ‎(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．‎ ‎　(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ 解　(1)由已知得M(0，t)，P，‎ 又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px整理，得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝，因此H.‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．‎ 代入y2＝2px，得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．‎ 题型二　弦长问题 例2　(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎(1)当AM＝AN时，求△AMN的面积；‎ ‎(2)当2AM＝AN时，证明：0，由AM＝AN及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.‎ 又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.‎ 将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0，‎ 解得y＝0或y＝，所以y1＝.‎ 因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.‎ ‎(2)证明　设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，‎ 代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，‎ 由x1·(－2)＝，得x1＝，‎ 故AM＝|x1＋2|＝.‎ 由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋2)，‎ 故同理可得AN＝.‎ 由2AM＝AN，得＝，‎ 即4k3－6k2＋3k－8＝0，‎ 设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2‎ ‎≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，又f()＝15－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，‎ 所以b>0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是4＋2.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)设椭圆C1的左，右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E(点D与点A，B不重合)，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD＝PE.‎ ‎(1)解　由e＝，知＝，所以c＝a，‎ 因为△PF1F2的周长是4＋2，所以2a＋2c＝4＋2，‎ 所以a＝2，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，‎ 所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，‎ 所以E(x0,0)，‎ 因为⊥，所以可设C(2，y1)，‎ 所以＝(x0＋2，y0)，＝(2，y1)，‎ 由∥可得(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝.‎ 所以直线AC的方程为＝，‎ 整理得y＝(x＋2)．‎ 又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得y＝，即点P的坐标为(x0，)，所以P为DE的中点，‎ 所以PD＝PE.‎ 题型三　中点弦问题 命题点1　利用中点弦确定直线或曲线方程 例3　(1)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为______________．‎ ‎(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)x＋2y－8＝0‎ 解析　(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，‎ 所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3.‎ 所以E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则＋＝1，且＋＝1，‎ 两式相减得＝－.‎ 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，‎ 所以＝－，‎ 故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，‎ 即x＋2y－8＝0.‎ 命题点2　由中点弦解决对称问题 例4　(2015·浙江)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．‎ 解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为 y＝－x＋b.‎ 由 消去y，得x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①‎ 将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－. ②‎ 由①②得m＜－或m＞.‎ ‎(2)令t＝∈∪，则 AB＝·，‎ 且O到直线AB的距离为d＝.‎ 设△AOB的面积为S(t)，‎ 所以S(t)＝·AB·d＝ ≤，‎ 当且仅当t2＝时，等号成立．‎ 故△AOB面积的最大值为.‎ 思维升华　处理中点弦问题常用的求解方法 ‎(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．‎ ‎(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．‎ ‎(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．‎ ‎　已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．‎ 答案　0或－8‎ 解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，‎ 则 由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.∴·＝3，即kMN·＝3，‎ ‎∵M，N关于直线y＝x＋m对称，‎ ‎∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.‎ 又∵y0＝x0＋m，∴P，‎ 代入抛物线方程得m2＝18·，‎ 解得m＝0或－8，经检验都符合．‎ ‎1．(2016·南京模拟)已知椭圆＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则PF2＝______，∠F1PF2的大小为________．‎ 答案　2　120°‎ 解析　由题意得PF1＋PF2＝2a＝6，所以PF2＝2.‎ 又F1F2＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理可得 cos∠F1PF2＝＝－，即∠F1PF2＝120°.‎ ‎2．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若AB＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于________．‎ 答案　 解析　易知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点(，0)，∴AB为焦点弦．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则AB中点N(，)，‎ ‎∴AB＝x1＋x2＋p＝4.∴＝.‎ ‎∴AB中点到直线x＋＝0的距离为＋＝.‎ ‎3．(2016·宿迁模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F，那么FA＋FB＝______.‎ 答案　7‎ 解析　把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0，得p＝2，a＝2，‎ 由消去y，得x2－5x＋4＝0，‎ 则xA＋xB＝5.由抛物线定义得 FA＋FB＝xA＋xB＋p＝7.‎ ‎4．(2017·无锡月考)直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是________．‎ 答案　1‎ 解析　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．‎ ‎5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为______．‎ 答案　 解析　双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，‎ 由方程组消去y，‎ 得x2－x＋1＝0有唯一解，‎ 所以Δ＝()2－4＝0，＝2，‎ e＝＝＝ ＝ .‎ ‎6．(2016·无锡模拟)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为____________．‎ 答案　[1，＋∞)‎ 解析　因为y＝a与y＝x2交于A，B两点，‎ 所以a>0，所以交点为(±，a)．设C(x0，x)，‎ 所以＝(x0－，x－a)，＝(x0＋，x－a)，‎ 所以·＝x－a＋(x－a)2＝0，‎ 所以x＝a(舍去)，或1＋x＝a，所以x＝a－1≥0，‎ 所以a≥1.‎ ‎7．过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若使得AB＝λ的直线l恰有三条，则λ＝________.‎ 答案　4‎ 解析　∵使得AB＝λ的直线l恰有三条．‎ ‎∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．‎ 此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y＝±2，故AB＝4.‎ ‎∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，‎ ‎∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，‎ 综上可知，AB＝4时，有三条直线满足题意．‎ ‎∴λ＝4.‎ ‎8．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则AB的最大值为________．‎ 答案　6‎ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，‎ 那么AF＋BF＝x1＋x2＋2，‎ 又AF＋BF≥AB⇒AB≤6，当AB过焦点F时取得最大值6.‎ ‎9．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．‎ 答案　3x＋4y－13＝0‎ 解析　设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，‎ 由于A，B两点均在椭圆上，‎ 故＋＝1，＋＝1，‎ 两式相减得 ＋＝0.‎ 又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，‎ ‎∴kAB＝＝－.‎ ‎∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．‎ 即3x＋4y－13＝0.‎ ‎10．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A，B两点，记直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝________.‎ 答案　0‎ 解析　由y2＝4x，得抛物线焦点F(1,0)，‎ 联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝1.‎ k1＋k2＝＋ ‎＝ ‎＝＝＝0.‎ ‎11.如图，定直线l的方程为x＝－4，定点F的坐标为(－1,0)，P(x，y)为平面上一动点，作PQ⊥l于Q，若PQ＝2PF.‎ ‎(1)求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎(2)过定点F作直线交曲线E于A、B两点，若曲线E的中心为O，且＋3＝2，求三角形OAB的面积．‎ 解　(1)由|x＋4|＝2，‎ 化简得轨迹E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线AB的方程为ky＝x＋1，与椭圆方程联立消去x得(3k2＋4)y2－6ky－9＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎∵＋3＝2，O(0,0)，F(－1,0)，∴y1＝－2y2.‎ ‎∴y1＝，y2＝，‎ ‎∴＝，∴k2＝.‎ ‎∴AB＝|y1－y2|＝，‎ 又点O到直线AB的距离d＝，‎ ‎∴S△OAB＝＝.‎ ‎12．(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，)在C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎(1)解　由题意得＝，＋＝1，‎ 解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1，得 ‎(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.‎ 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.‎ 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，‎ 即kOM·k＝－.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎13. (2015·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．‎ 解　(1)由题意，得＝且c＋＝3，‎ 解得a＝，c＝1，则b＝1，‎ 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．‎ 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将AB的方程代入椭圆方程，‎ 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，‎ 则x1,2＝，‎ 故C的坐标为，‎ 且AB＝ ‎＝＝.‎ 若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．‎ 从而k≠0，故直线PC的方程为 y＋＝－，‎ 则P点的坐标为，‎ 从而PC＝.‎ 因为PC＝2AB，所以＝，‎ 解得k＝±1.‎ 此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.‎